1、温馨提示：此套题为 Word 版，请按住 Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭 Word 文档返回原板块。课时提升作业 四十七 利用空间向量 证明空间中的位置关系(25 分钟 60 分)1.(2016泉州模拟)设平面的一个法向量为 n1=(1,2,-2),平面的一个法向量为n2=(-2,-4,k),若,则 k=()A.2 B.4 C.-2 D.-4【解析】选 B.由知 n1n2,则 n2=n1.即(-2,-4,k)=(1,2,-2),即解得 k=4.【加固训练】若平面,垂直,则下面可以是这两个平面的法向量的是 ()A.n1=(1,2,1),n2=(-3,1,1)B.n
2、1=(1,1,2),n2=(-2,1,1)C.n1=(1,1,1),n2=(-1,2,1)D.n1=(1,2,1),n2=(0,-2,-2)【解析】选 A.因为,所以 n1n2,即 n1n2=0,经验证可知,选项 A 正确.2.(2016西安模拟)若平面,的法向量分别是 n1=(2,-3,5),n2=(-3,1,-4),则()A.B.C.,相交但不垂直 D.以上答案均不正确【解析】选 C.因为 n1n2=2(-3)+(-3)1+5(-4)0.所以 n1与 n2不垂直,且不共线.所以与相交但不垂直.3.若=+,则直线 AB 与平面 CDE 的位置关系是()A.相交 B.平行 C.在平面内 D.平
3、行或在平面内【解析】选 D.由=+知,向量,共面,则直线 AB 与平面 CDE 的位置关系是平行或在平面内.4.(2016 珠 海 模 拟)如 图 所 示,正 方 体 ABCD-A1B1C1D1 中,E,F 分 别 在 A1D,AC 上,且A1E=A1D,AF=AC,则()A.EF 至多与 A1D,AC 之一垂直 B.EFA1D,EFAC C.EF 与 BD1相交 D.EF 与 BD1异面【解题提示】建立空间直角坐标系,用向量法求解.【解析】选 B.以 D 点为坐标原点,以 DA,DC,DD1所在直线分别为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系,设正方体棱长为 1,则 A1(1,0,1),D(0,
4、0,0),A(1,0,0),C(0,1,0),E,F,B(1,1,0),D1(0,0,1),=(-1,0,-1),=(-1,1,0),=,=(-1,-1,1),=-,=0,从而 EFBD1,EFA1D,EFAC.故选 B.5.如图,正方形 ABCD 与矩形 ACEF 所在平面互相垂直,以 CD,CB,CE 所在直线分别为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系,AB=,AF=1,M 在 EF 上,且 AM平面 BDE,则 M 点的坐标为()A.(1,1,1)B.C.D.【解析】选 C.由已知得 A(,0),B(0,0),D(,0,0),E(0,0,1),设 M(x,x,1).则=(x-,x-,1),
5、=(,-,0),=(0,-,1).设平面 BDE 的一个法向量为 n=(a,b,c).解得令 b=1,则 n=(1,1,).又 AM平面 BDE,所以 n=0.即 2(x-)+=0,得 x=,所以 M.二、填空题(每小题 5 分,共 15 分)6.(2016 日 照 模 拟)已 知 点 P 是 平 行 四 边 形 ABCD 所 在 的 平 面 外 一 点,如 果=(2,-1,-4),=(4,2,0),=(-1,2,-1).对于结论:APAB;APAD;是平面 ABCD 的法向量;.其中正确的是 .(填序号)【解析】因为=0,=0.所以 ABAP,ADAP,则正确.又与不平行,所以是平面 ABC
6、D 的法向量,则正确.由于=-=(2,3,4),=(-1,2,-1),所以与不平行,故错误.答案:7.(2016武威模拟)已知平面内的三点 A(0,0,1),B(0,1,0),C(1,0,0),平面的一个法向量 n=(-1,-1,-1).则不重合的两个平面与的位置关系是 .【解析】由已知得,=(0,1,-1),=(1,0,-1),设平面的一个法向量为 m=(x,y,z),得令 z=1,得 m=(1,1,1).又 n=(-1,-1,-1),所以 m=-n,即 mn,所以.答案:平行【方法技巧】平面的法向量的求法(1)设出平面的一个法向量 n=(x,y,z),利用其与该平面内的两个不共线向量垂直,
