1、第二章圆锥曲线与方程2.1椭圆2.1.2椭圆的简单几何性质第一课时椭圆的简单几何性质课时跟踪检测一、选择题1(2019昆明月考)如果椭圆1(k8)的离心率为e，则k()A4 B4或C D4或解析：若椭圆的焦点在x轴上，则，解得k4；若椭圆的焦点在y轴上，则，解得k，所以k4或k，故选B.答案：B2椭圆的长轴是短轴的3倍，且过点(3,0)，则其标准方程为()A.y21 B1C.y21或x21 D以上均不对解析：当焦点在x轴上时，a3，b1，其方程为y21；当焦点在y轴上时，b3，a9，其方程为1.所以A、B、C均不对，故选D.答案：D3一个椭圆的半焦距为2，离心率e，那么它的短轴长是()A3 B
2、C2 D6解析：由题意知，c2，e，a3.b ，短轴长2b2.故选C.答案：C4(2019衡阳八中期中)设直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为()A. BC. D解析：不妨设椭圆的焦点在x轴上，直线过(c,0)，(0，b)，则直线l的方程为1，即bxcybc0，则2b，即，e，故选A.答案：A5椭圆1与1(0kb0)，过椭圆的右焦点F作x轴的垂线交椭圆于A，B两点，若0，则椭圆的离心率e等于_解析：当xc时，y2，则y.设A，由0，知OAOB，|AF|OF|，即c.acb2a2c2，e2e10.又0eb0)的左、右顶点，点P在E上，在APB中
3、，tan A，tan B，则E的离心率为_解析：设P(x，y)，则1，A(a,0)，B(a,0)，tan A，tan B，1，b，ca，e.答案：三、解答题10在直角坐标系xOy中，已知中心在原点，离心率为的椭圆E的一个焦点为圆C：x2y24x20的圆心，求椭圆E的方程解：由x2y24x20，得(x2)2y22.故圆C的圆心为点(2,0)，则点(2,0)为椭圆E的一个焦点，从而可设椭圆E的方程为1(ab0)，其焦点为(2,0)e，a4.b2a2c216412，故椭圆E的方程为1.11椭圆1(ab0)的一个焦点与短轴的两顶点的连线互相垂直，且此焦点和长轴上较近的顶点距离为42，求此椭圆方程解：解
4、法一：如图，可知A(0，b)，B(0，b)，F2(c,0)(c，b)，(c，b)AF2BF2，0，c2b20，b2c2.由题意知ac42，得解得a248，b224.所求椭圆的方程为1.解法二：如解法一中图，由题设知AF2BF2，AF2O45，|OA|OF2|，即bc.a2b2c22c2，ac.又ac42，从而得(1)c2(1)，c2，b2c224，a248.所求椭圆的方程为1.12如图，已知P是椭圆1(ab0)上且位于第一象限的一点，F是椭圆的右焦点，O是椭圆中心，B是椭圆的上顶点，H是直线x(c是椭圆的半焦距)与x轴的交点，若PFOF，HBOP，试求椭圆的离心率e.解：依题意知，H，F(c,
5、0)，B(0，b)设P(x，y)(x0，y0)，将xc，代入椭圆方程得y，P.HBOP，kHBkOP，即.abc2，ee21.e4e210.0eb0)的两个焦点，P为C上一点，O为坐标原点(1)若POF2为等边三角形，求C的离心率；(2)如果存在点P，使得PF1PF2，且F1PF2的面积等于16，求b的值和a的取值范围解：(1)连接PF1，由POF2为等边三角形可知，在F1PF2中，F1PF290，|PF2|c，|PF1|c，于是2a|PF1|PF2|(1)c，故C的离心率是e1.(2)由题意可知，满足条件的点P(x，y)存在当且仅当|y|2c16，1，1，即c|y|16，x2y2c2，1，由及a2b2c2，得y2，又由知，y2，得b4.由得，x2(c2b2)，所以c2b2，从而a2b2c22b232，故a4.当b4，a4时，存在满足条件的点P.所以b4，a的取值范围为4，)
