1、第 1 页 共 4 页22xy2021 年湖北 高二年级 3 月联考数学试卷考试时间：2021 年 3 月 19 日 14：30-16：30考试时长：120 分钟一、单择题：本题 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.抛物线的准线方程为（）A.B.C.D.2.设,是两个不同的平面,直线,则“”是“”的()A.充分不必要条件B.充要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件3.一组数据的方差为,将这组数据中的每一个数都乘以 2,所得到的一组新数据的方差为()A.B.C.D.4.在空间直角坐标系内,平面经过三点,向量是平面的一个法向量,
2、则()A.3B.-5C.5D.-35.展开式中,只有第 5 项的二项式系数最大,则该项系数是()A.280B.1240C.160D.11206.蟋蟀鸣叫可以说是大自然优美、和谐的音乐,殊不知蟋蟀鸣叫的频率 x(每分钟鸣叫的次数)与气温(单位:)存在着较强的线性相关关系.某地观测人员根据下表的观测数据,建立了关于的线性回归方程.则当蟋蟀每分钟鸣叫 60 次时,该地当时的气温预报值为()A.B.C.D.7.为了让居民了解垃圾分类,养成垃圾分类的习惯,让绿色环保理念深入人心,某市将垃圾分为四类可回收物,餐厨垃圾,有害垃圾和其他垃圾,某班按此四类由 9 位同学组成四个宣传小组,其中可回收物宣传小组有
3、3 位同学,餐厨垃圾、有害垃圾和其他垃圾宣传小组各有 2 位同学,现从这 9 位同学中选派 5 人到某小区进行宣传活动,则每个宣传小组至少选派 1 人的概率为()A.B.C.D.x第 2 页 共 4 页8.如图所示,一个圆柱形乒乓球筒,高为24厘米,底面半径为2厘米.球筒的上底和下底分别粘有一个乒乓球,乒乓球与球筒底面及侧面均相切(球筒和乒乓球厚度忽略不计),一个平面与两个乒乓球均相切,且此平面截球筒边缘所得的图形为一个椭圆,则该椭圆的离心率为()A.B.C.D.二、多选题：本题 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的
4、得 2 分，有选错的得 0 分。9.已知随机变量的分布列如下,则正确的有()A.B.C.D.10.已知曲线的方程为,则()A.当时,曲线是半径为 2 的圆B.存在实数,使得曲线的离心率为的双曲线C.当时,曲线为双曲线,其渐近线方程为D.“”是“曲线为焦点在轴上的椭圆”的必要不充分条件11.4 月 23 日为世界读书日,已知某高校学生每周阅读时间服从正态分布,则()(附:,.)A.该校学生每周平均阅读时间为小时B.该校学生每周阅读时间的标准差为C.若该校有名学生,则每周阅读时间在小时的人数约为D.该校学生每周阅读时间不超过小时的人数占12.已知图 中,是正方形各边的中点,分别沿着,把,向上折起,
5、使得每个三角形所在的平面都与平面垂直,再顺次连接,得到一个如图 所示的多面体,则()A.平面平面B.是正三角形C.当时,多面体的体积为D.直线与平面所成角的正切值为第 3 页 共 4 页三、填空题：本题 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13.“,”的否定为真命题,则实数 的最小值为_.14.抛掷甲、乙两颗骰子,若事件“甲骰子的点数大于 3”;事件“甲、乙两骰子的点数之和等于 8”,则的值等于_.15.一个口袋中有 9 个大小相同的球,其中红球 4 个,黄球 3 个,绿球 2 个.现从该口袋中任取 3个球,设取出红球的个数为,则_.16.在平面四边形中,已知,沿对角线折起得到四面体,当与
