1、6.2平面向量在几何、物理中的应用举例一、向量在几何证明中的应用 (15分钟30分)1.已知ABC中,=a,=b,且ab0,则ABC的形状为()A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.等腰直角三角形【解析】选A.因为ab=|cos A0,所以A为钝角,故ABC为钝角三角形.2.在四边形ABCD中,=,且|=|,那么四边形ABCD为()A.平行四边形B.菱形C.长方形D.正方形【解析】选B.由=可知,该四边形为平行四边形,又由|=|知邻边相等,故该四边形为菱形.3.ABC顶点为A(a,0),B(-a,0),C(asin ,acos ),则ABC为()A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角
2、三角形D.等边三角形【解析】选A.依题意可知a0,=(asin -a,acos ),=(asin +a,acos ),与不恒等,所以=(asin )2-a2+(acos )2=a2(sin2+cos2)-a2=0,所以,所以ABC是直角三角形.4.(2020北京高考)已知正方形ABCD的边长为2,点P满足=(+),则|=_;=_.【解析】如图建系,则A(0,0),B(2,0),C(2,2),D(0,2),所以=(2,0),=(2,2),=(2,1),P(2,1),=(-2,1),|=,又=(0,-1),所以=-1.答案:-15.在ABC所在的平面内有一点P,如果2+=-,那么PBC的面积与AB
3、C的面积之比是_.【解析】因为2+=-=+=,所以2+-=3+=0,所以点P在边AC上,且3|PA|=|PC|,所以=,如图,设ABC中AC边上的高为h,所以=.答案:6.求证:以A(1,0),B(5,-2),C(8,4),D(4,6)为顶点的四边形是一个矩形.【证明】因为=(4,-2),=(3,6),=(4,-2),=,=(3,6)不为零向量,且不与平行,所以以A,B,C,D为顶点的四边形是平行四边形.因为=0,所以以A,B,C,D为顶点的四边形是矩形. (30分钟60分)一、单选题(每小题5分,共20分)1.若在ABC中AB=AC=1,|+|=,则ABC的形状是()A.正三角形B.锐角三角
4、形C.斜三角形D.等腰直角三角形【解析】选D.由|+|=,得+2+=2,因为AB=AC=1,所以=0,即ABAC,所以ABC为等腰直角三角形.【补偿训练】已知非零向量与满足=0,且|=|,则ABC为()A.等腰非等边三角形B.直角三角形C.等边三角形D.三边均不相等的三角形【解析】选A.不妨设=+,即为BAC平分线所在直线上的向量,又,所以AB=AC,又=,所以ABC为等腰非等边三角形.2.已知ABC为等腰三角形,满足AB=AC=,BC=2,若P为底BC上的动点,则(+)=()A.有最大值8B.是定值2C.有最小值1D.是定值4【解析】选D.设AD是等腰三角形的高,长度为=.故=2=2+2=2
5、=2=4.3.已知O是平面上一定点,满足=+,0,+),则P的轨迹一定通过ABC的()A.内心B.垂心C.重心D.外心【解析】选B.因为=+(+),所以-=(+),即=,因为cos B=,cos C=,所以=-+=0,所以与垂直,即,所以点P在BC的高线上,即P的轨迹过ABC的垂心.4.设a,b,c为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量,且a与b不共线,ac,|a|=|c|,则|bc|的值一定等于()A.以a,b为邻边的平行四边形的面积B.以b,c为两边的三角形的面积C.以a,b为两边的三角形的面积D.以b,c为邻边的平行四边形的面积【解析】选A.由题意可以画出图形:记=a,=b,=c,=
6、.因为这三个向量的起点相同,且满足a与b不共线,ac,|a|=|c|,利用向量的数量积定义,可得|bc|=|b|c|cos|=|OB|OC|cos |=|OB|OA|sin AOB,因为SAOB=|OA|OB|sinAOB,所以|bc|等于以a,b为邻边的平行四边形的面积.【误区警示】不作示意图,从而将角混淆.二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)5.在ABC中,|AB|=2,|AC|=2,BAC=45,P为线段AC上任意一点,则的可能值有()A.-2B.-1C.2D.3【解析】选CD.设=t(0t1),则=(1-t)因为=-=-(1-t),所以
