1、广西桂林市逸仙中学2020-2021学年高二数学上学期期中试题 文（含解析）考试时间：120分钟一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60.0分）1. 不等式的解集是（ ）A. B. C. 或D. 【答案】A【解析】【分析】求出不等式对应方程的实数根，即可写出不等式的解集【详解】解：不等式对应的方程为，它的实数根为和3，所以，该不等式的解集为故选：A2. 在中，则此三角形的最大边长为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析】角最大，则边最长，则由正弦定理可求解.【详解】在中，则角最大，则边最长.由,则故选：C3. 不等式表示的平面区域是（ ）A. B. C. D. 【答案】B
2、【解析】【分析】根据线性规划的知识可得，直线一侧的平面区域内的点的坐标代入到直线方程的左侧时的值的符号一致，故考虑代进行检验即可【详解】解：根据线性规划的知识可得，直线一侧的平面区域内的点的坐标代入到直线方程的左侧时的值的符号一致故考虑代进行检验，代入得不成立，故在的右侧，不等式表示的平面区域在直线的右上方经过第一、二、四象限故选：B4. 在中，角，所对的边分别为，若，则为（ ）A. 直角三角形B. 锐角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形【答案】C【解析】【分析】用余弦定理求最大边所对角.【详解】,可设，最大角为C，所以C为钝角.故选:C【点睛】此题也可以直接求判断其符号，从而确定角C是钝
3、角、锐角、直角.5. 已知中，则数列的通项公式是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据等比数列的定义可知首项为,公比,代入等比数列通项公式即可得出结果.【详解】解:因为中，,所以数列是首项为,公比的等比数列,设通项公式为: ,所以.故选:C6. 设，且，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】结合不等式的性质、特殊值判断出错误选项，利用差比较法证明正确选项成立.详解】A选项，当 时，由不能得到，故不正确；B选项，当，（如，）时，由不能得到，故不正确；C选项，由及可知当时（如，或，）均不能得到，故不正确；D选项，因为不同时为，所以，所以可由知，即，故正确.
4、故选：D【点睛】本小题主要考查不等式的性质以及差比较法，属于中档题.7. 设是等差数列的前项和，若，则（ ）A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】A【解析】【分析】由等差数列的前和公式，求得，再结合等差数列的性质，即可求解.【详解】由题意，根据等差数列的前和公式，可得，解得，又由等差数列的性质，可得.故选：A.【点睛】熟记等差数列的性质，以及合理应用等差数列的前和公式求解是解答的关键8. 两个灯塔、与海洋观测站的距离都等于，灯塔在观测站的东北方向上，灯塔在观测站的南偏东方向上，则、之间的距离为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】求得，利用余弦定理求得的距离.【详解】依题意
5、，由余弦定理得，所以.故选：D【点睛】本小题主要考查余弦定理解三角形，属于基础题.9. 若不等式的解集为，则的值为（ ）A. 5B. -5C. -25D. 10【答案】B【解析】【分析】根据题意可知和3是方程的两个根，由此利用根与系数的关系求解即可【详解】解：由题意可得：和3是方程的两个根，解得，所以故选B【点睛】本题考查一元二次不等式与二次方程的关系，属于基础题10. 等差数列中，则（ ）A. 12B. 18C. 24D. 30【答案】D【解析】【分析】根据题意，由等差数列前项和的性质分析可得，也成等差数列，计算可得、的值，由等差数列的性质分析可得、的值，又由，计算可得答案【详解】解：根据题
6、意，等差数列中，也成等差数列，又由，则，则，则，故选：11. 两等差数列，的前n项和分别为，若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据等差数列性质计算：【详解】数列是等差数列，则故选：C【点睛】结论点睛：本题考查等比数列的前项和，掌握等差数列的性质是解题关键数列是等差数列，前项和为，则，若也是等差数列，前项和为，则12. 如图，已知中，延长AC到D，连接BD，若且，则（ ）A. 1B. C. 2D. 【答案】B【解析】【分析】延长，过作，垂足为，则，设，则，求出，即可得出结论【详解】解：如图所示，延长，过作，垂足为，则，设，则，即，即整理得，即，解得或（舍去）故选：B二
7、、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20.0分）13. 若x、y满足条件，则的最大值为_【答案】3【解析】【分析】先画出满足约束条件的可行域，数形结合，即可得到目标函数的最大值【详解】解：，满足约束条件的平面区域如下图所示：由解得，所以，同理可得，当，时，目标函数的最大值为3故答案为：【点睛】本题考查的知识点是简单的线性规划，用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，画出满足约束条件的可行域是关键，14. 若关于的二次不等式的解集为实数集，则实数的取值范围是_【答案】【解析】【分析】根据不等式恒成立，得到判别式小于等于零，求解，即可得出结果.【详解】因为关于的二次不等式的解集为实数集