6、平面所成的角最大时,该四面体的外接球的半径为_.四、解答题：本题 7 小题，共 70 分。17.（10 分）已知 P:在平面直角坐标系中,方程表示双曲线;:实数满足不等式.(1)若命题 P 为真,求实数的取值范围;(2)若 是 P 的充分条件,求实数的取值范围.18.（12 分）如图,三棱柱所有的棱长均为,且四边形为正方形,又.(1)求证:;(2)求直线和平面所成角的正弦值.19.（12 分）学校趣味运动会上增加了一项射击比赛,比赛规则如下:向,两个靶子进行射击,先向靶射击一次,命中得 1 分,没有命中得 0 分;再向靶连续射击两次,如果只命中一次得 2 分,一次也没有命中得 0 分,如果连续
7、命中两次则得 5 分,甲同学准备参赛,经过一定的训练,甲同学的射击水平显著提高,目前的水平是:向靶射击,命中的概率是;向靶射击,命中的概率为,假设甲同学每次射击结果相互独立.(1)求甲同学恰好命中一次的概率;(2)求甲同学获得的总分的分布列及数学期望.20（12 分）如图,已知四边形为菱形,对角线与相交于,平面平面直线,平面,.(1)求证:;(2)求二面角余弦值.第 4 页 共 4 页21.（12 分）某公司响应国家“节能减排,低碳经济”号召,鼓励员工节约用电,制定奖励政策,若公司一个月的总用电量低于 30 万,将对员工们发放节能奖励,该公司为了了解 9月份日最高气温对当天用电量的影响,随机抽
8、取了去年 9 月份 7 天的日最高气温和用电量万数据,并计算得,气温方差,用电量方差.(1)求关于的线性回归方程;(2)根据天气预测,今年9月份的日最高气温频率分布直方图如图,以(1)中的回归方程为依据,试估计该公司员工为了获得奖励,是否需要作出节能努力?(注:9 月份共 30 天,同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)参考公式:回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:,.22.（12 分）已知椭圆()过点,为椭圆的左右顶点,且直线,的斜率的乘积为.(1)求椭圆的方程;(2)过右焦点的直线 与椭圆交于,两点,线段的垂直平分线交直线 于点,交直线于点,求的最小值.3 月月考数学试卷参考答
9、案及评分细则一.单选题14:BCBA58:DCBC 二.多选题9.BC10.ACD11.ABD12.BD三.填空题72 16.34 15.61 14.1 13.第 7 题解析某市将垃圾分为四类:可回收物、餐厨垃圾、有害垃圾和其他垃圾,某班按此四类由位同学组成四个宣传小组,其中可回收物宣传小组有位同学,餐厨垃圾、有害垃圾和其他垃圾宣传小组各有位同学,现从这位同学中选派人到某小区进行宣传活动,基本事件总数,每个宣传小组至少选派人包含的基本事件个数为,则每个宣传小组至少选派人的概率为.第 8 题解析将圆柱沿底面直径进行纵切,如图所示,设平面与两乒乓球的切点分别为,与球筒相交于,此时可知为椭圆的长轴,
10、在中,1022224BO,所以51102sinAOB.过作于,又,所以10sin2AOBCO,即椭圆的长半轴10a.由平面与圆柱所截的平面可知椭圆短轴即圆柱底面直径的长,即,即,所以6422bac,所以562 ace.第 9 题解析由题意得:,解得:又,解得:第 10 题解析当时,曲线为,曲线为圆,半径为,A 正确;使得曲线为离心率为的双曲线,可得,方程无解,B 不正确;当时,曲线为,是双曲线,其渐近线方程为,C 正确;时,曲线为椭圆,焦点坐标在轴上,曲线表示焦点坐标在轴上的椭圆,所以“曲线为焦点在轴上的椭圆”可知“”,反之不成立,所以“”是“曲线为焦点在轴上的椭圆”的必要不充分条件,D 正确
11、.第 11 题解析因为,所以平均数是,标准差为,A 正确,B 正确;因为,.每周阅读时间在小时的人数占,所以 C 不正确.结合正态曲线的对称性可得,该校学生每周阅读时间不超过小时的人数占,D 正确;第 12 题解析取,的中点,连结,在图中,因为,是正方形各边的中点,则,因为为的中点,所以,因为平面平面,平面平面,所以平面,所以平面,在图中,设正方形的边长为,可得四边形的边长为,在图中,和均为等腰直角三角形,可得,所以,故四边形是边长为的正方形,因为,分别为,的中点,则且,所以四边形为矩形,所以,以为坐标原点,所在直线分别为轴,轴,轴建立空间直角坐标系,则,.对于选项 A,设平面的法向量为,则由
