1、广西柳州市2015届高考数学一模试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1在复平面内，复数z=对应的点位于下列哪个象限( )A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限2设命题p：xR，|x|+10，则p为( )Ax0R，|x0|+10Bx0R，|x0|+10Cx0R，|x0|+10DxR，|x|+103采用系统抽样方法从1000人中抽取50人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，1000，适当分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为8抽到的50人中，编号落入区间1，400的人做问卷A，编号落入区间401，750的人做问卷B，其余的人做问卷C则抽到的人中，做问卷C的人
2、数为( )A12B13C14D154某程序框图如图所示，若a=3，则该程序运行后，输出的x的值为( )A33B31C29D275设g（x）是将函数f（x）=cos2x向左平移个单位得到的，则等于( )A1BC0D16若一个圆锥的正视图（如图所示）是边长为3，3，2的三角形，则该圆锥的表面积是( )AB2C3D47在区间（0，）上随机取一个数x，使得0tanx1成立的概率是( )ABCD8已知与是两个互相垂直的单位向量，若满足（）（）=0，则|的最大值为( )A2BC3D9若ABC为钝角三角形，三边长分别为2，3，x，则x的取值范围是( )ABCD10已知三棱锥SABC的三条侧棱两两垂直，且SA
3、=2，SB=SC=4，则该三棱锥的外接球的半径为( )A3B6C36D911已知函数，则方程f（2x2+x）=a（a2）的根的个数不可能为( )A3B4C5D612过点（）引直线l与曲线y=相交于A，B两点，O为坐标原点，当ABO的面积取得最大值时，直线l的斜率等于( )ABCD二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13已知集合A=x|x240，B=x|2x，则AB=_14已知x，y满足不等式组，则目标函数z=2x+y的最大值为_15已知点P是双曲线y2=1（a0，b0）上的动点，F1，F2分别是其左、右焦点，若|PF1|=|PF2|+2，则此双曲线的渐近线方程是_16设xR，若函数f
4、（x）为单调递增函数，且对任意实数x，都有ff（x）ex=e+1成立，则f（2）的值为_三、解答题（共5小题，满分60分）17已知数列an的前n项和为Sn，且2Sn=n2+n（1）求数列an的通项公式；（2）若bn=+2an1，（nN*）求数列bn的前n项和Sn18某市为了了解市民对本市文明建设的满意程度，通过问卷调查了学生、在职人员、退休人员共250人，结果如表：学生在职人员退休人员满意xy78不满意5z12若在职人员中随机抽取1人，恰好抽到学生的概率为0.32（1）求x的值；（2）若y70，z2，求市民对市政管理满意度不小于0.9的概率（注：满意度=）19如图，四边形ABCD与AABB都是
5、边长为a的正方形，点E是AA的中点，AA平面ABCD（1）求证：AC平面BDE；（2）求体积VAABCD与VEABD的比值20已知函数f（x）=ax2blnx在点（1，f（1）处的切线为y=2（1）求实数a，b的值；（2）是否存在实数m，当x（0，1时，函数g（x）=f（x）2x2+m（x1）的最小值为0？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由21已知椭圆=1的一个焦点为F（2，0），且离心率为（）求椭圆方程；（）斜率为k的直线l过点F，且与椭圆交于A，B两点，P为直线x=3上的一点，若ABP为等边三角形，求直线l的方程四、选做题，请考生在第22，23，24三题中任选一题作答.选修4-1
6、：几何证明选讲22如图，A，B，C，D四点共圆，BC与AD的延长线交于点E，点F在BA的延长线上（1）若EA=2ED，EB=3EC，求的值；（2）若EFCD，求证：线段FA，FE，FB成等比数列选修4-4：坐标系与参数方程23已知：直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的极坐标方程为：2cos2=1（1）求曲线C的普通方程；（2）求直线l被曲线C截得的弦长选修4-5：不等式选讲24选修45：不等式选讲已知关于x的不等式|2x+1|x1|log2a（其中a0）（1）当a=4时，求不等式的解集；（2）若不等式有解，求实数a的取值范围广西柳州市2015届高考数学一模试卷（文科）一、选择题（共12小题
