1、2三角形中的几何计算课后篇巩固探究1.在ABC中,若A=105,B=30,BC=62,则角B的平分线的长是()A.32B.22C.1D.2解析:设角B的平分线与AC交于点D,则在BCD中,BDC=120,BCD=45,BC=62,由正弦定理可知BD=1.答案:C2.在ABC中,若AC=7,BC=2,B=60,则BC边上的高等于()A.32B.332C.3+62D.3+394解析:如图,在ABC中,由余弦定理可知,AC2=AB2+BC2-2ABBCcosB,即7=AB2+4-22AB12.整理得AB2-2AB-3=0.解得AB=3或AB=-1(舍去).故BC边上的高AD=ABsinB=3sin6
2、0=332.答案:B3.若ABC的周长等于20,面积是 103,A=60,则BC边的长是()A.5B.6C.7D.8解析:在ABC中,分别用a,b,c表示边BC,CA,AB.依题意及面积公式S=12bcsinA,得103=12bcsin60,即bc=40.又周长为20,所以a+b+c=20,b+c=20-a.由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccosA=b2+c2-2bccos60=b2+c2-bc=(b+c)2-3bc,所以a2=(20-a)2-120,解得a=7.答案:C4.在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c且满足csin A=acos C.当3sin A-cosB+4取最
3、大值时,A的大小为()A.3B.4C.6D.23解析:由正弦定理得sinCsinA=sinAcosC.因为0A0,从而sinC=cosC.又cosC0,所以tanC=1,则C=4,所以B=34-A.于是3sinA-cosB+4=3sinA-cos(-A)=3sinA+cosA=2sinA+6.因为0A34,所以6A+61112,所以当A+6=2,即A=3时,2sinA+6取最大值2.答案:A5.导学号33194042在ABC中,若C=60,c=22,周长为2(1+2+3),则A为()A.30B.45C.45或75D.60解析:根据正弦定理,得2R=a+b+csinA+sinB+sinC=2(1
4、+2+3)sinA+sinB+sinC=csinC=22sin60=463,所以sinA+sinB+sin60=322+32+322,所以sinA+sinB=3+322,即sinA+sin(A+C)=3+322sin(A+60)+sinA=3+3223sin(A+30)=3(3+1)22sin(A+30)=6+24,所以A+30=75或A+30=105,所以A=45或A=75.答案:C6.已知三角形的一边长为7,这条边所对的角为60,另两边之比为32,则这个三角形的面积是.解析:设另两边分别为3x,2x,则cos60=9x2+4x2-4912x2,解得x=7,故两边长为37和27,所以S=12
5、3727sin60=2132.答案:21327.已知在ABC中,AC=2,AB=3,BAC=60,AD是ABC的角平分线,则AD=.解析:如图,SABC=SABD+SACD,所以1232sin60=123ADsin30+122ADsin30,所以AD=635.答案:6358.在ABC中,若AB=a,AC=b,BCD为等边三角形,则当四边形ABDC的面积最大时,BAC=.解析:设BAC=,则BC2=a2+b2-2abcos.S四边形ABDC=SABC+SBCD=12absin+34BC2=34(a2+b2)+absin(-60),即当BAC=150时,S四边形ABDC取得最大值.答案:1509.
6、已知ABC的一个内角为120,并且三边长构成公差为4的等差数列,则ABC的面积为.解析:设三角形的三边依次为a-4,a,a+4,可得a+4的边所对的角为120.由余弦定理得(a+4)2=a2+(a-4)2-2a(a-4)cos120,则a=10,所以三边长为6,10,14,SABC=12610sin120=153.答案:15310.已知ABC的重心为G,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若2aGA+3bGB+3cGC=0,则sin Asin Bsin C=.解析:因为G是ABC的重心,所以GA+GB+GC=0,又2aGA+3bGB+3cGC=0,所以2aGA+3bGB-3c(GA+GB)=
7、0,即(2a-3c)GA+(3b-3c)GB=0,则2a-3c=0,3b-3c=0,所以abc=3232,由正弦定理,得sinAsinBsinC=3232.答案:323211.导学号33194043(2017全国2高考)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin(A+C)=8sin2B2.(1)求cos B;(2)若a+c=6,ABC的面积为2,求b.解(1)由题设及A+B+C=,得sinB=8sin2B2,故sinB=4(1-cosB).上式两边平方,整理得17cos2B-32cosB+15=0,解得cosB=1(舍去),cosB=1517.(2)由cosB=1517得sinB
8、=817,故SABC=12acsinB=417ac.又SABC=2,则ac=172.由余弦定理及a+c=6得b2=a2+c2-2accosB=(a+c)2-2ac(1+cosB)=36-21721+1517=4.所以b=2.12.导学号33194044(2017全国3高考)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin A+3cos A=0,a=27,b=2.(1)求c;(2)设D为BC边上一点,且ADAC,求ABD的面积.解(1)由已知可得tanA=-3,所以A=23.在ABC中,由余弦定理得28=4+c2-4ccos23,即c2+2c-24=0.解得c=-6(舍去),c=4.(2)由题设可得CAD=2,所以BAD=BAC-CAD=6.故ABD面积与ACD面积的比值为12ABADsin612ACAD=1.又ABC的面积为1242sinBAC=23,所以ABD的面积为3.