8、，所以只需，解得，即实数的取值范围是.故答案为：.15. 设的内角所对的边分别为，若，则角=_.【答案】【解析】【分析】根据正弦定理到，再利用余弦定理得到，得到答案.【详解】，则，故.根据余弦定理：，故.故答案为：.【点睛】本题考查了正弦定理，余弦定理解三角形，意在考查学生的计算能力.16. 自然数按照下表的规律排列，则上起第20行，左起第21列的数为_【答案】【解析】【分析】根据规律归纳推理，即得结果.【详解】依题意，设第n行和第n列是第n组，则每一组最后一个数， 第一组：1；第二组：23,4；第三组：5,6,7,8,9；第n组最后一个数是，易见，上起第20行，左起第21列的数在第21组，第
9、20组最后一个数是，故第21组第一个数是401，最后一个数是401+20=421，故上起第20行，左起第21列的数是422.故答案为：422.三、解答题（本大题共6小题，共700分）17. 已知数列为等差数列，且，（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前n项和，求的表达式【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】(1)将，用表示，解方程组求出，代入等差数列的通项公式即可；(2)利用等差数列前和公式直接求解即可.【详解】(1)由题意知，则，解得，所以(2)由(1)知18. 设锐角内角的对边分别为，（）求的大小；（）若的面积等于，求和的值【答案】（1）；（2）2,2.【解析】本试题主要是考查了解三角
10、形的运用解：（）解： 4分（） 10分19. 某工厂在计划期内要安排生产甲、乙两种产品，每生产一件产品甲可获利2元，每生产一件产品乙可获利3元加工每件产品甲需要消耗A原料4kg，占用设备工时数为1；加工每件产品乙需要消耗B原料4kg，占用设备工时数为2；工厂计划内库存A原料16kg，库存B原料12kg，设备使用工时数为8，问如何安排生产计划可使该工厂获利最多？【答案】安排生产甲4件、乙种产品2件，该工厂获利最多【解析】【分析】设每天生产甲种产品x件，乙种产品y件，得到约束条件和目标函数，然后利用数形结合法求解.【详解】设每天生产甲种产品x件，乙种产品y件，由题意知，目标函数为画出约束条件的可行
11、域如图所示阴影部分：将目标函数转化为，平移直线，当直线在y轴上截距最大时，经过点A，此时，目标函数取得最大值.由，解得，最大利润为元，安排生产甲4件、乙种产品2件，该工厂获利最多.20. 已知数列中，且（1）求数列的通项公式；（2）设，数列的前项和【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用累加法可求得数列的通项公式；（2）求得，利用裂项相消法可求得.【详解】（1），.，；（2）由（1）知，因此，.【点睛】方法点睛：1.数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法直接求和；（2）对于型数列，其中是等差数列，是等比数列，利用错位相减法求和；（3）对于型数列，利用分组求和法；（4）
12、对于型数列，其中是公差为的等差数列，利用裂项相消法求和.2.求数列通项公式常用的七种方法：（1）公式法：根据等差数列或等比数列的通项公式或进行求解；（2）前项和法：根据进行求解；（3）与的关系式法：由与的关系式，类比出与的关系式，然后两式作差，最后检验出是否满足用上面的方法求出的通项；（4）累加法：当数列中有，即第项与第项的差是个有规律的数列，就可以利用这种方法；（5）累乘法：当数列中有，即第项与第项的商是个有规律的数列，就可以利用这种方法；（6）构造法：一次函数法：在数列中，（、均为常数，且，）.一般化方法：设，得到，可得出数列是以的等比数列，可求出；取倒数法：这种方法适用于（、为常数，），
13、两边取倒数后，得到一个新的特殊（等差或等比）数列或类似于的式子；（、为常数且不为零，）型的数列求通项，方法是在等式的两边同时除以，得到一个型的数列，再利用中的方法求解即可.21. 在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且角B，A，C成等差数列.（1）若，求实数m的值；（2）若，求的面积【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由角，成等差数列以及三角形的内角和公式知，再由余弦定理和已知的条件可得，解得的值（2）由（1）知，又已知，故由余弦定理得，结合条件求得，由此求得的面积【详解】（1）角B，A，C成等差数列，由余弦定理得，.（2）由（1）知，即，.【点睛】解三角形的基本策略：一是利用
14、正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.22. 已知数列是首项为2，公差为1的等差数列.（1）求数列的通项公式；（2）令，数列的前n项和为，若对任意的正整数n，恒有，求实数的取值范围【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）依题意根据等差数列的通项公式，求出的通项公式，即可求出的通项公式；（2）由（1）可得，再利用错位相减法求和，即可得到对任意的正整数，恒有，当时，求出的取值范围，当时,参变分离令，利用作差法说明其单调性，即可求出参数的取值范围；【详解】（1）由题意知，.（2）由（1）知，所以 .则 -，得即.则.由已知，对任意的正整数，恒有.当时，化为，得当时，化为，此时，为任意实数不等式都成立.当时，化为，即令，则，所以.当时，则，此时，的最小值为，则综上可知，即的取值范围是【点睛】本题的核心是考查错位相减求和.一般地，如果数列是等差数列，是等比数列，求数列的前n项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列的公比，然后作差求解
