1、精品题库试题 理数1.(2014山东,8,5分)已知函数f(x)=|x-2|+1,g(x)=kx.若方程f(x)=g(x)有两个不相等的实根,则实数k的取值范围是()A.B.C.(1,2)D.(2,+) 1.B 1.f(x)=如图,作出y=f(x)的图象,其中A(2,1),则kOA=.要使方程f(x)=g(x)有两个不相等的实根,则函数f(x)与g(x)的图象有两个不同的交点,由图可知,k0,则a的取值范围是()A.(2,+)B.(1,+)C.(-,-2)D.(-,-1) 2.C 2.(1)当a=0时,显然f(x)有两个零点,不符合题意.(2)当a0时, f (x)=3ax2-6x,令f (x
2、)=0,解得x1=0,x2=.当a0时,0,所以函数f(x)=ax3-3x2+1在(-,0)与上为增函数,在上为减函数,因为f(x)存在唯一零点x0,且x00,则f(0)0,即10,不成立.当a0时,0,则f0,即a-3+10,解得a2或a-2,又因为a0,当非零实数a,b满足4a2-2ab+4b2-c=0且使|2a+b|最大时,-+的最小值为_. 21.-2 21.设2a+b=t,则2a=t-b,由已知得关于b的方程(t-b)2-b(t-b)+4b2-c=0有解,即6b2-3tb+t2-c=0有解.故=9t2-24(t2-c)0,所以t2c,所以|t|max=,此时c=t2,b=t,2a=t
3、-b=,所以a=.故-+=-+=8=8-2-2.22.(2014天津,14,5分)已知函数f(x)=|x2+3x|,xR.若方程f(x)-a|x-1|=0恰有4个互异的实数根,则实数a的取值范围为_. 22.(0,1)(9,+) 22.记g(x)=a|x-1|,则g(x)的图象过定点(1,0).原方程恰有四个互异的实数根,则f(x)与g(x)的图象恰有四个不同交点,故a0.分以下三种情况:i)四个交点的横坐标均小于1.由得x2+(3-a)x+a=0,由1=(3-a)2-4a0得a9舍去).故0a1时恰有四个交点.ii)三个交点的横坐标小于1,一个交点的横坐标大于1.则y=a(1-x)与y=-x
4、2-3x(-3x1)也相切,解得a=1且a=9,此种情形不存在.iii)两个交点的横坐标小于1,另两个交点的横坐标大于1,由得x2+(3-a)x+a=0,由2=(3-a)2-4a0得a9(a9时恰有四个交点.综上,a(0,1)(9,+).23. (2014山西忻州一中、康杰中学、临汾一中、长治二中四校高三第三次联考，15) 已知, 有且仅有一个零点时，则的取值范围是 . 23. 或 23. 令，因为是定义域的减函数，而是定义域的增函数，所以当时为减函数，其值域为；，欲使函数只有一个零点，只需使函数的图像与函数的图像有一个交点即可，因此可得或.24. (2014重庆杨家坪中学高三下学期第一次月考
5、，13) 的零点个数是. 24.0个 24. 函数的图象如图，由图知零点的个数是0个.25. (2014北京东城高三第二学期教学检测，11) 若函数有零点，则的取值范围为_. 25.或 25. 由已知，所以不是零点。从而函数有零点等价于方程有解. 设，故的范围是函数的值域. ，易得在单调递减，单调递减，单调递增.又当时，当时，为最小值，所以.故的值域是，从而或26.(2014湖北武汉高三2月调研测试，14) 已知函数f(x) sin2x2cos2xm在区间上的最大值为3，则（）m ；（）对任意aR，f(x) 在上的零点个数为 26. （1）0；（2）40或41 26. （1）因为： ，所以，
6、，所以 ， .（2）由（1） ，周期，在长为的闭区间内有两个或三个零点，区间的长度为十个周期，故零点个数为40个或41个.27. (2014湖南株洲高三教学质量检测（一），13) 若关于的方程有四个不同的实数根，则的取值范围是 . 27. 27. 由方程有四个不同的实数根，是其中1个根，当时，方程有三个不同的实根，即函数与应有3个不同的交点，如图，显然不成立，当时，与的图象有一个交点，只需与的图象有2个交点即可，联立方程组，消去得，由，解得或（舍去），即当时，与的图象有2个交点，综上所述，的取值范围是.28. (2014河南郑州高中毕业班第一次质量预测, 16) 定义在上的函数的单调增区间为，
