1、广西桂林、百色、梧州、崇左、北海五市联合模拟考试数学（文）试题第卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集，集合M，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】因为全集，集合所以,又，所以，故选C.2. 在复平面中，复数对应的点在（ ）A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】B【解析】复数对应的点的坐标为在第二象限，故选B.3. 在中，则（ ）A. B. 1 C. D. 4【答案】A【解析】由题意有：，即：，由向量的坐标运算：，即：，解得：.本题选择A选项.4. 如图
2、是2017年第一季度五省情况图，则下列陈述正确的是（ ）2017年第一季度总量和增速均居同一位的省只有1个；与去年同期相比，2017年第一季度五个省的总量均实现了增长；去年同期的总量前三位是江苏、山东、浙江；2016年同期浙江的总量也是第三位.A. B. C. D. 【答案】B【解析】总量排序为：江苏，山东，浙江，河南，辽宁；增速排序为：江苏，辽宁，山东，河南，浙江；则总量和增速均居同一位的省有河南，江苏两省，说法错误；与去年同期相比，2017年第一季度五个省的总量均实现了增长，说法正确；去年同期的总量前三位是江苏、山东、浙江，说法正确；2016年的GDP量计算为：浙江：，江苏：，河南：，山东
3、：，辽宁：，据此可知，2016年同期浙江的总量也是第三位，说法正确.本题选择B选项.5. 在和两个集合中各取一个数组成一个两位数，则这个数能被5整除的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】能够被5整除的数只能是25,35两种情况，由古典概型公式可得：这个数能被5整除的概率是.本题选择C选项.6. 若函数在区间上的最大值为1，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由函数的解析式结合正弦函数的性质可知：，即：.本题选择C选项.7. 若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】，故选B.【 方法点睛】本题主要考查指数函数的性质、对数函数的性质及比较大小问题，属于
4、中档题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间 ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.8. 某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的（ ）A. 15 B. 29 C. 31 D. 63【答案】D【解析】流程图执行过程如下：初始条件：，第一次循环：；第二次循环：；第三次循环：；第四次循环：；此时跳出循环，输出B的值为63.本题选择D选项.9. 在中，角所对的边分别为，已知，为锐角，那么角的比值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由正弦定理：，B为锐角，则：，角的比值为 。本题选择B选项.点睛：在处理三
5、角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用解决三角形问题时，注意角的限制范围10. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】如图所示，在长宽高分别为的长方体中，三棱柱为该三视图所对应的几何体，各个面的面积：，,.该几何体的表面积为.本题选择A选项.11. 是三个平面，是两条直线，下列命题正确的是（ ）A. 若，则B. 若，则C. 若不垂直平面，则不可能垂直于平面内的无数条直线D. 若，则【答案】D【解析】逐一分析所
6、给的命题：A. 若，并非一条直线垂直于平面内两条相交直线，不一定有，该说法错误；B. 若，无法确定m,n的关系，该说法错误；C. 若不垂直平面，则可能垂直于平面内的无数条直线，该说法错误；D. 若，则，该说法正确.本题选择D选项.点睛：线面关系与面面关系的证明离不开判定定理和性质定理，而形成结论的“证据链”依然是通过挖掘题目已知条件来实现的，如图形固有的位置关系、中点形成的三角形的中位线等，都为论证提供了丰富的素材12. 设为双曲线右支上一点，分别是圆和上的点，设的最大值和最小值分别为，则（ ）A. 4 B. 5 C. 6 D. 7【答案】C【解析】双曲线的两个焦点为为两个圆的圆心，半径分别为
7、，故的最大值为，同理的最小值为，故选C.【方法点晴】本题主要考查双曲线的定义、圆的几何性质及圆锥曲线求最值，属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法.第卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知实数满足不等式组，则的最大值是_【答案】7【解析】绘制不等式组表示的平面区域，目标函数表示点与点之间连线的斜率，观察可得，目标函数在点处取得最大值：，即
8、的最大值是.点睛：本题是线性规划的综合应用，考查的是非线性目标函数的最值的求法解决这类问题的关键是利用数形结合的思想方法，给目标函数赋于一定的几何意义14. 的内角的对边分别为，若，的面积为，则_【答案】【解析】由题意：，解得：，bc，则为锐角，结合余弦定理：.15. 圆与直线的位置关系是_横线内容从“相交、相切、相离、不确定”中选填）.【答案】相离 【解析】把圆的方程化为标准方程得：，圆心坐标为(0,0),半径，又，圆心到直线xsin+y1=0的距离，则直线与圆的位置关系为相离。点睛：判断直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的