7、，每小题5分，满分60分）1在复平面内，复数z=对应的点位于下列哪个象限( )A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限考点：复数代数形式的乘除运算 专题：数系的扩充和复数分析：直接利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z所对应的点的坐标得答案解答：解：z=，复数z=对应的点的坐标为（），位于第三象限故选：C点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题2设命题p：xR，|x|+10，则p为( )Ax0R，|x0|+10Bx0R，|x0|+10Cx0R，|x0|+10DxR，|x|+10考点：命题的否定 专题：简易逻辑分析：直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可解答：解：全称命题的否定是特
8、称命题，所以，命题p：xR，|x|+10，则p为：x0R，|x0|+10故选：B点评：本题考查命题的否定，全称命题与特称命题的否定关系，基本知识的考查3采用系统抽样方法从1000人中抽取50人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，1000，适当分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为8抽到的50人中，编号落入区间1，400的人做问卷A，编号落入区间401，750的人做问卷B，其余的人做问卷C则抽到的人中，做问卷C的人数为( )A12B13C14D15考点：系统抽样方法 专题：概率与统计分析：由题意可得抽到的号码构成以8为首项、以20为公差的等差数列，求得此等差数列的通项公式为an，由
9、751an1000 求得正整数n的个数，即为所求解答：解：由100050=20，故由题意可得抽到的号码构成以8为首项、以20为公差的等差数列，且此等差数列的通项公式为an=8+（n1）20=20n12由 75120n121000 解得 38.2n50.6再由n为正整数可得 39n50，且 nZ，故做问卷C的人数为12，故选A点评：本题主要考查等差数列的通项公式，系统抽样的定义和方法，属于基础题4某程序框图如图所示，若a=3，则该程序运行后，输出的x的值为( )A33B31C29D27考点：程序框图 专题：算法和程序框图分析：根据框图的流程依次计算运行的结果，直到不满足条件n3，计算输出x的值解
10、答：解：由程序框图知：当a=3时，第一次循环x=23+1=7，n=1+1=2；第二次循环x=27+1=15，n=2+1=3；第三次循环x=215+1=31，n=3+1=4不满足条件n3，跳出循环体，输出x=31故选：B点评：本题考查了当型循环结构的程序框图，根据框图的流程依次计算运行的结果是解答此类问题的常用方法5设g（x）是将函数f（x）=cos2x向左平移个单位得到的，则等于( )A1BC0D1考点：函数的值；函数y=Asin（x+）的图象变换 专题：计算题；三角函数的求值分析：根据函数图象的平移首先得到函数g（x）的解析式，然后直接把代入即可得到答案解答：解：将函数f（x）=cos2x向
11、左平移个单位得：f（x+）=，即g（x）=，所以g（）=故选D点评：本题考查了函数图象的平移问题，函数图象在x轴上的平移遵循左加右减的原则，是基础题6若一个圆锥的正视图（如图所示）是边长为3，3，2的三角形，则该圆锥的表面积是( )AB2C3D4考点：由三视图求面积、体积 专题：空间位置关系与距离分析：圆锥的底面直径为2，母线为3，根据圆锥的表面积=底面直径为2的圆的面积+圆锥的侧面积计算即可解答：解：由已知，圆锥的底面直径为2，母线为3，则这个圆锥的表面积是23+12=4故选：D点评：本题考查由三视图求几何体的表面积，考查计算能力，空间想象能力，三视图复原几何体是解此类题的关键7在区间（0，
12、）上随机取一个数x，使得0tanx1成立的概率是( )ABCD考点：几何概型 专题：计算题；概率与统计分析：求出满足0tanx1，x（0，）的x的范围，以长度为测度，即可求得概率解答：解：0tanx1，x（0，）0x以区间长度为测度，可得所求概率为=故选C点评：本题考查几何概型，考查学生的计算能力，确定以长度为测度是关键8已知与是两个互相垂直的单位向量，若满足（）（）=0，则|的最大值为( )A2BC3D考点：平面向量数量积的运算 专题：平面向量及应用分析：可作，根据已知条件，容易说明点C在以AB为直径的圆上，所以|的最大值，即|的最大值便是该圆的直径，而直径容易得到为解答：解：如图，设=，=
13、，=；ACBC；点C在以AB为直径的圆上；OC为该圆直径时|最大，即最大；最大为故选B点评：考查单位向量的概念，两非零向量垂直的充要条件，以及向量减法的几何意义，直径所对的圆周角为直角9若ABC为钝角三角形，三边长分别为2，3，x，则x的取值范围是( )ABCD考点：三角形的形状判断 专题：计算题分析：根据三角形为钝角三角形，得到三角形的最大角的余弦值也为负值，分别设出3和x所对的角为和，利用余弦定理表示出两角的余弦，因为和都为钝角，得到其值小于0，则分别令余弦值即可列出关于x的两个不等式，根据三角形的边长大于0，转化为关于x的两个一元二次不等式，分别求出两不等式的解集，取两解集的交集即为x的