7、即数量积为0,列出方程组,两个方程,三个未知数,此时给其中一个变量恰当赋值,求出该方程组的一个非零解,即得到这个法向量的坐标.(2)注意,赋值不同得到法向量的坐标也不同,法向量的坐标不唯一.8.如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱长为 1,E,F 分别是棱 BC,DD1上的点,如果 B1E平面 ABF,则CE 与 DF 的和为 .【解析】以 D1A1,D1C1,D1D 所在直线分别为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系,设 CE=x,DF=y,则易知E(x,1,1),B1(1,1,0),所以=(x-1,0,1),又 F(0,0,1-y),B(1,1,1),所以=(1,1,y),由于 AB
8、B1E,故若 B1E平面 ABF,只需=(1,1,y)(x-1,0,1)=0 x+y=1.答案:1 三、解答题(每小题 10 分,共 20 分)9.(2016滨州模拟)在直三棱柱 ABC-A1B1C1中,AB=AC=AA1=3,BC=2,点 D 是 BC 的中点,F 是 CC1上一点,且 CF=2.(1)求证:B1F平面 ADF.(2)若=,求证:PF平面 ADB1.【证明】因为 D 是 BC 的中点,AB=AC,所以 ADBC,取 B1C1的中点 D1,则 DD1平面 ABC.分别以CB,AD,DD1 所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系,因为 AB=AC=AA1=3,BC=
9、2,所以A(0,-2,0),B(1,0,0),C(-1,0,0),A1(0,-2,3),B1(1,0,3),C1(-1,0,3),因为 CF=2,所以 F(-1,0,2).(1)=(-2,0,-1),=(0,-2,0),=(-1,0,2),=0,=0,所以平面 ADF,所以 B1F平面 ADF.(2)因为=(1,-2,0)=,所以 P,所以=.设平面 ADB1的法向量为 n=(x0,y0,z0),则 所以 设 z0=1,则 n=(-3,0,1).因为n=0,PF平面 ADB1,所以 PF平面 ADB1.【加 固 训 练】如 图,在 多 面 体ABC-A1B1C1中,四 边 形A1ABB1是 正
10、 方形,AB=AC,BC=AB,B1C1BC,二面角 A1-AB-C 是直二面角.求证:(1)A1B1平面 AA1C.(2)AB1平面 A1C1C.【证明】因为二面角 A1-AB-C 是直二面角,四边形 A1ABB1为正方形,所以 AA1平面 BAC.又因为 AB=AC,BC=AB,所以CAB=90,即 CAAB,所以 AB,AC,AA1两两互相垂直.建立如图所示的空间直角坐标系,设 AB=2,则 A(0,0,0),B1(0,2,2),A1(0,0,2),C(2,0,0),C1(1,1,2).(1)=(0,2,0),=(0,0,-2),=(2,0,0),设平面 AA1C 的一个法向量 n=(x
11、,y,z),即即 取 y=1,则 n=(0,1,0).所以=2n,即n.所以 A1B1平面 AA1C.(2)易知=(0,2,2),=(1,1,0),=(2,0,-2),设平面 A1C1C 的一个法向量 m=(x1,y1,z1),即 令 x1=1,则 y1=-1,z1=1,即 m=(1,-1,1).所以m=01+2(-1)+21=0,所以m.又 AB1平面 A1C1C,所以 AB1平面 A1C1C.10.如 图,在 三 棱 柱 ABC-A1B1C1 中,AA1C1C 是 边 长 为 4 的 正 方 形.平 面 ABC 平 面AA1C1C,AB=3,BC=5.(1)求证:AA1平面 ABC.(2)
12、证明在线段 BC1上存在点 D,使得 ADA1B,并求的值.【解析】(1)因为 AA1C1C 为正方形,所以 AA1AC.因为平面 ABC平面 AA1C1C,且 AA1垂直于这两个平面的交线 AC.所以 AA1平面 ABC.(2)由(1)知 AA1AB,AA1AC.由题知 AB=3,BC=5,AC=4,所以 ABAC.如图,以 A 为原点建立空间直角坐标系 Axyz,则 B(0,3,0),A1(0,0,4),B1(0,3,4),C1(4,0,4).设 D(x,y,z)是线段 BC1上的一点,且=,.所以(x,y-3,z)=(4,-3,4).解得 x=4,y=3-3,z=4,所以=(4,3-3,
13、4).由=0,即 9-25=0,解得=.因为,所以在线段 BC1上存在点 D,使得 ADA1B,此时,=.(20 分钟 40 分)1.(5 分)已知=(1,5,-2),=(3,1,z),若,=(x-1,y,-3),且 BP平面 ABC,则实数 x,y,z 分别为()A.,-,4 B.,-,4 C.,-2,4 D.4,-15【解题提示】利用数量积与垂直的关系、线面垂直的性质定理即可得出.【解析】选 B.因为,所以=3+5-2z=0,解得 z=4.所以=(3,1,4).因为 BP平面 ABC,所以,.所以 化为解得 所以 x=,y=-,z=4.2.(5 分)(2016烟台模拟)如图所示,在正方体
