1、第节圆锥曲线的综合问题 【选题明细表】知识点、方法题号圆锥曲线的综合问题2、3、6、7定点与定值问题10、11最值与范围问题1、4、5、8、9一、选择题1.已知抛物线C的方程为x2=y,过A(0,-1),B(t,3)两点的直线与抛物线C没有公共点,则实数t的取值范围是(D)(A)(-,-1)(1,+)(B)(C)(-,-2)(2,+)(D)(-,-)(,+)解析:直线AB的方程为y=x-1,与抛物线方程x2=y联立得x2-x+=0,由于直线AB与抛物线C没有公共点,所以=-2或t2,即0,b10),+=1(a2b20),则a1=a2,又双曲线与椭圆有公共焦点,双曲线的离心率与椭圆的离心率的比为
2、=2.故选B.4.已知直线y=kx+1,当k变化时,此直线被椭圆+y2=1截得的最大弦长是(B)(A)4(B)(C)2(D)不能确定解析:由直线y=kx+1过定点(0,1),即椭圆短轴端点.最长弦即椭圆上点到(0,1)最大距离,设椭圆上P(x0,y0)到(0,1)距离为d,则d=,又+=1,d=,又-1y00)与双曲线-=1(a0,b0)有相同的焦点F,点A是两曲线的一个交点,且AFx轴,若l为双曲线的一条渐近线,则l的倾斜角所在的区间可能是(D)(A)(0,)(B)(,)(C)(,) (D)(,)解析:F(,0),c=,不妨设A(,p).由c2=a2+b2得=a2+b2,又-=1,即-=1,
3、()2-4-4=0,令t=0,则t4-4t2-4=0,t=,设倾斜角为,则tan =,(,).故选D.二、填空题6.(2012年高考浙江卷)设椭圆+=1(m0,n0)的右焦点与抛物线y2=8x的焦点相同,离心率为,则此椭圆的方程为.解析:由题意,知解得椭圆的方程为+=1.答案:+=17.(2012郑州质量检测(二)设抛物线x2=4y的焦点为F,经过点P(1,4)的直线l与抛物线相交于A、B两点,且点P恰为AB的中点,则|+|=.解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),由题意知x1+x2=2,且=4y1,=4y2,两式相减整理得,=,所以直线AB的方程为x-2y+7=0.将x=2y-7代入x
4、2=4y整理得4y2-32y+49=0,所以y1+y2=8,又由抛物线定义得|+|=y1+y2+2=10.答案:108.已知双曲线-=1(a1,b0)的焦距为2c,离心率为e,若点(-1,0)与(1,0)到直线-=1的距离之和sc,则e的取值范围是.解析:由题意知s=+=c,2c25ab,.又=,2e25,4e425(e2-1),4e4-25e2+250,e25,e.答案:三、解答题9.若直线l与椭圆C:+y2=1交于A、B两点,坐标原点O到直线l的距离为,求AOB面积的最大值.解:设A(x1,y1),B(x2,y2).(1)当ABx轴时,|AB|=;(2)当AB与x轴不垂直时,设直线AB的方
5、程为y=kx+m.由已知,得=,即m2=(k2+1).把y=kx+m代入椭圆方程,整理,得(3k2+1)x2+6kmx+3m2-3=0.x1+x2=,x1x2=.|AB|2=(1+k2)(x2-x1)2=(1+k2)=3+.当k0时,上式=3+3+=4,当且仅当9k2=,即k=时等号成立.此时|AB|=2;当k=0时,|AB|=.综上所述,|AB|max=2.当|AB|最大时,AOB面积取最大值Smax=|AB|max=.10. (2013北京市海淀区高三上学期期末)已知E(2,2)是抛物线C:y2=2px上一点,经过点(2,0)的直线l与抛物线C交于A、B两点(不同于点E),直线EA、EB分
6、别交直线x=-2于点M、N.(1)求抛物线方程及其焦点坐标;(2)已知O为原点,求证:MON为定值.(1)解:将E(2,2)的坐标代入y2=2px,得p=1,所以抛物线方程为y2=2x,焦点坐标为.(2)证明:设A,B,M(xM,yM),N(xN,yN),因为直线l不经过点E,所以直线l一定有斜率,且k0,设直线l方程为y=k(x-2),与抛物线方程联立得到消去x得ky2-2y-4k=0,则由根与系数的关系得y1y2=-4,y1+y2=.直线AE的方程为y-2=(x-2),即y=(x-2)+2,令x=-2得yM=,同理可得yN=,所以=4+yMyN=4+=4+=4+=0.所以OMON,即MON
7、为定值.11.(2013成都市重点中学高三下学期入学考试)已知定点A(-1,0),F(2,0),定直线l:x=.不在x轴上的动点P与点F的距离是它到直线l的距离的2倍.设点P的轨迹为E,过点F的直线交E于B、C两点,直线AB、AC分别交l于点M、N.(1)求E的方程;(2)试判断以线段MN为直径的圆是否过点F,并说明理由.解:(1)设P(x,y),则=2x-,化简得x2-=1(y0).(2)当直线BC与x轴不垂直时,设BC的方程为y=k(x-2)(k0),与双曲线方程x2-=1,联立消去y得(3-k2)x2+4k2x-(4k2+3)=0.由题意知,3-k20,且0.设B(x1,y1),C(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=,y1y2=k2(x1-2)(x2-2)=k2x1x2-2(x1+x2)+4=k2(-+4)=.因为x1,x2-1,所以直线AB的方程为y=(x+1),因此M点的坐标为(,),=(-,).同理可得=(-,).因此=(-)(-)+=+=0.当直线BC与x轴垂直时,其方程为x=2,则B(2,3),C(2,-3),AB的方程为y=x+1,因此M点的坐标为(,),=(-,).同理可得=(-,-).因此=(-)(-)+(-)=0.综上,=0,即FMFN.故以线段MN为直径的圆过点F.
