1、吉林省长春市东北师大附中2020届高三数学第五次模拟考试试题（含解析）考试时间：120分钟试卷满分：150分本试卷共23题，共6页考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.注意事项：1答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码粘区.2选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.3请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效.4作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.5保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.一、选择题
2、：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】计算得到，再计算交集得到答案.【详解】，故.故选：A.【点睛】本题考查了交集运算，属于简单题.2. 已知复数满足，其中为虚数单位，则为（ ）A. 1B. C. D. 5【答案】C【解析】【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简求得，然后利用复数模的计算公式求解【详解】因为，所以，所以.故选：C.【点睛】本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题3. 已知双曲线的焦距为4，则该双曲线的渐近线方程为
3、（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据双曲线的几何性质可求，再根据双曲线的渐近线的概念，即可求出结果.【详解】由双曲线的几何性质可知，所以，所以该双曲线的渐近线方程为.故选：C.【点睛】本题主要考查了双曲线的几何性质，属于基础题.4. 已知向量，则（ ）A. 4B. C. D. 12【答案】B【解析】【分析】根据已知求出，再由向量数列积性质求出，即可得出结论.【详解】，.故选：B.【点睛】本题考查向量数量积计算，求模长转化为求向量的平方即可，属于基础题.5. 已知，是直线，是平面，给出下列命题：若，则；若，则；若，则；若，则，其中为真命题的是（ ）A. B. C. D.
4、【答案】B【解析】【分析】根据空间中直线与直线、直线与平面的位置关系，对四个命题逐一判断，即可得到正确结果.【详解】对于，显然正确；对于，若，则与平行或相交或是异面直线，故错误；对于，若，则或或与相交，故错误；对于，显然正确；故选：B.【点睛】本题主要考查了直线与直线、直线与平面的位置关系，属于基础题.6. “干支纪年法”是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按照干支顺序相配，构成了“干支纪年法”，其相配顺序为：甲子、乙丑
5、、丙寅癸酉、甲戌、乙亥、丙子癸未、甲申、乙酉、丙戌癸巳癸亥，60年为一个纪年周期，周而复始，循环记录按照“干支纪年法”，今年（公元2020年）是庚子年，则中华人民共和国成立100周年（公元2049年）是（ ）A. 己未年B. 辛巳年C. 庚午年D. 己巳年【答案】D【解析】【分析】“天干”以10为周期,“地支”以12为周期,分别对“庚”和“子”向后推算29即可【详解】由题,因为“天干”以10为周期,所以2050年仍为“庚”，故2049年为“己”；因为“地支”以12为周期,所以2044年仍为“子”,故2049年为“巳”；故2049年为己巳年.故选:D【点睛】本题考查周期性的应用,考查阅读理解能力
6、，属于基础题.7. 已知，则的大小关系为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据指数函数、对数函数的单调性及1，为桥梁，可比较三个数的大小.【详解】，只需比较，的大小，又，故故选：C【点睛】本题考查了指数函数和对数函数类型数的大小比较，充分理解指数函数和对数函数的单调性是解决问题的关键，属于中档题.8. 早在17世纪人们就知道用事件发生的“频率”来估计事件的“概率”18世纪末有人用投针试验的方法来估计圆周率，20世纪40年代电子计算机的出现使得用数学方法在计算机上大量、快速地模拟这样的试验成为可能，这种模拟方法称为蒙特卡罗方法或随机模拟方法.如图所示的程序框图就是利用随机模
7、拟方法估计圆周率，（其中是产生内的均匀随机数的函数，），则的值约为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据，而表示个圆，则，故.【详解】根据程序框图，知，而表示个圆，如图所示：则落在阴影部分的面积与正方形面积比为，得.故选：D.【点睛】本题考查了程序框图，几何概型，频率的理解与应用，属于中档题.9. 函数的图象大致是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先求函数的定义域，再判断函数奇偶性，然后取特殊值，利用排除法即可得结果.【详解】解：定义域为，因为，所以为偶函数，图像关于轴对称，所以排除A，B，因为，所以排除D故选：C【点睛】此题考查辨别函数图像，一般从
8、函数的奇偶性，函数的零点，特殊点的函数值，函数的单调性等方面运用排除法，属于基础题.10. 已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用诱导公式结合二倍角的余弦公式可求得的值.【详解】.故选：A.【点睛】本题考查利用诱导公式和二倍角的余弦公式求值，要观察角与角之间的关系，考查计算能力，属于中等题.11. 若函数在区间是单调函数，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】分单调递增、单调递减两种情况进行讨论，从而可转化为（或）恒成立，进而转化为求函数的最值即可【详解】因为函数在区间是单调函数，若函数在区间是单调递增函数，则在区间上恒成立；所
