1、要点导学各个击破三角形的相似问题例1如图,AB为圆O的直径,直线CD与圆O相切于点E,ADCD于点D,BCCD于点C,EFAB于点F,连接AE,BE.(例1)(1) 求证:FEB=CEB;(2) 求证:EF2=ADBC.【分析】(1) 利用弦切角等于弦所对的圆周角以及直经所对的圆周角是直角寻找相等关系;(2) 利用全等或相似的性质.【解答】(1) 由直线CD与圆O相切,得CEB=EAB.由AB为圆O的直径,得AEEB,从而EAB+EBF=90.又EFAB,得FEB+EBF=90,所以FEB=EAB,所以FEB=CEB.(2) 由BCCE,EFAB,FEB=CEB,BE是公共边,得RtBCERt
2、BFE,所以BC=BF.同理可证,RtADERtAFE,得AD=AF.又在RtAEB中,EFAB,故EF2=AFBF,所以EF2=ADBC.【点评】(1) 中由直经所对的圆周角是直角得到互余关系进而得相等关系;(2) 中由结论EF2=ADBC,联系三角形全等或相似.变式如图,在ABC中,D为BC边的中点,E为AD上的一点,延长BE交AC于点F.若=,求的值.(变式)【解答】如图,过点A作AGBC,交BF的延长线于点G.(变式)因为=,所以=.又因为AGEDBE,所以=.因为D为BC中点,所以BC=2BD,所以=.因为AGFCBF,所以=,所以=.圆的切、割线问题例2如图,ABC为圆的内接三角形
3、,BD为圆的弦,且BDAC. 过点A作圆的切线与DB的延长线交于点E,AD与BC交于点F.若AB=AC,AE=6,BD=5,求线段CF的长.(例2)【分析】可先用切割线定理求出EB的长,再证明四边形AEBC是平行四边形,求得BC和AC的长,再利用三角形相似,求CF的长.【解答】因为AE是圆的切线,且AE=6,BD=5,由切割线定理可得EA2=EBED,即36=EB(EB+5),解得EB=4.又BAE=ADB=ACB=ABC,所以AEBC.又ACBD,所以四边形AEBC是平行四边形,所以AE=BC=6,AC=EB=4.又由题意可得CAFCBA,所以=,所以CF=.所以线段CF的长为.【点评】题中
4、既出现了圆的切线又出现了圆的割线,一般考虑圆的切割线定理求线段的长;求CF的长则利用了三角形相似对应边成比例这一性质.圆的内接四边形问题例3如图,AB是圆O的直径,G是AB延长线上的一点,GCD是圆O的割线,过点G作AG的垂线,交直线AC的延长线于点E,交直线AD的延长线于点F,过点G作圆O的切线,切点为H.(例3)(1) 求证:C,D,E,F四点共圆;(2) 若GH=6,GE=4,求EF的长.【分析】(1) 要证C,D,E,F四点共圆,只需证四边形的一组对角互补,从而只需证ACD=AFE;(2) 由(1)知C,D,E,F四点共圆,由切割线定理易得GEGF=GCGD,在圆O中由切割线定理得GH
5、2=GEGF.【解答】(1) 连接DB,(例3)因为AB是圆O的直径,所以ADB=90.在RtABD与RtAFG中,因为ABD=AFE,又ABD=ACD,所以ACD=AFE,所以AFE+DCE=180,所以C,D,E,F四点共圆.(2) 由(1)知C,D,E,F四点共圆,所以GEGF=GCGD.由GH切圆O于点H,得GH2=GCGD.所以GH2=GEGF.又GH=6,GE=4,所以GF=9,所以EF=GF-GE=5.【点评】本题中GCD是两圆的公共割线,利用圆的切割线定理过渡是证明的关键.变式如图,在四边形ABCP中,线段AP与BC的延长线交于点D,已知AB=AC,且A,B,C,P四点共圆.(
6、变式)(1) 求证:=;(2) 若AC=4,求APAD的值.【解答】(1) 因为点A,B,C,P四点共圆,所以ABC+APC=180.又因为DPC+APC=180,所以DPC=ABC.又因为D=D,所以DPCDBA,所以. =.又因为AB=AC,所以=.(2) 因为AB=AC,所以ACB=ABC.又ACD+ACB=180,所以ACD+ABC=180.由于ABC+APC=180,所以ACD=APC,又CAP=DAC,所以APCACD,所以=,所以APAD=AC2=16.1. (2014淮安、宿迁摸底)如图,等边三角形ABC内接于圆O,D为劣弧上一点,连接BD,CD并延长,分别交AC,AB的延长线
7、于点E,F,求证:CEBF=BC2.(题)【解答】因为等边三角形ABC内接于圆O,所以BAC=60,BDC=120,所以DBC+DCB=60.又BFC+DCB=60,所以DBC=BFC.同理DCB=CEB,所以CBEBFC,所以=,即CEBF=BC2.2. 如图,直线AB为圆的切线,切点为B,点C在圆上,ABC的角平分线BE交圆于点E,DBBE且交圆于点D.(第2题)(1) 求证:DB=DC;(2) 设圆的半径为1,BC=,延长CE交AB于点F,求BCF外接圆的半径.【解答】(1) 如图,连接DE交BC于点G.(第2题)由弦切角定理得ABE=BCE.而ABE=CBE,故CBE=BCE,所以BE
8、=CE.又因为DBBE,所以DE为直径,则DCE=90,由勾股定理可得DB=DC.(2) 由(1)知CDE=BDE,DB=DC,故DG是BC的中垂线,所以BG=.设DE的中点为O,连接BO,则BOG=60.从而ABE=BCE=CBE=30,所以CFBF,故RtBCF外接圆的半径等于.3. 如图,CD为ABC外接圆的切线,AB的延长线交直线CD于点D,E,F分别为弦AB与弦AC上的点,且BCAE=DCAF,且B,E,F,C四点共圆.(第3题)(1) 求证:CA是ABC外接圆的直径;(2) 若DB=BE=EA,求过B,E,F,C四点的圆的面积与ABC外接圆面积的比值.【解答】(1) 因为CD为ABC外接圆的切线,所以DCB=A.由题设知=,故CDBAEF,所以DBC=EFA.因为B,E,F,C四点共圆,所以CFE=DBC,故EFA=CFE=90.所以CBA=90,因此CA是ABC外接圆的直径.(2) 如图,连接CE,因为CBE=90,所以过B,E,F,C四点的圆的直径为CE.由DB=BE,有CE=DC.又BC2=DBBA=2DB2,所以CA2=4DB2+BC2=6DB2.(第3题)而DC2=DBDA=3DB2,故过B,E,F,C四点的圆的面积与ABC外接圆面积的比值为.温馨提示:趁热打铁,事半功倍.请老师布置同学们完成配套检测与评估中的练习第51-52页.
