1、长春市实验中学2020-2021学年上学期期中考试高三理科数学试卷 考试时间：120分钟 分值：150分第卷 选择题（60分）一选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知集合A1，0，1，3，5，Bx|x3或x1，则（RB）A（）A1，0，5B1，2，3C2，3D1，32复数（其中i为虚数单位），则|（）ABC2D3若向量，则与的夹角余弦值为（ ）ABCD4若，则 （ ）A或BCD0或5若曲线与曲线有四个不同的交点,则实数的取值范围是 ( )A. B.C. D.6. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A B C D
2、7.函数的图像大致为（ ）ABCD8.设函数是定义在实数集上的奇函数，在区间上是增函数，且，则有（ ）ABCD9将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，若对满足的，有，则（ ）ABCD10已知，是球的球面上的五个点，四边形为梯形，面，则球的体积为（ ）ABCD11.已知椭圆与双曲线有相同的焦点，点是两曲线在第一象限的交点，且在上的投影等于，分别是椭圆和双曲线的离心率，则的最小值是（ ）AB6C8D12.已知函数若存在，使得成立，则实数m的取值范围为（ ）A. B. C. D. 第卷 非选择题（90分）二填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13某社团计划招入女生人，男生人，若满足约
3、束条件，则该社团今年计划招入的学生人数最多为 14若函数，则曲线在点处的切线的倾斜角是 15设函数是定义在上的周期为2的函数，且对任意实数恒有，当时，若在上有三个零点，则的取值范围为_16在ABC中，内角A、，B，C的对边分别为a，b，c，若（a+b）sinBcsinCasinA，ABC的面积记为S，则当取最小值时，ab 三解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第2223题为选考题，考生根据要求作答.）17（12分）如图，已知在四棱锥SAFCD中，平面SCD平面AFCD，DAFADC90，AD1，AF2DC4，B，
4、E分别为AF，SA的中点（1）求证：平面BDE 平面SCF（2）求二面角ASCB的余弦值18. （12分） 某学校为了解班级卫生教育系列活动的成效，对全校40个班级进行了一次突击班级卫生量化打分检查（满分100分，最低分20分）根据检查结果：得分在，评定为“优”，奖励3面小红旗；得分在，评定为“良”，奖励2面小红旗；得分在，评定为“中”，奖励1面小红旗；得分在，评定为“差”，不奖励小红旗已知统计结果的部分频率分布直方图如图：（1）依据统计结果的部分频率分布直方图，求班级卫生量化打分检查得分的中位数；（2）学校用分层抽样的方法，从评定等级为“优”、“良”、“中”、“差”的班级中抽取10个班级，再
5、从这10个班级中随机抽取2个班级进行抽样复核，记抽样复核的2个班级获得的奖励小红旗面数和为，求的分布列与数学期望19（12分）已知数列的各项均为正数，且（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和20.（12分）已知椭圆C：1(ab0)过点A(，)，离心率为，点F1，F2分别为其左、右焦点(1)求椭圆C的标准方程；(2)若y24x上存在两个点M，N，椭圆上有两个点P，Q满足M，N，F2三点共线，P，Q，F2三点共线，且PQMN，求四边形PMQN面积的最小值21（12分）已知函数，.(1)求的极值；(2)若对任意的，当时，恒成立，求实数的最大值；(3)若函数恰有两个不相等的零点，求实数的取值
6、范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分22（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】已知直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为，直线与圆交于，两点（1）求圆的直角坐标方程及弦的长；（2）动点在圆上(不与，重合)，试求的面积的最大值23（10分）【选修4-5：不等式选讲】已知，为正实数，且（1）求证：；（2）求证：数学试卷(理科)答案一、选择题题号123456789101112答案DBCABACADACD二、填空题：本大题共4小题，每小题5分来源:学&科&网139 14 15. (3,5) 16 三 解答