9、距离的表达较繁琐，则用代数法16. 直线分别与曲线交于两点，则的最小值为_【答案】2【解析】当是，由题意可得：，令，则：，当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，函数的最大值为，据此可知的最小值为2.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知各项均为正数的等差数列满足：，且成等比数列，设的前项和为.（1）求数列的通项公式；（2）设，数列是否存在最小项？若存在，求出该项的值；若不存在，请说明理由.【答案】(1) (2) 数列的最小项是第4项，该项的值为9.【解析】试题分析：(1)利用题意求得，则数列的通项公式为(2)利用题意求得，结合均值不等
10、式可得数列存在最小项.试题解析：（）根据题意，等差数列中，设公差为，且，成等比数列，即解得，所以数列的通项公式为（）数列存在最小项理由如下：由（）得， ，当且仅当时取等号，故数列的最小项是第4项，该项的值为918. 某公司为了准确地把握市场，做好产品生产计划，对过去四年的数据进行整理得到了第年与年销量（单位：万件）之间的关系如下表：（1）在图中画出表中数据的散点图；（2）根据散点图选择合适的回归模型拟合与的关系（不必说明理由）；（3）建立关于的回归方程，预测第5年的销售量.附注：参考公式：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：，.【答案】(1)见解析;(2) .（3）第5年的销售量大
11、约为71万件.【解析】试题分析：(1)利用所给的数据绘制散点图即可；(2)点在直线附近，则利用直线拟合与的关系(3)利用题中的 数据求得，据此预测第5年的销售量为万件.试题解析：（）作出散点图如图：（）根据散点图观察，可以用线性回归模型拟合与的关系观察散点图可知各点大致分布在一条直线附近，列出表格：可得，所以， 故对的回归直线方程为（）当时，故第5年的销售量大约71万件点睛： (1)正确理解计算的公式和准确的计算是求线性回归方程的关键(2)回归直线方程必过样本点中心(3)在分析两个变量的相关关系时，可根据样本数据作出散点图来确定两个变量之间是否具有相关关系，若具有线性相关关系，则可通过线性回归
12、方程来估计和预测19. 如图，在正三棱柱中，点分别是棱上的点，且.（1）证明：平面平面；（2）若，求三棱锥的体积.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】试题分析：(1) 取线段的中点，利用题意证得平面，然后由面面垂直的判断定理可得平面 平面(2)结合(1)的结论求得棱锥的高，然后利用体积公式可得.试题解析：（）证明：取线段的中点，取线段的中点，连接，则，又，是平行四边形，故，平面平面，平面平面 ，平面，而，平面，平面，平面 平面（）由（）得平面，所以20. 已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率，以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形的周长为8，面积为.（1）求椭圆的方程；（2）若点为椭圆
13、上一点，直线的方程为：，求证：直线与椭圆有且只有一个交点.【答案】（1）；（2）见解析.【解析】试题分析：(1)利用题意求得，椭圆的方程为(2)首先讨论当的情况，否则联立直线与椭圆的方程，结合直线的特点整理可得直线与椭圆有且只有一个交点试题解析：（）依题意，设椭圆的方程为，焦距为，由题设条件知，所以，或，（经检验不合题意舍去），故椭圆的方程为（）当时，由，可得，当，时，直线的方程为，直线与曲线有且只有一个交点当，时，直线的方程为，直线与曲线有且只有一个交点当时，直线的方程为，联立方程组消去，得由点为曲线上一点，得，可得于是方程可以化简为，解得，将代入方程可得，故直线与曲线有且有一个交点，综上，
14、直线与曲线有且只有一个交点，且交点为21. 设函数，.（1）求函数的单调区间；（2）若函数在处取得极大值，求正实数的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）正实数的取值范围为。【解析】试题分析：（1）求出，分两种情况讨论，分别令求得 的范围，可得函数增区间，求得 的范围，可得函数的减区间；（2）讨论的取值范围，分别利用导数研究函数的单调性，根据函数极值的定义，进行验证即可得到结论.试题解析：（1）由，所以.当时，函数在上单调递增；当时，函数单调递增，时，函数单调递减.所以当时，的单调增区间为；当时，的单调增区间为，单调减区间为.（2），且.由（1）知当时，由（1）知在内单调递增，可得当时，当时，
15、.所以在内单调递减，在内单调递增，所以在处取得极小值，不合题意.当时，在内单调递增，在内单调递减，所以当时，单调递减，不合题意.当时，当时，单调递增，当时，单调递减.所以在处取得极大值，符合题意.综上可知，正实数的取值范围为.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数).以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线的极坐标方程为.（1）求直线的直角坐标方程和曲线的普通方程；（2）设点为曲线上任意一点，求点到直线的距离的最大值.【答案】（1）；（2）取得最大值为.【解析】试题分析：(1)利用互化公式可得直线的直角坐标方程和曲线的普通方程分别为，.(2)利用距离公式得到三角函数式，结合三角函数的性质可得点到直线的距离的最大值为.试题解析：（）因为直线的极坐标方程为，即，即曲线的参数方程为（是参数），利用同角三角函数的基本关系消去，可得（）设点为曲线上任意一点，则点到直线的距离，故当时，取最大值为 23. 已知函数.（1）若不等式恒成立，求实数的最大值；（2）当时，函数有零点，求实数的取值范围.【答案】（1）实数的最大值为1；（2）实数的取值范围是.试题解析:（1） ，的最大值为1.（2）即在处取到最小值，即，通分后的解集为与题干中取交集得.