7、若方程恰有6个不同的实根，则实数的取值范围是_. 28. 28. ，又函数的递增区间为，即，又恰有6个不同的实根，等价于恰有6个不同的实根，即，要使恰有6个不同的实根，也就是方程各有3个不同的实根，当得，此时函数单调递增，当得或，此时函数单调递减，当时，函数取得极大值，当时，函数取得极小值，此时必有，即，故.29. (2014湖北黄冈高三期末考试) 定义在上的偶函数，满足，都有，且当时，. 若函数在上有三个零点，则的取值范围是 . 29. 29.由函数是偶函数，则，令，又对都有成立，则，即，是周期为2的函数，又当时，又，由得，分别作与的图象，若不满足条件，当时，要函数在上有三个零点，则，即.3
8、0. (2014北京东城高三12月教学质量调研) 给定下列四个命题：，使成立；，都有；若一个函数没有减区间，则这个函数一定是增函数；若一个函数在为连续函数，且，则这个函数在上没有零点.其中真命题个数是 . 30. 1 30. 方程无整数解，假命题；由，则恒成立，所以是真命题；这个函数可能是常数函数，故是假命题；可能有零点，故错误.故真命题个数是，正确的个数是1个.31.(2014天津,20,14分)设f(x)=x-aex(aR),xR.已知函数y=f(x)有两个零点x1,x2,且x10在R上恒成立,可得f(x)在R上单调递增,不合题意.a0时,由f (x)=0,得x=-ln a.当x变化时,
9、f (x), f(x)的变化情况如下表:x(-,-ln a)-ln a(-ln a,+)f (x)+0-f(x)-ln a-1这时, f(x)的单调递增区间是(-,-ln a);单调递减区间是(-ln a,+).于是,“函数y=f(x)有两个零点”等价于如下条件同时成立:(i)f(-ln a)0;(ii)存在s1(-,-ln a),满足f(s1)0;(iii)存在s2(-ln a,+),满足f(s2)0,即-ln a-10,解得0ae-1.而此时,取s1=0,满足s1(-,-ln a),且f(s1)=-a0;取s2=+ln,满足s2(-ln a,+),且f(s2)=+0.由已知,x1,x2满足
10、a=g(x1),a=g(x2).由a(0,e-1),及g(x)的单调性,可得x1(0,1),x2(1,+).对于任意的a1,a2(0,e-1),设a1a2,g(1)=g(2)=a1,其中0112;g(1)=g(2)=a2,其中011a2,即g(1)g(1),可得11;类似可得20,得1,且解得x1=,x2=.所以x1+x2=.(*)令h(x)=,x(1,+),则h (x)=.令u(x)=-2ln x+x-,得u(x)=.当x(1,+)时,u(x)0.因此,u(x)在(1,+)上单调递增,故对于任意的x(1,+),u(x)u(1)=0,由此可得h(x)0,故h(x)在(1,+)上单调递增.因此,
11、由(*)可得x1+x2随着t的增大而增大.而由(),知t随着a的减小而增大,所以x1+x2随着a的减小而增大.32. (2014山西太原高三模拟考试（一），21) 已知函数， . （I）若函数在区间（0, ）无零点，求实数的最小值； （）若对任意给定的 ，在上方程总存在两个不等的实根，求实数的取值范围. 32.查看解析 32.33. （2014广东汕头普通高考模拟考试试题，21）已知函数. () 求函数的单调区间；() 试探究函数在定义域内是否存在零点，若存在，请指出有几个零点；若不存在，请说明理由；() 若，且在上恒成立，求实数的取值范围. 33.查看解析 33.() 由，当时，则有函数在区
12、间单调递增；当时，, ，函数的单调增区间为，单调减区间为，综合的当时，函数的单调增区间为；当时，函数的单调增区间为，单调减区间为. （5分)() 函数定义域为，又，令，则，(7分)，故函数在上单调递减，在上单调递增，(8分)有由（1）知当时，对，有，即，当且趋向0时，趋向，随着的增长，的增长速度越来越快，会超过并远远大于的增长速度，而的增长速度则会越来越慢。故当且趋向时，趋向，得到函数的草图如图所示，故当时，函数有两个不同的零点；当时，函数有且仅有一个零点；当时，函数无零点；(10分)（3）由（2）知当时，故对，先分析法证明：要证只需证即证构造函数故函数在单调递增，则成立. (12分)当时，由
13、（1）知，函数在单调递增，则在上恒成立.当时，由（1）知，函数在单调递增，在单调递减，故当时，所以，则不满足题意.综合得，满足题意的实数的取值范围. (14分)34. (2014广东广州高三调研测试，20) 设函数，. () 若曲线与在它们的交点处有相同的切线，求实数，的值；() 当时，若函数在区间内恰有两个零点，求实数的取值范围；() 当，时，求函数在区间上的最小值. 34.查看解析 34.解：() 因为，所以，.因为曲线与在它们的交点处有相同切线,所以, 且.即, 且,解得，. （3分）() 当时，所以.令，解得，.当变化时，的变化情况如下表：00极大值极小值所以函数的单调递增区间为，单调