7、=-(1-t)t=t-t(1-t)=22tcos45-t(1-t)=8t2-4t=8-,因为0t1,所以-4,故2,3为可能取的值.6.下列命题中正确的是()A.若向量a与b同向,且|a|b|,则abB.对于非零向量a,b,c,若a(b-c)=0,则b=cC.已知A,B,C是平面内任意三点,则+=0D.若O为ABC所在平面内任一点,且满足(-)(+-2)=0,则ABC为等腰三角形【解析】选CD.选项A中,向量不能比较大小,故错误;选项B中,由a(b-c)=0,可得b=c或a(b-c),故错误;选项C中,+=+=0,故正确;选项D中,(-)(+-2)=(+)=(-)(+)=|2-|2=0,所以|
8、=|,故ABC为等腰三角形,正确.【光速解题】本题中AB易判断错误,则可直接选CD.三、填空题(每小题5分,共10分)7.点O是ABC所在平面内的一点,满足=,则点O是ABC的_心.【解题指南】根据向量数量积的运算律可整理出=0,即OBAC;同理可得OABC,OCAB,由垂心定义可知O为垂心.【解析】因为=,所以=0,即=0,所以OBAC,同理可得OABC,OCAB,所以点O为ABC的垂心.答案:垂【补偿训练】过ABC内一点M任作一条直线,再分别过顶点A,B,C作l的垂线,垂足分别为D,E,F,若+=0恒成立,则点M是ABC的_心.【解析】本题采用特殊位置法较为简单.因为过ABC内一点M任作一
9、条直线,可将此直线特殊为过点A,则=0,有+=0.如图,则有直线AM经过BC的中点,同理可得直线BM经过AC的中点,直线CM经过AB的中点,所以点M是ABC的重心.答案:重8.已知P是ABC的边BC上任一点,且满足=x+y,x,yR,则+的最小值是_.【解析】因为点P落在ABC的边BC上,所以B,P,C三点共线,所以x+y=1.故+=(x+y)=+54+5=9,当且仅当=,即x=,y=时取等号,所以+的最小值为9.答案:9四、解答题(每小题10分,共20分)9.如图,已知直角梯形ABCD中,ADAB,AB=2AD=2CD,过点C作CEAB于点E,M为CE的中点.求证:(1)DEBC;(2)D,
10、M,B三点共线.【证明】以E为原点,AB所在直线为x轴,EC所在直线为y轴建立平面直角坐标系,如图.令|=1,则|=1,|=2,因为CEAB,AD=DC,所以四边形AECD为正方形,所以各点坐标分别为E(0,0),B(1,0),C(0,1),D(-1,1),A(-1,0).(1)因为=(-1,1)-(0,0)=(-1,1),=(0,1)-(1,0)=(-1,1),所以=,即DEBC.(2)因为M为EC的中点,所以M(0,),所以=(-1,1)-(0,)=(-1,),=(1,0)-(0,)=(1,-),所以=-,所以.又与有公共点,所以D,M,B三点共线.10.四边形ABCD中,=a,=b,=c
11、,=d,且ab=bc=cd=da,试问四边形ABCD是什么图形?【解析】因为ab=bc,所以b(a-c)=0,即b(a-c).同理d(a-c),所以bd,同理ac,所以四边形ABCD是平行四边形.所以a=-c,故b(a-c)=b2a=0,所以ab=0,故该四边形为矩形.在ABC所在平面内有一点H满足+=+=+,则H点是ABC的_.【解析】因为=-,=-,=-,所以+=+,整理得(-)=0,=0,即ABHC;同理可得ACHB,BCHA.所以可知H为垂心.答案:垂心【补偿训练】设P,Q分别是梯形ABCD的对角线AC与BD的中点.(1)试用向量证明:PQAB;(2)若AB=3CD,求PQAB的值.【解析】(1)因为Q为BD中点,所以+=2,又因为P为AC中点,所以=2;所以2=2-2=(+)-=+=+.又向量与共线,设向量=,则2=(1+),所以=.又梯形ABCD中,|,所以-1,所以,即PQAB.(2)因为向量与反向,且|=3|,所以=-3,即=-,代入式,得=,所以PQAB=13.关闭Word文档返回原板块
