1、第3课时 定点、定值、探索性问题授课提示：对应学生用书第373页A组基础保分练1（2021蚌埠模拟）已知椭圆C：1（ab0）经过点P（0，1），离心率e（1）求椭圆C的方程；（2）设直线l经过点Q（2，1）且与C相交于A，B两点（异于点P），记直线PA的斜率为k1，直线PB的斜率为k2，证明：k1k2为定值解析：（1）因为椭圆C：1（ab0），经过点P（0，1），所以b1又e，所以，解得a2所以椭圆C的方程为y21（2）证明：若直线AB的斜率不存在，则直线l的方程为x2，此时直线与椭圆相切，不符合题意设直线AB的方程为y1k（x2），即ykx2k1，联立得（14k2）x28k（2k1）x16k
2、216k0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1x2，x1x2，k1k22k2k2k（2k1）1所以k1k2为定值，且定值为12（2021广州四校联考）设斜率不为0的直线l与抛物线x24y交于A，B两点，与椭圆1交于C，D两点，记直线OA，OB，OC，OD（O为坐标原点）的斜率分别为k1，k2，k3，k4（1）若直线l过点（0，4），证明：OAOB；（2）求证：的值与直线l的斜率的大小无关证明：设直线l的方程为ykxm，k0，A（x1，y1），B（x2，y2）（1）依题意，两式相乘得（x1x2）216y1y2，若直线l过点（0，4），则直线l的方程为ykx4，将直线l的方程代入抛物线x
3、24y，得x24kx160，易知0，x1x216，y1y216，x1x2y1y20，0，OAOB（2）设C（x3，y3），D（x4，y4）联立ykxm和x24y，化简得x24kx4m0，易知0，则x1x24k，x1x24m，k1k2k，联立ykxm和1，化简得（23k2）x26kmx3m2120，在（6km）24（23k2）（3m212）0的情况下，x3x4，x3x4，k3k42k2k2k，是一个与直线l的斜率k无关的值B组能力提升练1（2021临沂模拟）过点P的椭圆C：1（ab0），其离心率e（1）求椭圆C的方程；（2）若过椭圆C的右焦点F的直线l与椭圆C交于两点A（x1，y1），B（x2，
4、y2），且与y轴交于一点M（不是原点），1，2，证明：12为定值解析：（1）解方程组解得a2，b，椭圆C的方程是1（2）证明：F（1，0），由题意可知直线AB斜率存在且不为0，设直线AB的方程为xmy1（m0），则M，（1x1，y1），（1x2，y2）1，2，y11y1，y22y2，11，21，1222联立方程组消去x得（3m24）y26my90，y1y2，y1y2，122212为定值2已知曲线C1：x2y2r2（r0）和C2：1（ab0）都过点P（0，2），且曲线C2的离心率为（1）求曲线C1和曲线C2的方程；（2）设点A，B分别在曲线C1，C2上，PA，PB的斜率分别为k1，k2，当k14
5、k20时，问直线AB是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由解析：（1）曲线C1：x2y2r2（r0）和C2：1（ab0）都过点P（0，2），r2，b2，曲线C1的方程为x2y24曲线C2的离心率为，e21，a4，曲线C2的方程1（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线PA的方程为yk1x2，代入到x2y24，消去y，可得（1k）x24k1x0，解得x0或x1，y1，直线PB的方程为yk2x2，代入方程1，消去y，可得（14k）x216k2x0，解得x0或x2，y2k14k2，直线AB的斜率k，故直线AB的方程为y，即yx2，所以直线AB恒过定点（0，2）C组创新应用
6、练（2021大同调研）椭圆1（ab0）的左、右焦点分别为F1，F2，且离心率e（1）设E是直线yx2与椭圆的一个交点，求|EF1|EF2|取最小值时椭圆的方程；（2）已知N（0，1），是否存在斜率为k的直线l与（1）中的椭圆交于不同的两点A，B，使得点N在线段AB的垂直平分线上？若存在，求出直线l在y轴上截距的范围；若不存在，说明理由解析：（1）e，椭圆的方程可化为1，将1与yx2联立，消去y化简得4x212x123b20，由14416（123b2）0，解得b21，即b1，|EF1|EF2|2a2b2，当且仅当b1时，|EF1|EF2|取最小值2，椭圆的方程为y21（2）设直线l在y轴上的截距为t，则直线l的方程为ykxt，代入y21，消去y整理得，（13k2）x26ktx3t230，直线l与椭圆交于不同的两点，1（6kt）212（t21）（13k2）0，即t213k2设A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中点为Q，则x1x2，x1x2，y1y2k（x1x2）2t，AB的中点Q的坐标为，当k0时，化简得13k22t，代入t213k2得2t0，又2t13k21，t，故2t当k0时，1t1综上，k0时，直线l在y轴上截距的范围为；k0时，直线l在y轴上截距的范围为（1，1）