7、题答案17（1）证明：DAFADC90，DCAF，又B为AF的中点，四边形BFCD是平行四边形，CFBD，BD平面BDE，CF平面BDE，CF平面BDE，B，E分别是AF，SA的中点，SFBE，BE平面BDE，SF平面BDE，SF平面BDE，又CFSFF，平面BDE平面SCF.4（2）取CD的中点O，连结SO，SCD是等腰三角形，O是CD中点，SOCD，又平面SCD平面AFCD，平面SCD平面AFCDCD，SO平面AFCD，取AB的中点H，连结OH，由题设知四边形ABCD是矩形，OHCD，SOOH，以O为原点，OH为x轴，OC为y轴，OS为z轴，建立空间直角坐标系，.5则A（1，1，0），B（
8、1，1，0），C（0，1，0），S（0，0，1），（1，2，0），（0，1，1），（1，0，0），.7设平面ASC的法向量（x，y，z），则，取y1，得（2，1，1），.8设平面BSC的法向量（x，y，z），则，取y1，得（0，1，1），.9cos，.10由图知二面角ASCB的平面角为锐角，二面角ASCB的余弦值为 . 1218解：（1）得分，的频率为；得分，的频率为；得分，的频率为；所以得分，的频率为.。2分设班级得分的中位数为分，于是，解得。3分所以班级卫生量化打分检查得分的中位数为70。4分（2）由（1）知题意“优”、“良”、“中”、“差”的频率分别为0.3，0.4，0.2，0.1又班级
9、总数为40于是“优”、“良”、“中”、“差”的班级个数分别为12，16，8，4分层抽样的方法抽取的“优”、“良”、“中”、“差”的班级个数分别为3，4，2，1。5分由题意可得的所有可能取值为1，2，3，4，5，6。6分，。9分所以的分布列为123456 。11分所以的数学期望12分19.（1）由，得，所以或，.2又因为数列的各项均为正数，负值舍去，所以.4（2）由，.5所以.6.7由-得：.8.10所以.1220(1)由题意得，得bc.1(ab0)，c1，a22，椭圆C的标准方程为y21.3(2)当直线MN斜率不存在时，直线PQ的斜率为0，易得|MN|4，|PQ|2，S四边形PMQN4.4当直
10、线MN斜率存在时，设直线方程为yk(x1)(k0)，与y24x联立得k2x2(2k24)xk20.5令M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1x22，x1x21，|MN|4.6PQMN，直线PQ的方程为y(x1.)将直线与椭圆联立，得(k22)x24x22k20.令P(x3，y3)，Q(x4，y4)，则x3x4，x3x4，.7|PQ|.8四边形PMQN的面积S，.9令1k2t(t1)，.10则S4(1)4，.11S4，其最小值为4.1221(1)，令，得.1，的极小值为，无极大值.3(2)，由(1)可知等价于，即.4设，则在为增函数.在恒成立.恒成立.5设，在上恒成立为增函数.在上的最小值为
11、.，的最大值为.6(3)当时，当和时，单调递增当时，单调递减所以的极大值为所以函数至多一个零点.7当时，在上单调递增.8当时，当和时，单调递增当时，单调递减所以的极大值为的极小值为所以函数至多有一个零点.9当时，当，单调递增当时，单调递减所以：当时，即时，函数至多一个零点.10：当时，所以存在，所以函数在上有唯一的零点.又所以函数在上有唯一的零点.综上所述：实数的取值范围为.1222【答案】【解析】（1）由，得，所以，所以圆的直角坐标方程为，.1将直线的参数方程代入圆，并整理得，解得，.2所以直线被圆截得的弦长为.3（2）直线的普通方程为，.4圆的参数方程为（为参数），.5可设圆上的动点，.6则点到直线的距离，.7当时，取最大值，且的最大值为，.8所以，.9即的面积的最大值为.1023【解析】（1），为正实数，且，故.2，.4当且仅当，时，等号成立，即.5（2），.8当且仅当时，等号成立，即.10