14、取值范围解答：解：由题意，x的取值范围是，故选D点评：此题考查学生灵活运用余弦定理化简求值，会求一元二次不等式组的解集，是一道综合题学生在做题时应注意钝角三角形这个条件10已知三棱锥SABC的三条侧棱两两垂直，且SA=2，SB=SC=4，则该三棱锥的外接球的半径为( )A3B6C36D9考点：球内接多面体；棱锥的结构特征；球的体积和表面积 专题：计算题分析：三棱锥扩展为四棱柱（长方体），两个几何体的外接球是同一个球，求出四棱锥的对角线的长度就是外接球的直径，即可求解半径解答：解：三棱锥SABC的三条侧棱两两垂直，且SA=2，SB=SC=4，则该三棱锥的外接球，就是三棱锥扩展为长方体的外接球，所
15、以长方体的对角线的长度为：=6，所以该三棱锥的外接球的半径为：3故选A点评：本题考查球内接多面体，棱锥的结构特征，球的半径的求法，考查空间想象能力、计算能力11已知函数，则方程f（2x2+x）=a（a2）的根的个数不可能为( )A3B4C5D6考点：函数与方程的综合运用 专题：压轴题；数形结合分析：先画出y=f（x）与y=2x2+x的图象，结合两个函数图象，利用分类讨论的数学思想讨论f（2x2+x）=a（a2）根可能的根数即可解答：解：画图，和y=2x2+x图象，结合两个函数的图象可知或a3，4个根，5个根，6个根故选A点评：本题主要考查了函数与方程的综合运用，以及分类讨论的数学思想，属于难题
16、之列12过点（）引直线l与曲线y=相交于A，B两点，O为坐标原点，当ABO的面积取得最大值时，直线l的斜率等于( )ABCD考点：直线与圆的位置关系；直线的斜率 专题：压轴题；直线与圆分析：由题意可知曲线为单位圆在x轴上方部分（含与x轴的交点），由此可得到过C点的直线与曲线相交时k的范围，设出直线方程，由点到直线的距离公式求出原点到直线的距离，由勾股定理求出直线被圆所截半弦长，写出面积后利用配方法转化为求二次函数的最值解答：解：由y=，得x2+y2=1（y0）所以曲线y=表示单位圆在x轴上方的部分（含与x轴的交点），设直线l的斜率为k，要保证直线l与曲线有两个交点，且直线不与x轴重合，则1k0
17、，直线l的方程为y0=，即则原点O到l的距离d=，l被半圆截得的半弦长为则=令，则，当，即时，SABO有最大值为此时由，解得k=故答案为B点评：本题考查了直线的斜率，考查了直线与圆的关系，考查了学生的运算能力，考查了配方法及二次函数求最值，解答此题的关键在于把面积表达式转化为二次函数求最值，是中档题二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13已知集合A=x|x240，B=x|2x，则AB=（，2）考点：交集及其运算 专题：集合分析：求出A与B中不等式的解集确定出A与B，找出两集合的交集即可解答：解：由A中不等式解得：x2或x2，即A=（，2）（2，+），由B中不等式变形得：2x=22，即
18、x2，B=（，2），则AB=（，2）故答案为：（，2）点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键14已知x，y满足不等式组，则目标函数z=2x+y的最大值为6考点：简单线性规划 专题：不等式的解法及应用分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，即可求最大值解答：6解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）由z=2x+y得y=2x+z，平移直线y=2x+z，由图象可知当直线y=2x+z经过点A时，直线y=2x+z的截距最大，此时z最大由，解得，即A（2，2），代入目标函数z=2x+y得z=22+2=6即目标函数z=2x+y的最大值为6故答案为：6点评：本
19、题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法15已知点P是双曲线y2=1（a0，b0）上的动点，F1，F2分别是其左、右焦点，若|PF1|=|PF2|+2，则此双曲线的渐近线方程是y=x考点：双曲线的简单性质 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：运用双曲线的定义，可得|PF1|PF2|=2a，由条件可得a=1，再由双曲线的渐近线方程，即可得到所求解答：解：由双曲线y2=1的定义可得，|PF1|PF2|=2a，若|PF1|=|PF2|+2，即有|PF1|PF2|=2，即2a=2，解得a=1，即双曲线的方程为x2y2=1，则有渐近线方程为y=x
