1、第1课时 向量的数量积第2章2.4向量的数量积学习目标1.了解平面向量数量积的物理背景，即物体在力F的作用下产生位移s所做的功.2.掌握平面向量数量积的定义和运算律，了解其几何意义.3.会用两个向量的数量积求两个向量的夹角以及判断两个向量是否垂直.4.掌握平面向量数量积的运算律及常用的公式问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学知识点一 平面向量的数量积思考1如何计算这个力所做的功？答案 W|F|s|cos.答案一个物体在力F的作用下产生位移s，如图.思考2力做功的大小与哪些量有关？答案 与力的大小、位移的大小及它们之间的夹角有关.平面向量的数量积(1)已知两个非零向量a和b，它们的夹角是，我
2、们把数量|a|b|cos 叫做向量a与b的(或)，记作ab，即ab|a|b|cos.(2)我们规定：零向量与任一向量的数量积为.特别提醒：两个向量的数量积是一个数量，而不是向量，其大小与两个向量的长度及其夹角都有关，符号由夹角的余弦值的符号决定.梳理0数量积内积知识点二 两个向量的夹角思考把两个非零向量的起点移至同一点，那么这两个向量构成的图形是什么？答案 角.答案两个向量的夹角(1)定义：已知两个非零向量a，b，如图所示.作则AOB，称为向量a与b的夹角.(2)范围：.(3)当时，a与b同向；当时，a与b反向.(4)当时，则称向量a与b垂直，记作ab.梳理9001800180知识点三 平面向
3、量数量积的几何意义思考1什么叫做向量b在向量a方向上的投影？什么叫做向量a在向量b方向上的投影？答案 如图所示，过B作BB1垂直于直线OA，垂足为B1，则OB1|b|cos.|b|cos 叫做向量b在a方向上的投影，|a|cos 叫做向量a在b方向上的投影.答案思考2向量b在向量a方向上的投影与向量a在向量b方向上的投影相同吗？答案 由投影的定义知，二者不一定相同.答案(1)条件：向量a与b的夹角为.(2)投影：梳理(3)ab的几何意义：数量积ab等于a的长度|a|与的乘积.向量b在a方向上的投影|b|cos 向量a在b方向上的投影|a|cos b在a的方向上的投影|b|cos 知识点四 平面
4、向量数量积的性质及运算律思考1向量的数量积运算结果和向量的线性运算的结果有什么区别？答案 向量的线性运算结果是向量，而向量的数量积是数量.答案思考2非零向量的数量积是否可为正数，负数和零，其数量积的符号由什么来决定？答案 由两个非零向量的夹角决定.当090时，非零向量的数量积为正数.当90时，非零向量的数量积为零.当90180时，非零向量的数量积为负数.答案梳理(1)数量积性质当a与b同向时，ab|a|b|；当a与b反向时，ab|a|b|；当ab时，ab0；aa|a|2或|a|.(2)数量积的运算律abba；(a)ba(b)(ab)ab；(ab)cacbc.1.向量数量积的运算结果是向量()2
5、.向量a在向量b方向上的投影一定是正数()思考辨析 判断正误答案提示4.向量的数量积运算满足(ab)ca(bc)()5.(ab)ab.()题型探究类型一 求两向量的数量积例1已知|a|4，|b|5，当(1)ab；(2)ab；(3)a与b的夹角为30时，分别求a与b的数量积.解(1)ab，若a与b同向，则0，ab|a|b|cos 04520；若a与b反向，则180，ab|a|b|cos 18045(1)20.(2)当ab时，90，ab|a|b|cos 900.解答反思与感悟求平面向量数量积的步骤是：(1)求a与b的夹角，0，180；(2)分别求|a|和|b|；(3)求数量积，即ab|a|b|co
6、s，要特别注意书写时a与b之间用实心圆点“”连结，而不能用“”连结，也不能省去.答案解析解析 如图所示，由题意，得BCa，CDa，BCD120.类型二 求向量的模解答解答引申探究若本例中条件不变，求|2ab|，|a2b|.反思与感悟求解向量模的问题就是要灵活应用a2|a|2，即|a|，勿忘记开方.跟踪训练2 已知|a|b|5，且|3a2b|5，求|3ab|的值.解|3a2b|29|a|212ab4|b|292512ab42532512ab，|3a2b|5，32512ab25，ab25.|3ab|2(3ab)29a26abb292562525400，故|3ab|20.解答类型三 求向量的夹角例3
7、设n和m是两个单位向量，其夹角是60，求向量a2mn与b2n3m的夹角.解答反思与感悟求向量夹角时，应先根据公式把涉及到的量先计算出来再代入公式求角，注意向量夹角的范围是0，.解|a|2|b|2，|a|2，|b|1，ab|a|b|cos 1，跟踪训练3 已知|a|2|b|2，且ab1.(1)求a与b的夹角；解答解(a2b)bab2b2123.(2)求(a2b)b；解答解 ab与a3b互相垂直，(ab)(a3b)a23abba3b24313740，(3)当为何值时，向量ab与向量a3b互相垂直？达标检测1.已知|a|8，|b|4，a，b120，则向量b在a方向上的投影为_.12345解析 向量b
8、在a方向上的投影为|b|cosa，b4cos 1202.2答案解析12345解析|ab|2(ab)2a22abb210，|ab|2(ab)2a22abb26，由得4ab4，ab1.1答案解析123453.若ab，c与a及与b的夹角均为60，|a|1，|b|2，|c|3，则(a2bc)2_.解析(a2bc)2a24b2c24ab2ac4bc124223240213cos 60423cos 6011.11答案解析1234525解析答案5.已知正三角形ABC的边长为1，求：12345解答12345解答1.两向量a与b的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以为正(当a0，b0，090时)，也可以为负(当a0，b0，90180时)，还可以为0(当a0或b0或90时).2.两个向量的数量积是两个向量之间的一种运算，与实数乘实数、实数乘向量的乘法运算是有区别的，在书写时一定要把它们严格区分开来，绝不可混淆.3.ab|a|b|cos 中，|b|cos 和|a|cos 分别叫做b在a方向上的投影和a在b方向上的投影，要结合图形严格区分.规律与方法4.求投影有两种方法(1)b在a方向上的投影为|b|cos(为a，b的夹角)，a在b方向上的投影为|a|cos.
