1、第3课时 定点、定值、探索性问题授课提示:对应学生用书第373页A组基础保分练1(2021蚌埠模拟)已知椭圆C:1(ab0)经过点P(0,1),离心率e(1)求椭圆C的方程;(2)设直线l经过点Q(2,1)且与C相交于A,B两点(异于点P),记直线PA的斜率为k1,直线PB的斜率为k2,证明:k1k2为定值解析:(1)因为椭圆C:1(ab0),经过点P(0,1),所以b1又e,所以,解得a2所以椭圆C的方程为y21(2)证明:若直线AB的斜率不存在,则直线l的方程为x2,此时直线与椭圆相切,不符合题意设直线AB的方程为y1k(x2),即ykx2k1,联立得(14k2)x28k(2k1)x16k
2、216k0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x2,x1x2,k1k22k2k2k(2k1)1所以k1k2为定值,且定值为12(2021广州四校联考)设斜率不为0的直线l与抛物线x24y交于A,B两点,与椭圆1交于C,D两点,记直线OA,OB,OC,OD(O为坐标原点)的斜率分别为k1,k2,k3,k4(1)若直线l过点(0,4),证明:OAOB;(2)求证:的值与直线l的斜率的大小无关证明:设直线l的方程为ykxm,k0,A(x1,y1),B(x2,y2)(1)依题意,两式相乘得(x1x2)216y1y2,若直线l过点(0,4),则直线l的方程为ykx4,将直线l的方程代入抛物线x
3、24y,得x24kx160,易知0,x1x216,y1y216,x1x2y1y20,0,OAOB(2)设C(x3,y3),D(x4,y4)联立ykxm和x24y,化简得x24kx4m0,易知0,则x1x24k,x1x24m,k1k2k,联立ykxm和1,化简得(23k2)x26kmx3m2120,在(6km)24(23k2)(3m212)0的情况下,x3x4,x3x4,k3k42k2k2k,是一个与直线l的斜率k无关的值B组能力提升练1(2021临沂模拟)过点P的椭圆C:1(ab0),其离心率e(1)求椭圆C的方程;(2)若过椭圆C的右焦点F的直线l与椭圆C交于两点A(x1,y1),B(x2,
4、y2),且与y轴交于一点M(不是原点),1,2,证明:12为定值解析:(1)解方程组解得a2,b,椭圆C的方程是1(2)证明:F(1,0),由题意可知直线AB斜率存在且不为0,设直线AB的方程为xmy1(m0),则M,(1x1,y1),(1x2,y2)1,2,y11y1,y22y2,11,21,1222联立方程组消去x得(3m24)y26my90,y1y2,y1y2,122212为定值2已知曲线C1:x2y2r2(r0)和C2:1(ab0)都过点P(0,2),且曲线C2的离心率为(1)求曲线C1和曲线C2的方程;(2)设点A,B分别在曲线C1,C2上,PA,PB的斜率分别为k1,k2,当k14
5、k20时,问直线AB是否过定点?若过定点,求出定点坐标;若不过定点,请说明理由解析:(1)曲线C1:x2y2r2(r0)和C2:1(ab0)都过点P(0,2),r2,b2,曲线C1的方程为x2y24曲线C2的离心率为,e21,a4,曲线C2的方程1(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),直线PA的方程为yk1x2,代入到x2y24,消去y,可得(1k)x24k1x0,解得x0或x1,y1,直线PB的方程为yk2x2,代入方程1,消去y,可得(14k)x216k2x0,解得x0或x2,y2k14k2,直线AB的斜率k,故直线AB的方程为y,即yx2,所以直线AB恒过定点(0,2)C组创新应用
6、练(2021大同调研)椭圆1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,且离心率e(1)设E是直线yx2与椭圆的一个交点,求|EF1|EF2|取最小值时椭圆的方程;(2)已知N(0,1),是否存在斜率为k的直线l与(1)中的椭圆交于不同的两点A,B,使得点N在线段AB的垂直平分线上?若存在,求出直线l在y轴上截距的范围;若不存在,说明理由解析:(1)e,椭圆的方程可化为1,将1与yx2联立,消去y化简得4x212x123b20,由14416(123b2)0,解得b21,即b1,|EF1|EF2|2a2b2,当且仅当b1时,|EF1|EF2|取最小值2,椭圆的方程为y21(2)设直线l在y轴上的截距为t,则直线l的方程为ykxt,代入y21,消去y整理得,(13k2)x26ktx3t230,直线l与椭圆交于不同的两点,1(6kt)212(t21)(13k2)0,即t213k2设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点为Q,则x1x2,x1x2,y1y2k(x1x2)2t,AB的中点Q的坐标为,当k0时,化简得13k22t,代入t213k2得2t0,又2t13k21,t,故2t当k0时,1t1综上,k0时,直线l在y轴上截距的范围为;k0时,直线l在y轴上截距的范围为(1,1)