20、故答案为：y=x点评：本题考查双曲线的定义、方程和性质，主要考查渐近线方程的求法，运用双曲线的定义是解题的关键16设xR，若函数f（x）为单调递增函数，且对任意实数x，都有ff（x）ex=e+1成立，则f（2）的值为e2+1考点：抽象函数及其应用；函数单调性的性质；函数的值 专题：函数的性质及应用分析：利用已知条件求出函数的解析式，然后求解函数值即可解答：解：设t=f（x）ex，则f（x）=ex+t，则条件ff（x）ex=e+1等价为f（t）=e+1，令x=t，则f（t）=et+t=e+1，函数f（x）为单调递增函数，函数为一对一函数，解得t=1，f（x）=ex+1，即f（2）=e2+1故答案
21、为：e2+1点评：本题考查函数的解析式的求法，函数值的求法，考查分析问题解决问题的能力三、解答题（共5小题，满分60分）17已知数列an的前n项和为Sn，且2Sn=n2+n（1）求数列an的通项公式；（2）若bn=+2an1，（nN*）求数列bn的前n项和Sn考点：数列的求和 专题：等差数列与等比数列分析：（1）由已知条件得2an=2Sn2Sn1=2n，从而得到an=n（n2），又n=1时，a1=1适合上式由此能求出数列an的通项公式（2）bn=+2an1=（）+（2n1），由此能求出数列bn的前n项和Sn解答：解：（1）数列an的前n项和为Sn，且2Sn=n2+n，n2时，2Sn1=（n1）
22、2+（n1），2an=2Sn2Sn1=2nan=n（n2）又n=1时，a1=1适合上式an=n=点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用18某市为了了解市民对本市文明建设的满意程度，通过问卷调查了学生、在职人员、退休人员共250人，结果如表：学生在职人员退休人员满意xy78不满意5z12若在职人员中随机抽取1人，恰好抽到学生的概率为0.32（1）求x的值；（2）若y70，z2，求市民对市政管理满意度不小于0.9的概率（注：满意度=）考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率 专题：概率与统计分析：（1）抽到学生的概率可得学生数，从
23、而得x值；（2）根据学生数和退休人员人数得在职人员人数，再条件y70，z2，且y+z=80下，写出所有基本事件，再根据市民对市政管理满意度不小于0.9的概率可得y72，从中找出y72的基本事件，利用个数比求概率解答：解：（1）依题意可得=0.32，解得x=75（2）学生人数为80，退休人员人数为90在职人员人数为：2508090=80，由y70，z2，且y+z=80，则基本事件（y，z）为（70，10），（71，9），（72，8），（73，7），（74，6），（75，5），（76，4），（77，3），（78，2）共有9组由0.9，得y72，所以满足条件的基本事件共有7组，故所求的概率P=点评：
24、本题主要考查概率、统计等基础知识，考查数据处理能力、抽象概括能力、运算求解能力以及应用意识，考查或然与必然思想、化归与转化思想19如图，四边形ABCD与AABB都是边长为a的正方形，点E是AA的中点，AA平面ABCD（1）求证：AC平面BDE；（2）求体积VAABCD与VEABD的比值考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定 专题：空间位置关系与距离分析：（1）设BD交AC于M，连接ME利用正方形的性质可得：M为AC中点，利用三角形的中位线定理可得：MEAC利用线面平行的判定定理即可证明（2）VEABD=VAABCD，即可得出解答：（1）证明：设BD交AC于M，连接MEABCD为正方
25、形，M为AC中点，又E为AA的中点，ME为AAC的中位线，MEAC又ME平面BDE，AC平面BDE，AC平面BDE（2）解：VEABD=VAABCDVAABCD：VEABD=4：1点评：本题考查了线面平行与垂直的判定与性质定理、三角形中位线定理、三棱锥的体积计算公式，考查了空间想象能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题20已知函数f（x）=ax2blnx在点（1，f（1）处的切线为y=2（1）求实数a，b的值；（2）是否存在实数m，当x（0，1时，函数g（x）=f（x）2x2+m（x1）的最小值为0？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由考点：利用导数研究曲线上某点切线方程 专题：导
26、数的综合应用分析：（1）求函数的导数，利用导数的几何意义，建立方程关系即可求实数a，b的值；（2）求函数的导数，利用函数的最小值，建立条件关系即可得到结论解答：解：（1）f（x）=2ax（x0），依题意可得解得a=2，b=4；（2）g（x）=f（x）2x2+m（x1）=m（x1）4ln x，x（0，1，g（x）=m=，当m0时，g（x）0，g（x）在（0，1上单调递减，g（x）min=g（1）=0当0m4时，g（x）=0，g（x）在（0，1上单调递减，g（x）min=g（1）=0当m4时，g（x）0在（0，）上恒成 立，g（x）0在（，1上恒成立，g（x）在（0，）上单调递减，在（，1上单调递
