1、第四章 导数专练1设函数（1）若直线与曲线相切，求的值；（2）当时，求证：当时，恒成立（参考数据：，解：（1），设直线与曲线相切于点，则，解得，实数的值为；（2）证明：即证对恒成立，先证明，设，则，在递增，在递减，（1），即，当且仅当时取等号，现证明当时，恒成立，令，则，令，则，令，解得，时，时，且，（2），由零点存在性定理可知，存在，使得，当或时，当时，的最小值是或，由，得，当时，恒成立，即得证2已知函数（1）当时，证明：函数的导函数存在唯一的零点；（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围（1）证明：当时，所以，记，所以，又记，所以，所以在区间上单调递减，所以，所以，所以在区间上单调递减，且（
2、2），由零点存在性定理可得存在唯一，使得，即，即函数的导函数存在唯一的零点（2）解：由不等式恒成立，化简可得恒成立，令，则，当，即时，令，可得，令，可得，所以在上单调递减，在上单调递增，所以（1），满足题意；当，即时，因为（1），不满足题意，综上所述，实数的取值范围是，3已知函数，（）当时，证明：不等式在，上恒成立；（）若不等式在，上恒成立，求实数取值的集合（）证明：当时，令，则，当时，所以在，上单调递增，所以，所以，当时，所以综上所述，当时，不等式在，上恒成立（）令，则，（1）当时，由题意得在，上恒成立，因为，所以，所以，当时，由（）得，所以当在，上恒成立时；（2）当时，由题意得在，上恒成立
3、，因为，所以，所以，当时，由（）得，所以在，上单调递减，所以，所以，所以当在，上恒成立时综上所述，实数的取值集合为4已知函数（1）求函数的单调区间；（2）若在上恒成立，求整数的最大值（参考数据：，解：（1），时，在恒成立，在递减，无递增区间，时，令，解得：，令，解得：，故在递增，在，递减，时，令，解得：，令，解得：，故在递减，在，递增，综上：时，在递减，在，递增，时，在递减，无递增区间，时，在递增，在，递减；（2）即恒成立，故恒成立，令，则，令，和在递增，在上单调递增，且（3），（4），故存在，使得，此时，时，单调递减，时，单调递增，故，恒成立，故的最大值是35已知函数，（）若，求曲线在点，处
4、的切线方程；（）若在，上恒成立，求实数的取值范围解：（）当时，故，又，故曲线在点，处的切线方程是：；（）设函数，由题设条件可知，且，则，令，解得：，若，即，当，时，单调递增，而，即；若即，当，时，当，时，故在，递减，在，递增，故在处取得最小值，而，即，综上，实数的取值范围是，6已知函数，为的导函数（1）讨论在区间内极值点的个数；（2）若，时，恒成立，求实数的取值范围解：（1）由，得，令，则，当时，单调递增，即在区间内无极值点，当时，故，故在单调递增，又，故存在，使得，且时，递减，时，单调递增，故为的极小值点，此时在区间内存在1个极小值点，无极大值点；综上：当时，在区间内无极值点，当时，在区间内
5、存在1个极小值点，无极大值点（2）若，时，恒成立，则，故，下面证明时，在，恒成立，时，故时，令，故，令，则，在区间，单调递增，又，故在，上单调递减，又，故存在，使得，且，时，递增，时，单调递减，故时，取得最大值，且，故单调递减，故，时，即成立，综上，若，时，恒成立，则的取值范围是，7函数（1）求函数的单调区间；（2）若在，恒成立，求实数的取值范围解：（1），当时，在递增，当时，令，解得：，令，解得：，故在单调递增，在，单调递减；（2）在，恒成立，在，恒成立，设，则，设，则，故在，上单调递增，又，（1），故存在唯一，使得，故当时，当，时，故当时，当，时，故函数在递增，在，递减，在，递增，故，（2
6、），由得，且，故，（2），当，时，（2），故，解得：，故的取值范围是，8已知函数（1）求的单调区间；（2）若不等式对任意恒成立，求的取值范围解：（1）的定义域，令，令，当时，当时，所以在单调递增，在单调递减，又，故，即当时，所以在单调递减，于是当时，当时，所以当时，当时，所以的单调递增区间为，单调递减区间为（2）不等式等价于，又，故，设，又，故当，时，所以在，单调递减，于是，故，所以的取值范围为，9已知，设函数（）讨论函数的单调性；（）若恒成立，求实数的取值范围解：（），且当时，在上单调递增；当时，在单调递减；当时，时，单调递减，时，单调递增综上，当时，在上单调递增；当时，在单调递减；当时，在
7、上单调递减，在，上单调递增；（）设，若，则由图象的连续性知，必存在区间，使得，与题意矛盾；则，则单调递增，若，恒成立，符合；若，时，且单调递增，则存在唯一，且时，单调递减，时，单调递增，由，可得，且，时符合综上，10已知函数（1）试讨论函数的零点个数；（2）若函数，且在上恒成立，求实数的取值范围解：（1）根据题意，可得，则有：若，则，此时可得函数在上单调递增，又因为，所以函数只有一个零点；若，令，则有，所以，此时函数在上单调递增；，此时函数在上单调递减；即得，则有：当时，则，此时函数只有一个零点；当时，即时，则，又因为时，；时，根据零点存在定理可得，此时函数在上有两个零点综上可得，当或时，函数只有一个零点；当，时，函数有两个零点（2）由（1）可知，当或时，在上单调递增，则有在上恒成立，又因为时，所以令在上恒成立，即得函数在上单调递增，故有，即得在上恒成立，符合题意；当时，由（1）得，在上单调递增，则由上结论可知，在上恒成立，符合题意；当时，由（1）得，在上单调递减，在上单调递增，此时当时，不合题意，综上可得，即，
