1、专题(十二)解直角三角形实际应用的基本模型第二十八章 锐角三角函数模型一:三角形模型(1)“背靠背”型模型模型分析已知三角形中的两角(A 和B)及一边(AC 或BC),在三角形内作高 CD,构造两个直角三角形求解,以高 CD 为桥梁是解题的关键1(南通中考)如图,一艘轮船位于灯塔 P 的南偏东 60方向,距离灯塔 50 海里的 A 处,它沿正北方向航行一段时间后,到达位于灯塔 P 的北偏东 45方向上的 B处,此时 B 处与灯塔 P 的距离为海里(结果保留根号)25 62(抚顺中考)如图,B 港口在 A 港口的南偏西 25方向上,距离 A 港口 100 海里一艘货轮航行到 C 处,发现 A 港
2、口在货轮的北偏西 25方向,B 港口在货轮的北偏西 70方向求此时货轮与 A 港口的距离(结果取整数,参考数据:sin500.766,cos500.643,tan501.192,2 1.414)解:过点 B 作 BDAC,垂足为 D,由题意得:BAC252550,BCA702545,在 RtABD 中,AB100(海里),ADABcos 501000.64364.3(海里),BDABsin501000.76676.6(海里),在 RtBDC 中,CD BDtan4576.6(海里),ACADCD64.376.6141(海里),此时货轮与 A 港口的距离约为 141 海里(2)“母子”型模型模型
3、分析已知三角形中的两角(1 和2)及其中一边,在三角形外边作高 BC,构造两个直角三角形求解,以高 BC 为桥梁是解题的关键3.(成都中考)越来越多太阳能路灯的使用,既点亮了城市的风景,也是我市积极落实节能环保的举措某校学生开展综合实践活动,测量太阳能路灯电池板离地面的高度如图,已知测倾器的高度为 1.6 米,在测点 A 处安置测倾器,测得点 M 的仰角MBC33,在与点 A 相距 3.5 米的测点 D 处安置测倾器,测得点 M 的仰角MEC45(点 A,D 与 N 在一条直线上),求电池板离地面的高度 MN 的长(结果精确到 1 米,参考数据:sin 330.54,cos 330.84,ta
4、n 330.65)解:如图,延长 BC 交 MN 于点 H,易知 ADBE3.5(米),ABDEHN1.6(米),设 MHx(米),易知在 RtMHE 中,MHE90,MEC45,EHx(米),易知在 RtMHB 中,MHB90,MBH33,tan MBHMHHEEB xx3.5 0.65,解得 x6.5,则 MNMHHN6.51.68.18(米),电池板离地面的高度 MN 的长约为 8 米(3)“拥抱”型模型模型分析单独解每个三角形再加减4(凉山州中考)如图,CD 是平面镜,光线从 A 点出发经 CD 上点 O 反射后照射到 B 点,若入射角为,反射角为(反射角等于入射角),ACCD 于点
5、C,BDCD于点 D,且 AC3,BD6,CD12,则 tan 的值为435(眉山中考)某数学兴趣小组去测量一座小山的高度,在小山顶上有一高度为20 米的发射塔 AB 如图所示在山脚平地上的 D 处测得塔底 B 的仰角为 30,向小山前进 80 米到达点 E 处,测得塔顶 A 的仰角为 60,求小山 BC 的高度.解:设 BC 为 x 米,则 AC(20 x)米,由条件知,DBCAEC60,DE80(米).在 RtDBC 中,tan DBCDCBC DCx 3,则 DC 3 x(米),CE(3 x80)米在 RtACE 中,tan AECACCE 20 x3x80 3.解得 x1040 3.小
6、山 BC 的高度为(1040 3)米模型二:四边形模型(1)直角梯形模型模型模型分析过较短的底 AB 作直角梯形的高 BE,构造一个矩形和一个直角三角形,先解直角三角形再加减求解6.如图,某办公楼 AB 的后面有一建筑物 CD,当光线与地面的夹角是 22时,办公楼在建筑物的墙上留下高 2 米的影子 CE,而当光线与地面夹角是 45时,办公楼顶 A 在地面上的影子 F 与墙角 C 有 25 米的距离(点 B,F,C 在一条直线上).求办公楼 AB 的高度(参考数据:sin 2225,cos 221516,tan 2225)解:如图,过点 E 作 EMAB 于点 M,设 ABx(米),在 RtAB
7、F 中,AFB45,BFABx(米),BCBFFC(x25)米在 RtAEM 中,AEM22,AMABCE(x2)米,tan 22AMME,即 x2x2525,解得 x20.办公楼 AB 的高度约为 20 米(2)一般梯形模型模型模型分析过较短的底 AD 作梯形的两条高 AE 和 DF,构造一个长方形和两个直角三角形,分别解两个直角三角形再加减求解7.某轮滑特色学校准备建立一个如图的轮滑技巧设施,从侧面看如图,横截面为梯形,高 1 米,AD 长为 2 米,坡道 AB 的坡度为 11.5,DC 的坡度为 12.(1)求从 B 滑到 C 的轮滑道总长度;(2)由于场地限制,从起跑线到墙的总长度为
8、7 米,为了安全需要,从起跑线到点 C,以及点 B 到墙都各需留出 1 米的距离,那么该场地是否符合设施要求?解:(1)如图,过点 A 作 AEBC 于点 E,过点 D 作 DFBC 于点 F,则四边形AEFD 是矩形,AEDF1(米),EFAD2(米).坡道 AB 的坡度为 11.5,DC的坡度为 12,AEBE 11.5 23,DFCF 12,BE32(米),CF2(米),在 RtAEB中,ABAE2BE2 12(32)2 132(米),在 RtDCF 中,CDDF2CF2 1222 5(米),CDADAB(5 2 132)米,即从 B 滑到 C 的轮滑道总长度为(5 2 132)米(2)
9、由(1)可知,BCBEEFCF32 22112(米),从起跑线到点 C,以及点 B 到墙都各需留出 1 米的距离,1112 17.5(米),从起跑线到墙的总长度为7 米,7(米)7.5(米),该场地不符合设施要求模型三:组合模型模型模型分析化为上述基本模型再求解8.消防云梯如图所示,ABBC 于点 B,当点 C 刚好在点 A 的正上方时,DF 的长是A.a cos b sin Ba cos b tan C acos b sin D acos bsin C9(遂宁中考)数学兴趣小组到一公园测量塔楼高度如图所示,塔楼剖面和台阶的剖面在同一平面,在台阶底部点 A 处测得塔楼顶端点 E 的仰角GAE5
10、0.2,台阶 AB 长 26 米,台阶坡面 AB 的坡度 i512,然后在点 B 处测得塔楼顶端点 E的仰角EBF 63.4,则塔顶到地面的高度 EF 约为多少米?(参考数据:tan50.21.20,tan63.42.00,sin50.20.77,sin63.40.89)解:如图,延长 EF 交 AG 于点 H,则 EHAG,作 BPAG 于点 P,则四边形 BFHP 是矩形,FBPH,FHPB,由 i512,可以假设 BP5x,AP12x,PB2PA2AB2,(5x)2(12x)2262,x2 或2(舍去),PBFH10(米),AP24(米),设 EFa(米),BFb(米),tan EBFEFBF,ab 2,a2b,tan EAHEHAH EFHFAPPH EFBPAPBF,a1024b 1.20,由得 a47,b23.5,答:塔顶到地面的高度 EF 约为 47 米