1、2015届高三数学（理）提升演练：变化率与导数、导数的计算一、选择题1.已知函数f(x)的图象如图所示，f(x)是f(x)的导函数，则下列数值排序正确的是()A0f(2)f(3)f(3)f(2)B0f(3)f(3)f(2)f(2)C0f(3)f(2)f(3)f(2)D0f(3)f(2)f(2)f(3)2曲线yx311在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标是()A9B3C9 D153曲线y在点M(，0)处的切线的斜率为()A B.C D.4设曲线yax2在点(1，a)处的切线与直线2xy60平行，则a()A1 B.C D15若点P是曲线yx2lnx上任意一点，则点P到直线yx2的最小距离为
2、()A1 B.C. D.6放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M(单位：太贝克)与时间t(单位：年)满足函数关系：M(t)M02，其中M0为t0时铯137的含量已知t30时，铯137含量的变化率是10ln2(太贝克/年)，则M(60)()A5太贝克 B75ln2太贝克C150ln2 太贝克 D150太贝克二、填空题7已知f(x)x22xf(1)，则f(0)_.8已知函数f(x)x3ax4(aR)，若函数yf (x)的图象在点P(1，f(1)处的切线的倾斜角为，则a_.9若曲线f(x)ax5lnx存在垂
3、直于y轴的切线，则实数a的取值范围是_三、解答题10求下列函数的导数(1)yx2sin x；(2)y；11已知曲线f(x)e2x1在点A处的切线和曲线g(x)e2x1在点B处切线互相垂直，O为坐标原点且0，求AOB的面积12已知曲线S：y3xx3及点P(2,2)(1)求过点P的切线方程；(2)求证：与曲线S切于点(x0，y0)( x00)的切线与S至少有两个交点详解答案一、选择题1. 解析：由导数的几何意义可知，f(2)、f(3)分别表示曲线在x2，x3处的切线的斜率，而f(3)f(2)表示直线AB的斜率，即kABf(3)f(2)由图形可知0f(3)f(3)f(2)0，a0.故实数a的取值范围
4、是(，0)答案：(，0)三、解答题10解：(1)y(x2)sin xx2(sin x)2xsin xx2cos x.(2)法一：y.法二：y1，y1()，即y.11解：f(x)e2x1(2x1)e2x1，g(x)e2x1(2x1)e2x1，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，y1，y2，f(x1)，g(x2)，x1x21，x1x2，x1，x2，y1，y2，OA，OB，即A(，)，B(，)0，SAOB.12解：(1)设切点为(x0，y0)，则y03x0x.又f(x)33x2，切线斜率k33x.即3x0x2(x02)(33x)(x01)(x01)230.解得x01或x01.相应的斜率k0或k96，切线方程为y2或y(96)(x2)2.(2)证明：与曲线S切于点(x0，y0)的切线方程可设为yy0(33x)(xx0)，与曲线S的方程联立，消去y，得3xx3y03(1x)(xx0)，即3xx3(3x0x)3(1x)(xx0)即(xx0)2(x2x0)0，则xx0或x2x0，因此，与曲线S切于点(x0，y0)(x00)的切线，与S至少有两个交点