14、ABCD-A1B1C1D1中,棱长为 a,M,N 分别为 A1B 和 AC上的点,A1M=AN=,则 MN 与平面 BB1C1C 的位置关系是()A.斜交 B.平行 C.垂直 D.不能确定【解析】选 B.分别以 C1B1,C1D1,C1C 所在直线为 x,y,z 轴,建立空间直角坐标系.因为 A1M=AN=a,所以 M,N,所以=.又 C1(0,0,0),D1(0,a,0),所以=(0,a,0),所以=0,所以.因为是平面 BB1C1C 的一个法向量,且 MN平面 BB1C1C,所以 MN平面 BB1C1C.3.(5 分)空间中两个有一条公共边 AD 的正方形 ABCD 与 ADEF,设 M,
15、N 分别是 BD,AE 的中点,给出如下命题:ADMN;MN平面 CDE;MNCE;MN,CE 异面.则所有的正确命题为 .【解题提示】选,为基向量,利用向量法,对四个命题逐一判断从中选择出正确命题.【解析】如图,设=a,=b,=c,则|a|=|c|且 ab=cb=0.=-=(b+c)-(a+b)=(c-a),=(c-a)b=(cb-ab)=0,故 ADMN,故正确;=c-a=2,故 MNCE,故 MN平面 CDE,故正确;正确时一定不正确.答案:4.(12 分)(2016汕头模拟)如图所示,在四棱锥 P-ABCD 中,PC平面 ABCD,PC=2,在四边形 ABCD中,B=C=90,AB=4
16、,CD=1,点 M 在 PB 上,PB=4PM,PB 与平面 ABCD 成 30的角.求证:(1)CM平面 PAD.(2)平面 PAB平面 PAD.【证明】以 C 为坐标原点,CB 为 x 轴,CD 为 y 轴,CP 为 z 轴建立如图所示的空间直角坐标系 Cxyz.因为 PC平面 ABCD,所以PBC 为 PB 与平面 ABCD 所成的角,所以PBC=30,因为 PC=2,所以 BC=2,PB=4,所以 D(0,1,0),B(2,0,0),A(2,4,0),P(0,0,2),M,所以=(0,-1,2),=(2,3,0),=.(1)设 n=(x,y,z)为平面 PAD 的一个法向量,令 y=2
17、,得 n=(-,2,1).因为 n=-+20+1=0,所以 n.又 CM平面 PAD,所以 CM平面 PAD.(2)如图,取 AP 的中点 E,连接 BE,则 E(,2,1),=(-,2,1).因为 PB=AB,所以 BEPA.又因为=(-,2,1)(2,3,0)=0,所以.所以 BEDA.又 PADA=A,所以 BE平面 PAD.又因为 BE 平面 PAB,所以平面 PAB平面 PAD.5.(13 分)(2016潍坊模拟)如图(1)所示,在 RtABC 中,C=90,BC=3,AC=6,D,E 分别是AC,AB 上的点,且 DEBC,DE=2,将ADE 沿 DE 折起到A1DE 的位置,使
18、A1CCD,如图(2)所示.(1)求证:A1C平面 BCDE.(2)若 M 是 A1D 的中点,求 CM 与平面 A1BE 所成角的大小.(3)线段 BC 上是否存在一点 P,使平面 A1DP 与平面 A1BE 垂直?说明理由.【解析】(1)因为 ACBC,DEBC,所以 DEAC,所以 DEA1D,DECD,A1DDC=D,所以 DE平面 A1DC,所以 DEA1C.又因为 A1CCD,DECD=D,所以 A1C平面 BCDE.(2)如 图 所 示,以 C 为 坐 标 原 点,建 立 空 间 直 角 坐 标 系 Cxyz,则 A1(0,0,2),D(0,2,0),M(0,1,),B(3,0,
19、0),E(2,2,0).设平面 A1BE 的法向量为 n=(x,y,z),则 n=0,n=0.又因为=(3,0,-2),=(-1,2,0),所以 令 y=1,则 x=2,z=,所以 n=(2,1,).设 CM 与平面 A1BE 所成的角为.因为=(0,1,),所以 CM 与平面 A1BE 所成角的大小为.(3)线段 BC 上不存在一点 P,使平面 A1DP 与平面 A1BE 垂直.理由如下:假设这样的点 P 存在,设其坐标为(p,0,0),其中 p.设平面 A1DP 的法向量为 m=(x1,y1,z1),又因为=(0,2,-2),=(p,-2,0),所以令 x1=2,则 y1=p,z1=.所以 m=.当且仅当 mn=0 时,平面 A1DP平面 A1BE.由 mn=0,得 4+p+p=0,解得 p=-2,与 p矛盾.所以线段 BC 上不存在一点 P,使平面 A1DP 与平面 A1BE 垂直.关闭 Word 文档返回原板块