9、以在区间上恒成立，又当时，所以；若数在区间是单调递减函数，则在区间上恒成立；所以在区间上恒成立，又当时，所以；综上所述，.【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，属中档题12. 如图，三棱柱的所有棱长都为，侧棱底面，分别在棱，上，过，三点的平面将三棱柱分为两部分，下列说法错误的是（ ）A. 截面是五边形B. 截面面积为C. 截面将三棱柱体积平分D. 截面与底面所成的锐二面角大小为【答案】D【解析】【分析】如图所示：以为坐标原点，以垂直于的直线为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，计算截面的法向量得到D错误，再根据截面的形状计算面积，截面过三棱柱中心得到答案.【详解】如图所示：以为坐标原点
10、，以垂直于的直线为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，则，设截面与的交点为，设截面与的交点为，设，设截面的法向量为，则，取，则，易知底面的法向量为，则，故D错误.，故，根据平行平面性质知，计算，故，故四边形为矩形，故，故AB正确；三棱柱的中心坐标为，则在截面上，根据对称性知C正确.故选：D.【点睛】本题考查了三棱柱的截面问题，意在考查学生的计算能力和应用能力，空间想象能力，建立空间直角坐标系是解题的关键.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 甲、乙、丙三人参加知识竞赛赛后，他们三个人预测名次的谈话如下：甲：“我第二名，丙第一名”；乙：“我第二名，丙第三名”；丙：“我第二名，甲第
11、三名”；最后公布结果时，发现每个人的预测都只猜对了一半，则这次竞赛第一名的是_【答案】丙【解析】【分析】对甲、乙、丙在这次竞赛中分别获得第一名进行分类讨论，结合简单的合情推理，可得出结论.【详解】若甲获得第一名，甲预测出一半，则丙第一名，矛盾；若乙获得第一名，乙预测出一半，则丙第三名，甲第二名，则丙预测全错，不合乎题意；若丙获得第一名，甲预测出一半，则甲第三名，乙第二名，乙、丙都预测出一半，合乎题意.综上所述，这次竞赛中第一名的是丙.故答案为：丙.【点睛】本题考查合情推理，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.14. 在中，则_【答案】【解析】【分析】利用余弦定理可得关于的方程，求得即可【详解】
12、解：由余弦定理可知，解得或（舍去）故答案为：8【点睛】本题主要考查了余弦定理的应用属于基础题15. 已知椭圆的左、右顶点分别为、，直线过点且与轴垂直，点是椭圆上异于的动点，直线与直线交于点，若，则椭圆的离心率是_【答案】【解析】【分析】依题意，不妨取点为椭圆的上顶点，表示出直线，从而得到的坐标，由两直线垂直，可得斜率乘积为，从而得到、的关系，再求出椭圆的离心率；【详解】解：不妨取点为椭圆的上顶点如图所示，则：，则，所以，又因为，所以，所以，所以所以故答案为：【点睛】本题考查椭圆的简单几何性质，属于中档题.16. 已知函数（为自然对数的底数，），当时，函数有_个零点；若函数有四个不同零点，则实数
13、的取值范围是_【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】当时，由可得出，令，可得出，解得，利用导数研究函数的单调性与极值，观察直线、与函数图象的交点个数，可得此时函数的零点个数；令，可得出，令，可得出，解得，由题意可得，进而可解得实数的取值范围.【详解】当时，令可得，令，可得，整理得，解得，.对于函数，令得，列表如下：单调递增极大值单调递减当时，如下图所示：由图象可知，直线与曲线有个交点，直线与曲线只有个交点，所以，当时，函数的零点个数为；对于函数，令，可得，令，可得，即，即，由于函数有四个不同零点，则关于的方程必有两个不等实根、，且，所以，则，解方程得，由题意可得，解得.因此，实数的取值
14、范围是.故答案为：；.【点睛】本题考查函数零点个数的判断，同时也考查了利用函数的零点个数求参数，将问题转化为复合函数的零点是解题的关键，考查化归与转化思想以及数形结合思想的应用，属于较难题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17题第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17. 已知是数列的前项和，满足，（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和【答案】（1）；（2）.【解析】分析】（1）令，由得出，两式作差得出，可得出数列是常数列，结合可求得数列通项公式；（2）求得，然后利用裂项求和法可求得数列
15、的前项和【详解】（1）当时，由得，两式相减得，即，化简得，所以数列是常数列，且，；（2），则，【点睛】本题考查利用与之间的关系求通项，同时也考查了裂项相消法，考查计算能力，属于中等题.18. 一次大型考试后，年级对某学科进行质量分析，随机抽取了名学生成绩分组为，得到如图所示的频率分布直方图（1）从这名成绩在，之间的同学中，随机选择三名同学做进一步调查分析，记为这三名同学中成绩在之间的人数，求的分布列及期望；（2）（）求年级全体学生平均成绩与标准差的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（精确到1）（）如果年级该学科的成绩服从正态分布，其中，分别近似为（）中的，.若从年级所有学生中随