12、,取,则,设平面的法向量为,则有,取,则,所以,所以平面与平面不垂直,故选项 A 错误.对于选项 B,由空间中两点间的距离公式可得,所以是正三角形,故选项 B 正确.对于选项 C,以为底面,以为高将几何体补成长方体,则,分别为,的中点,因为,即,则,长方体的体积为,因此多面体的体积为,故选项 C 错误.对于选项 D,设直线与平面所成的角为,则,所以,故,故选项 D 正确.第 13 题解析由题意知,”为假命题,即,恒成立,分离参数得,令,当时取得最大值 1,的最小值为 1,故答案为:1.第 14 题解析由题意得,为抛掷甲,乙两颗骰子,甲骰子的点数大于 3 时甲、乙两骰子的点数之和等于 8 的概率
13、.因为抛掷甲、乙两骰子,甲骰子点数大于 4 的基本事件有1863个,甲骰子点数大于 3 时,甲、乙两骰子的点数之和等于 8,基本事件有（4，4），（5，3），（6，2）,共 3 个,所以61183)()()|(APABPABP.第 15 题解析425)0(3935 CCP 2110)1(391425CCCP 415)2(392415CCCP 121)3(3934 CCP 所以34213141021100)(E.第 16 题解析当与平面所成的角最大时,最大角为,此时平面平面,在中,由余弦定理可得,又,为直角三角形,平面,如图,设四面体的外接球的球心为,截面对应圆的圆心为,截面对应圆的圆心为,为的
14、中点,则球心到平面的距离为,设的外接圆半径为,由正弦定理可得,则,设四面体的外接球半径为,连接,在中,解得.四.解答题第 17 题解析(1)若命题为真,即方程表示双曲线,所以,解得,即.-3 分(2)若命题为真,即不等式成立,解得,-6 分因为是的充分条件,所以,故,解得.所以实数的取值范围为.-10 分第 18 题解析(1)连接,在正方形中,又,而,因此平面,所以.-2 分在菱形中,而,因此平面,所以.-5 分(2)由可知直线和平面所成的角等于直线和平面所成的角.-6 分由(1)可知平面,又平面,所以平面平面,所以为直线和平面所成的角.-8 分在中,aBA11,aCB21，aCA31,即直线
15、和平面所成角的正弦值为.-12 分第 19 题解析(1)记“甲同学恰好命中一次”为事件,“甲射击命中靶”为事件,“甲第一次射击靶命中”为事件,“甲第二次射击靶命中”为事件,-2 分由题意可知32)()(43)(FPEPDP，,由于,=3672313241313143.-5 分(3)随机变量的可能取值为:,-6 分361313141)0(XP363313143)1(XP364323141)2(12CXP3612313243)3(12CXP364323241)5(XP3612323243)6(XPX012356P3613633643612364361236913)(XE-12 分第 20 题解析(
16、1)因为四边形为菱形,所以,平面,平面,平面,因为平面平面直线,平面,所以.-4 分(2)因为四边形为菱形,所以,因为平面,所以以为坐标原点,为,轴建立空间直角坐标系,取中点,连,为正三角形,从而,-6 分设平面一个法向量为,则,即,令,-8 分设平面一个法向量为,则,即,令,-10 分,因此二面角的余弦值为.-12 分第 21 题解析(1),即,解得.-2 分,即,解得,-4 分,-6 分,故关于的线性回归方程.-8 分(2)法一:今年月份的日最高气温的平均值为,将代入回归方程中,得.,该公司员工为了获得奖励,需要作出节能努力.-12 分法二:由频率分布直方图得,月份日最高气温是,时,分别为天,天,天,天,天,故月份的总用电量为,该公司员工为了获得奖励,需要作出节能努力.第 22 题解析(1)依题意有,因为,所以,所以,由解得:,故椭圆的方程为.-4 分(2)由题意知直线的斜率不为,设其方程为,设点,联立方程,得到,-6 分由弦长公式,又,-9 分令,上式,当,即时,取得最小值.-12 分