27、增，g（frac4m）g（1）=0，g（x）min0综上 所述，存在m满足题意，其范围为（，4点评：本题主要考查导数的几何意义以及函数单调性，最值与函数导数之间的关系，综合性较强，有一定的难度21已知椭圆=1的一个焦点为F（2，0），且离心率为（）求椭圆方程；（）斜率为k的直线l过点F，且与椭圆交于A，B两点，P为直线x=3上的一点，若ABP为等边三角形，求直线l的方程考点：直线与圆锥曲线的综合问题 专题：圆锥曲线中的最值与范围问题分析：（）由已知条件得c=2，a2=b2+c2，由此能求出椭圆方程（）直线l的方程为y=k（x2）联立方程组，得（3k2+1）x212k2x+12k26=0由此利用
28、韦达定理、椭圆弦长公式结合等边三角形性质能求出直线l的方程解答：解：（）椭圆=1的一个焦点为F（2，0），且离心率为c=2，a2=b2+c2，解得a2=6，b2=2椭圆方程为 （）直线l的方程为y=k（x2）联立方程组，消去y并整理，得（3k2+1）x212k2x+12k26=0设A（x1，y1），B（x2，y2）故，则|AB|=|=设AB的中点为M（x0，y0）可得，直线MP的斜率为，又 xP=3，所以当ABP为正三角形时，|MP|=，解得k=1直线l的方程为xy2=0，或x+y2=0点评：本题考查椭圆方程的求法，考查直线方程的求法，解题时要认真审题，注意椭圆弦长公式的合理运用四、选做题，请
29、考生在第22，23，24三题中任选一题作答.选修4-1：几何证明选讲22如图，A，B，C，D四点共圆，BC与AD的延长线交于点E，点F在BA的延长线上（1）若EA=2ED，EB=3EC，求的值；（2）若EFCD，求证：线段FA，FE，FB成等比数列考点：与圆有关的比例线段 专题：选作题；立体几何分析：（1）根据圆内接四边形的性质，可得CDE=ABE，DEC=BEA，从而ABECDE，所以有=，利用比例的性质可得的值；（2）由EFCD，得AEF=CDE，AEF=EBF，结合公共角可得BEFEAF，于是=，即可证明结论解答：（1）解：由A，B，C，D四点共圆，得CDE=ABE，又DEC=BEA，A
30、BECDE，于是=设DE=a，CE=b，则由=，得3b2=2a2，即b=a代入，得=（2）证明：由EFCD，得AEF=CDECDE=ABE，AEF=EBF又BFE=EFA，BEFEAF，于是=，故FA，FE，FB成等比数列点评：本题在圆内接四边形的条件下，一方面证明线段FA，FE，FB成等比数列，另一方面求线段的比值着重考查了圆中的比例线段、圆内接四边形的性质和相似三角形的判定与性质等知识点，属于中档题选修4-4：坐标系与参数方程23已知：直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的极坐标方程为：2cos2=1（1）求曲线C的普通方程；（2）求直线l被曲线C截得的弦长考点：直线的参数方程；直线与圆
31、锥曲线的综合问题；简单曲线的极坐标方程 专题：计算题分析：本题考查直线与圆的位置关系问题，直线被圆所截得的弦长可用代数法和几何法来加以求解解答：解：（1）由曲线C：2cos2=2（cos2sin2）=1，得2cos22sin2=1，化成普通方程x2y2=1（2）（方法一）把直线参数方程化为标准参数方程，把代入，整理，得t24t6=0，设其两根为t1，t2，则t1+t2=4，t1t2=6，从而弦长为（方法二）把直线l的参数方程化为普通方程为，代入x2y2=1，得2x212x+13=0，设l与C交于A（x1，y1），B（x2，y2），则，点评：方法一：利用了直线参数方程中参数的几何意义方法二：利用
32、了直线被圆所截得的弦长公式选修4-5：不等式选讲24选修45：不等式选讲已知关于x的不等式|2x+1|x1|log2a（其中a0）（1）当a=4时，求不等式的解集；（2）若不等式有解，求实数a的取值范围考点：绝对值不等式的解法 专题：计算题；压轴题分析：（）当a=4时，不等式即|2x+1|x1|2，分类讨论，去掉绝对值，分别求出解集，再取并集，即得所求（）化简f（x）=|2x+1|x1|的解析式，求出f（x）的最小值为，则由 ，解得实数a的取值范围解答：解：（）当a=4时，不等式即|2x+1|x1|2，当时，不等式为x22，解得当时，不等式为 3x2，解得 当x1时，不等式为x+22，此时x不存在综上，不等式的解集为（）设f（x）=|2x+1|x1|=，故，即f（x）的最小值为所以，当f（x）log2a有解，则有 ，解得，即a的取值范围是点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，关键是去掉绝对值，化为与之等价的不等式组来解，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题