16、机选三名同学做分析，求这三名同学中恰有两名同学成绩在区间的概率.（精确到0.01）附：.若，则，【答案】（1）分布列见解析，1.5；（2）（）73分，11；（）0.36.【解析】【分析】（1）先求出成绩在，之间的人数，从而可得的所有可能取值，然后分别求出对应的概率，再列分布列，再根据期望公式求出期望；（2）（）用频率分布直方图中每组的中点值乘以对应组的频率，将所得的结果全部相加可得平均成绩，再利用标准差公式求标准差，（）由（）可知，所以，然后根据正态分布的性质和独立重复试验的概率公式可求得结果.【详解】解：（1）由直方图，40名同学中成绩在，之间的同学的人数均为4，的所有可能取值为0，1，2，
17、3，的分布列为0123（2）（）（分），（）由（），记“三名同学中恰有两名同学成绩在区间”为事件，则【点睛】此题考查频率分布直方图，离散型随机变量的分布列，正态分布等知识，考查分析问题的能力，考查计算能力，属于中档题.19. 如图，在四棱锥中，平面，底面为菱形，（1）求证：；（2）若，求二面角的余弦值【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）连接交于点，由菱形性质得，再根据平面得，所以平面，所以（2）结合几何体的空间结构特征建立空间直角坐标系，求得半平面的法向量，然后求解二面角的余弦值即可.【详解】解：（1）证明：连接交于点因为为菱形，所以因为平面，平面，所以又由于，平面，平面，
18、所以平面，又因为平面，所以（2）解：因为平面，平面，平面，所以，所以，即在菱形中，得，则，又因为，所以在中，取中点，连接在中，中点，所以又因为平面，所以平面在菱形中，如图，以点为坐标原点，分别以向量，的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系由题意知，所以，设平面的法向量为，则即所以可取设平面的法向量为，则即所以可取所以所以二面角的余弦值为【点睛】本题主要考查线面垂直的性质定理，利用空间直角坐标系求二面角的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.20. 已知动圆过定点，且截轴所得弦长为8，设圆心的轨迹为曲线（1）求曲线的方程；（2）若为曲线上的两个动点，且线段的中点到轴距离，求的最
19、大值，并求此时直线方程【答案】（1）；（2）12；.【解析】【分析】（1）设动圆圆心，由题意可得，由此即可求出结果；（2）设直线方程为，将其与曲线的方程联立，得到韦达定理，可求线段的中点的横坐标，可得，再根据弦长公式将表示为的函数，根据函数特征求出其最大值，并由此即可求出直线方程.【详解】解：（1）设动圆圆心，则，化简整理得，故曲线的轨迹方程为（2）设直线方程为，由消去得，所以，设，当且仅当，即（满足）时，取得最大值，此时，直线【点睛】本题主要考查了轨迹的求法，同时考查了直线与抛物线的位置关系，属于中等题.21. 已知函数（1）求的最小值；（2）若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围【答案】
20、（1）1；（2）.【解析】【分析】（1）先对函数求导得，并令，再求导得，注意到，所以得单调区间，根据单调性即可解决.（2）方法1，先验证不等式成立，再对时，利用分离参数法和洛必达法则求解即可；方法2，直接移项，构造函数，求二阶导，再分类讨论求解即可.【详解】解：（1），在上为增函数，又，单调递减；，单调递增，（2）方法1：（分离参数法）当时，成立，当，设（）设，（），单调递增，又，单调递增，方法2：设，则，单调递增，当时，即，单调递增，恒成立，当时，使，单调递减，不合题意.由知实数的取值范围是【点睛】本题考查利用导数研究函数的最值问题和不等式恒成立的问题，考查数学运算能力.（二）选考题：共10
21、分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题记分.选修44：坐标系与参数方程22. 在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（1）求直线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；（2）曲线与直线交于点，点，求的值【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用，将曲线的极坐标方程转化为直角坐标方程，首先将直线的参数方程转化为普通方程，再化为极坐标方程；（2）将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，利用直线的参数方程的参数的几何意义计算可得；【详解】解：（1）曲线，所以，所以曲线的直角坐标方程为；直线的参数方
22、程为，消参得直线的普通方程为，由，可得极坐标方程为（2）将代入中，得，均为正，则【点睛】本题考查极坐标方程与直角坐标方程的相互转化，以及直线的参数方程的参数的几何意义的应用，属于中档题.选修45：不等式选讲23. 已知函数.（1）当时，解不等式；（2）若对任意，恒成立，求实数的取值范围【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）当时，不等式，利用分类求解不等式即可，求出结果（2）对进行分类讨论，分别就和两种情况，结合函数的单调性，即可求得实数的取值范围【详解】解：（1）当时，原不等式等价于或或，解得，解集（2）当时，依题意有恒成立，则有，当时，依题意有恒成立，则有，且，综上，的取值范围是【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，属于基础题