14、递减区间为. （5分）故在区间内单调递增，在区间内单调递减.从而函数在区间内恰有两个零点，当且仅当 ，即，解得.所以实数的取值范围是. （8分）() 当，时，.所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为.由于，所以. （9分）当，即时，.当时，.当时，在区间上单调递增，.综上可知，函数在区间上的最小值为（14分）35.（2014山东潍坊高三3月模拟考试数学（理）试题，21） 已知函数 (I) 求函数的零点的个数； () 令，若函数在(0，) 内有极值，求实数a的取值范围； () 在() 的条件下，对任意，求证： 35.查看解析 35.36.(2014湖北八市高三下学期3月联考，22) 定义在R上
15、的函数及二次函数满足：且。（I）求和的解析式；（II）；（III）设，讨论议程的解的个数情况 36.查看解析 36. () , 即由联立解得: . 2分是二次函数, 且, 可设,由, 解得. . 4分() 设,依题意知: 当时, , 在上单调递减, 6分在上单调递增, 解得: 实数的取值范围为. 9分() 设, 由() 知, 的图象如图所示:设, 则当, 即时, , 有两个解, 有个解;当, 即时, 且, 有个解; 11分当, 即时, , 有个解;当, 即时, , 有个解. 13分综上所述:当时, 方程有个解;当时, 方程有个解;当时, 方程有个解;当时, 方程有个解. 14分37. (201
16、4湖南株洲高三教学质量检测（一），21) 设函数. （）求函数的单调区间 () 若函数有两个零点，且，求证： 37.查看解析 37. （） ，当时，函数在上单调递增，所以函数的单调递增区间为 ， （4分）当时，由，得；由，得所以函数的单调增区间为，单调减区间为 ， （6分） () 因为是函数的两个零点，有则，两式相减得即所以 ，又因为，当时，；当时，故只要证即可，即证明 , （10分）即证明，即证明，设. 令，则，因为，所以，当且仅当时，所以在是增函数；又因为，所以当时，总成立.所以原题得证. (13分)38. （2014陕西宝鸡高三质量检测(一)，21 ）已知函数，设 （）求函数的单调区间；
17、 （）若以函数图象上任意一点为切点的切线的斜率恒成立，求实数的最小值； （）是否存在实数，使得函数的图象与函数的图象恰有四个不同交点？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，说明理由. 38.查看解析 38. （） ，由得，在上是增函数.由得，在上是减函数.的单调递减区间为，单调递增区间为. （4分）（）由 ，得恒成立，即恒成立.当时，取得最大值，的最小值为. （8分）（）若的图像与的图像恰有四个不同交点，即有四个不同的根，亦即有四个不同的根. 令.则(x) =.当变化时、的变化情况如下表：（-，-1）（-1,0）（0,1）（1，+）的符号+-+-的单调性由上表知：, ，画出草图和验证，可知，当
18、时，与恰有四个不同交点.当时，的图像与的图像恰有四个不同交点.39. (2014广州高三调研测试, 20) 设函数，. （）若曲线与在它们的交点处有相同的切线，求实数，的值；（）当时，若函数在区间内恰有两个零点，求实数的取值范围；（）当，时，求函数在区间上的最小值. 39.查看解析 39. 解析（）因为，所以，.因为曲线与在它们的交点处有相同切线,所以, 且。即, 且,解得. （3分） （）当时，所以.令，解得.当变化时，的变化情况如下表：00极大值极小值所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为.故在区间内单调递增，在区间内单调递减.从而函数在区间内恰有两个零点，当且仅当 即解得.所以实数的取值范围是. （8分） （）当，时，.所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为.由于，所以.当，即时，.当时，. （12分）当时，在区间上单调递增，.综上可知，函数在区间上的最小值为 （14分）
