1、第四章 导数专练1设函数(1)若直线与曲线相切,求的值;(2)当时,求证:当时,恒成立(参考数据:,解:(1),设直线与曲线相切于点,则,解得,实数的值为;(2)证明:即证对恒成立,先证明,设,则,在递增,在递减,(1),即,当且仅当时取等号,现证明当时,恒成立,令,则,令,则,令,解得,时,时,且,(2),由零点存在性定理可知,存在,使得,当或时,当时,的最小值是或,由,得,当时,恒成立,即得证2已知函数(1)当时,证明:函数的导函数存在唯一的零点;(2)若不等式恒成立,求实数的取值范围(1)证明:当时,所以,记,所以,又记,所以,所以在区间上单调递减,所以,所以,所以在区间上单调递减,且(
2、2),由零点存在性定理可得存在唯一,使得,即,即函数的导函数存在唯一的零点(2)解:由不等式恒成立,化简可得恒成立,令,则,当,即时,令,可得,令,可得,所以在上单调递减,在上单调递增,所以(1),满足题意;当,即时,因为(1),不满足题意,综上所述,实数的取值范围是,3已知函数,()当时,证明:不等式在,上恒成立;()若不等式在,上恒成立,求实数取值的集合()证明:当时,令,则,当时,所以在,上单调递增,所以,所以,当时,所以综上所述,当时,不等式在,上恒成立()令,则,(1)当时,由题意得在,上恒成立,因为,所以,所以,当时,由()得,所以当在,上恒成立时;(2)当时,由题意得在,上恒成立
3、,因为,所以,所以,当时,由()得,所以在,上单调递减,所以,所以,所以当在,上恒成立时综上所述,实数的取值集合为4已知函数(1)求函数的单调区间;(2)若在上恒成立,求整数的最大值(参考数据:,解:(1),时,在恒成立,在递减,无递增区间,时,令,解得:,令,解得:,故在递增,在,递减,时,令,解得:,令,解得:,故在递减,在,递增,综上:时,在递减,在,递增,时,在递减,无递增区间,时,在递增,在,递减;(2)即恒成立,故恒成立,令,则,令,和在递增,在上单调递增,且(3),(4),故存在,使得,此时,时,单调递减,时,单调递增,故,恒成立,故的最大值是35已知函数,()若,求曲线在点,处
4、的切线方程;()若在,上恒成立,求实数的取值范围解:()当时,故,又,故曲线在点,处的切线方程是:;()设函数,由题设条件可知,且,则,令,解得:,若,即,当,时,单调递增,而,即;若即,当,时,当,时,故在,递减,在,递增,故在处取得最小值,而,即,综上,实数的取值范围是,6已知函数,为的导函数(1)讨论在区间内极值点的个数;(2)若,时,恒成立,求实数的取值范围解:(1)由,得,令,则,当时,单调递增,即在区间内无极值点,当时,故,故在单调递增,又,故存在,使得,且时,递减,时,单调递增,故为的极小值点,此时在区间内存在1个极小值点,无极大值点;综上:当时,在区间内无极值点,当时,在区间内
5、存在1个极小值点,无极大值点(2)若,时,恒成立,则,故,下面证明时,在,恒成立,时,故时,令,故,令,则,在区间,单调递增,又,故在,上单调递减,又,故存在,使得,且,时,递增,时,单调递减,故时,取得最大值,且,故单调递减,故,时,即成立,综上,若,时,恒成立,则的取值范围是,7函数(1)求函数的单调区间;(2)若在,恒成立,求实数的取值范围解:(1),当时,在递增,当时,令,解得:,令,解得:,故在单调递增,在,单调递减;(2)在,恒成立,在,恒成立,设,则,设,则,故在,上单调递增,又,(1),故存在唯一,使得,故当时,当,时,故当时,当,时,故函数在递增,在,递减,在,递增,故,(2
6、),由得,且,故,(2),当,时,(2),故,解得:,故的取值范围是,8已知函数(1)求的单调区间;(2)若不等式对任意恒成立,求的取值范围解:(1)的定义域,令,令,当时,当时,所以在单调递增,在单调递减,又,故,即当时,所以在单调递减,于是当时,当时,所以当时,当时,所以的单调递增区间为,单调递减区间为(2)不等式等价于,又,故,设,又,故当,时,所以在,单调递减,于是,故,所以的取值范围为,9已知,设函数()讨论函数的单调性;()若恒成立,求实数的取值范围解:(),且当时,在上单调递增;当时,在单调递减;当时,时,单调递减,时,单调递增综上,当时,在上单调递增;当时,在单调递减;当时,在
7、上单调递减,在,上单调递增;()设,若,则由图象的连续性知,必存在区间,使得,与题意矛盾;则,则单调递增,若,恒成立,符合;若,时,且单调递增,则存在唯一,且时,单调递减,时,单调递增,由,可得,且,时符合综上,10已知函数(1)试讨论函数的零点个数;(2)若函数,且在上恒成立,求实数的取值范围解:(1)根据题意,可得,则有:若,则,此时可得函数在上单调递增,又因为,所以函数只有一个零点;若,令,则有,所以,此时函数在上单调递增;,此时函数在上单调递减;即得,则有:当时,则,此时函数只有一个零点;当时,即时,则,又因为时,;时,根据零点存在定理可得,此时函数在上有两个零点综上可得,当或时,函数只有一个零点;当,时,函数有两个零点(2)由(1)可知,当或时,在上单调递增,则有在上恒成立,又因为时,所以令在上恒成立,即得函数在上单调递增,故有,即得在上恒成立,符合题意;当时,由(1)得,在上单调递增,则由上结论可知,在上恒成立,符合题意;当时,由(1)得,在上单调递减,在上单调递增,此时当时,不合题意,综上可得,即,