1、专题(十二)解直角三角形实际应用的基本模型第二十八章 锐角三角函数模型一：三角形模型(1)“背靠背”型模型模型分析已知三角形中的两角(A 和B)及一边(AC 或BC)，在三角形内作高 CD，构造两个直角三角形求解，以高 CD 为桥梁是解题的关键1(南通中考)如图，一艘轮船位于灯塔 P 的南偏东 60方向，距离灯塔 50 海里的 A 处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔 P 的北偏东 45方向上的 B处，此时 B 处与灯塔 P 的距离为海里(结果保留根号)25 62(抚顺中考)如图，B 港口在 A 港口的南偏西 25方向上，距离 A 港口 100 海里一艘货轮航行到 C 处，发现 A 港
2、口在货轮的北偏西 25方向，B 港口在货轮的北偏西 70方向求此时货轮与 A 港口的距离(结果取整数，参考数据：sin500.766，cos500.643，tan501.192，2 1.414)解：过点 B 作 BDAC，垂足为 D，由题意得：BAC252550，BCA702545，在 RtABD 中，AB100(海里)，ADABcos 501000.64364.3(海里)，BDABsin501000.76676.6(海里)，在 RtBDC 中，CD BDtan4576.6(海里)，ACADCD64.376.6141(海里)，此时货轮与 A 港口的距离约为 141 海里(2)“母子”型模型模型
3、分析已知三角形中的两角(1 和2)及其中一边，在三角形外边作高 BC，构造两个直角三角形求解，以高 BC 为桥梁是解题的关键3.(成都中考)越来越多太阳能路灯的使用，既点亮了城市的风景，也是我市积极落实节能环保的举措某校学生开展综合实践活动，测量太阳能路灯电池板离地面的高度如图，已知测倾器的高度为 1.6 米，在测点 A 处安置测倾器，测得点 M 的仰角MBC33，在与点 A 相距 3.5 米的测点 D 处安置测倾器，测得点 M 的仰角MEC45(点 A，D 与 N 在一条直线上)，求电池板离地面的高度 MN 的长(结果精确到 1 米，参考数据：sin 330.54，cos 330.84，ta
4、n 330.65)解：如图，延长 BC 交 MN 于点 H，易知 ADBE3.5(米)，ABDEHN1.6(米)，设 MHx(米)，易知在 RtMHE 中，MHE90，MEC45，EHx(米)，易知在 RtMHB 中，MHB90，MBH33，tan MBHMHHEEB xx3.5 0.65，解得 x6.5，则 MNMHHN6.51.68.18(米)，电池板离地面的高度 MN 的长约为 8 米(3)“拥抱”型模型模型分析单独解每个三角形再加减4(凉山州中考)如图，CD 是平面镜，光线从 A 点出发经 CD 上点 O 反射后照射到 B 点，若入射角为，反射角为(反射角等于入射角)，ACCD 于点
5、C，BDCD于点 D，且 AC3，BD6，CD12，则 tan 的值为435(眉山中考)某数学兴趣小组去测量一座小山的高度，在小山顶上有一高度为20 米的发射塔 AB 如图所示在山脚平地上的 D 处测得塔底 B 的仰角为 30，向小山前进 80 米到达点 E 处，测得塔顶 A 的仰角为 60，求小山 BC 的高度.解：设 BC 为 x 米，则 AC(20 x)米，由条件知，DBCAEC60，DE80(米).在 RtDBC 中，tan DBCDCBC DCx 3，则 DC 3 x(米)，CE(3 x80)米在 RtACE 中，tan AECACCE 20 x3x80 3.解得 x1040 3.小
6、山 BC 的高度为(1040 3)米模型二：四边形模型(1)直角梯形模型模型模型分析过较短的底 AB 作直角梯形的高 BE，构造一个矩形和一个直角三角形，先解直角三角形再加减求解6.如图，某办公楼 AB 的后面有一建筑物 CD，当光线与地面的夹角是 22时，办公楼在建筑物的墙上留下高 2 米的影子 CE，而当光线与地面夹角是 45时，办公楼顶 A 在地面上的影子 F 与墙角 C 有 25 米的距离(点 B，F，C 在一条直线上).求办公楼 AB 的高度(参考数据：sin 2225，cos 221516，tan 2225)解：如图，过点 E 作 EMAB 于点 M，设 ABx(米)，在 RtAB
7、F 中，AFB45，BFABx(米)，BCBFFC(x25)米在 RtAEM 中，AEM22，AMABCE(x2)米，tan 22AMME，即 x2x2525，解得 x20.办公楼 AB 的高度约为 20 米(2)一般梯形模型模型模型分析过较短的底 AD 作梯形的两条高 AE 和 DF，构造一个长方形和两个直角三角形，分别解两个直角三角形再加减求解7.某轮滑特色学校准备建立一个如图的轮滑技巧设施，从侧面看如图，横截面为梯形，高 1 米，AD 长为 2 米，坡道 AB 的坡度为 11.5，DC 的坡度为 12.(1)求从 B 滑到 C 的轮滑道总长度；(2)由于场地限制，从起跑线到墙的总长度为
8、7 米，为了安全需要，从起跑线到点 C，以及点 B 到墙都各需留出 1 米的距离，那么该场地是否符合设施要求？解：(1)如图，过点 A 作 AEBC 于点 E，过点 D 作 DFBC 于点 F，则四边形AEFD 是矩形，AEDF1(米)，EFAD2(米).坡道 AB 的坡度为 11.5，DC的坡度为 12，AEBE 11.5 23，DFCF 12，BE32(米)，CF2(米)，在 RtAEB中，ABAE2BE2 12（32）2 132(米)，在 RtDCF 中，CDDF2CF2 1222 5(米)，CDADAB(5 2 132)米，即从 B 滑到 C 的轮滑道总长度为(5 2 132)米(2)
9、由(1)可知，BCBEEFCF32 22112(米)，从起跑线到点 C，以及点 B 到墙都各需留出 1 米的距离，1112 17.5(米)，从起跑线到墙的总长度为7 米，7(米)7.5(米)，该场地不符合设施要求模型三：组合模型模型模型分析化为上述基本模型再求解8.消防云梯如图所示，ABBC 于点 B，当点 C 刚好在点 A 的正上方时，DF 的长是A.a cos b sin Ba cos b tan C acos b sin D acos bsin C9(遂宁中考)数学兴趣小组到一公园测量塔楼高度如图所示，塔楼剖面和台阶的剖面在同一平面，在台阶底部点 A 处测得塔楼顶端点 E 的仰角GAE5
10、0.2，台阶 AB 长 26 米，台阶坡面 AB 的坡度 i512，然后在点 B 处测得塔楼顶端点 E的仰角EBF 63.4，则塔顶到地面的高度 EF 约为多少米？(参考数据：tan50.21.20，tan63.42.00，sin50.20.77，sin63.40.89)解：如图，延长 EF 交 AG 于点 H，则 EHAG，作 BPAG 于点 P，则四边形 BFHP 是矩形，FBPH，FHPB，由 i512，可以假设 BP5x，AP12x，PB2PA2AB2，(5x)2(12x)2262，x2 或2(舍去)，PBFH10(米)，AP24(米)，设 EFa(米)，BFb(米)，tan EBFEFBF，ab 2，a2b，tan EAHEHAH EFHFAPPH EFBPAPBF，a1024b 1.20，由得 a47，b23.5，答：塔顶到地面的高度 EF 约为 47 米