1、2007年廉州中学高三第一次月考试题数 学（理科） 第卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1如果集合，那么()等于（ ）ABCD2函数的反函数图像是（） AB CD3等差数列的前项和为30，前项和为100，则它的前项和为（ ） A130 B170 C210 D2604已知函数为奇函数，则的一个取值为（） A0 BC D5函数的单调增区间为 ( ) A. B. C. D. 6已知实数a，b均不为零，且，则等于（） AB C D7过球面上三点A、B、C的截面和球心的距离是球半径的一半，且AB6，BC8，AC10
2、，则球的表面积是（） AB CD8在的展开式中,的系数是 ( ) A-297 B-252 C297 D2079已知、是不重合的直线，、是不重合的平面，有下列命题：若, 则； 若,则；若，则，；若，则其中真命题的个数是 （ ）A0 B1C2 D310已知函数的图像关于点（-1，0）对称，且当（0，）时，则当（-，-2）时的解析式为（） A B CD11. 设集合，从A到B的映射满足条件：对每一个，使为偶数，那么这样的共有（ ）A. 6个 B. 7个 C. 12个 D. 15个12如果直线ykx1与圆交于M、N两点，且M、N关于直线xy0对称，则不等式组：表示的平面区域的面积是（） A B C1
3、D2(在此卷上答题无效)第卷(非选择题 共90分)注意事项:请用0.5毫米黑色水签字笔在答题卡上书写作答,在试题卷上书写作答无效.二、填空题:本大共4小题,每小题4分,共16分,把答案填在答题卡的相应位置.13已知2，与的夹角为45，要使与垂直，则=_14圆锥曲线的焦点坐标是_15不等式的解集为_16.已知直线过点P(1,2),且分别交、正半轴于A、B两点.当取最小值时,直线的方程为_.三、解答题：本大题共6小题，共84分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. (本题满分10分)已知，（1）求y关于x的函数关系式 （2）若时，的最大值为4，求a的值，并说明此时的图象的对称轴方程及对称
4、中心的坐标。18(本题满分12分)已知：甲盒子内有3个正品元件和4个次品元件，乙盒子内有5个正品元件和4个次品元件，现从两个盒子内各取出2个元件，试求 （1）取得的4个元件均为正品的概率； （2）取得正品元件个数的数学期望.19(本题满分12分)如图，三棱柱的底面是边长为a的正三角形，侧面是菱形且垂直于底面,60,M是的中点（1）求证：BMAC；（2）求二面角的正切值；（3）求三棱锥的体积20. (本题满分12分) 已知(1)当时, 求证在内是减函数;(2)若在内有且只有一个极值点, 求a的取值范围.21. (本题满分14分)在数列中N其中.(I)求数列的通项公式；(II)求数列的前项和；(I
5、II)证明存在N使得对任意N均成立.22. (本题满分12分)设椭圆的左、右焦点分别为是椭圆上的一点原点到直线的距离为.(I)证明：；(II)设为椭圆上的两个动点过原点作直线的垂线垂足为 求点的轨迹方程.参考答案选择题 题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 D C C B C B D D B B C A填空题 13. 2 14.(0,) 15. () 16. 解答题17. 解：（1）因为，所以（2）因为时，的最大值为4，所以 故所以函数 即时函数有最大值或最小值；故函数的图象的对称轴方程为 时函数值为2，故函数的对称中心的坐标为。18解：（1）从甲盒中取两个正品的概率为
6、P（A）=2分从乙盒中取两个正品的概率为P（B）=4分A与B是独立事件 P（AB）=P（A）P（B）=6分（2）的分布列为01239分4P12分19.（1）证明：是菱形，60是正三角形 又 （2）BEM为所求二面角的平面角 中，60，Rt中，60，所求二面角的正切值是2；（3）20: (1) (1分), 又二次函数的图象开口向上,在内, 故在内是减函数.(2)设极值点为则(7分)当时, 在内 在内即在内是增函数, 在内是减函数.当时在内有且只有一个极值点, 且是极大值点. (9分)当时, 同理可知, 在内且只有一个极值点, 且是极小值点. (10分)当时, 由(1)知在内没有极值点. (11分
7、)故所求a的取值范围为(12分)21题.(I)解法一：，.由此可猜想出数列的通项公式为.以下用数学归纳法证明.(1)当时等式成立.(2)假设当时等式成立，即那么，这就是说，当时等式也成立.根据(1)和(2)可知，等式对任何N都成立.解法二：由N可得所以为等数列，其公差为1，首项为0.故所以数列的通项公式为(II)解：设 当时，式减去式，得这时数列的前项和当 时，这时数列的前项和(III)证明：通过分析，推测数列的第一项最大.下面证明： 由知要使式成立，只要因为所以式成立. 因此，存在使得对任意N均成立.22.题 (I)证法一：由题设及不妨设点其中由于点在椭圆上，有即 解得从而得到直线的方程为整理得由题设，原点到直线的距离为即将代入上式并化简得即证法二：同证法一，得到点的坐标为过点作垂足为易知故由椭圆定义得又所以解得而而得即（II）解法一：设点的坐标为当时，由知，直线的斜率为所以直线的方程为或其中点的坐标满足方程组将式代入式，得整理得于是 由式得由知将式和式代入得 将代入上式，整理得当时，直线的方程为点的坐标满足方程组 所以由知即解得这时，点的坐标仍满足综上，点的轨迹方程为解法二：设点的坐标为直线的方程为由垂足为可知直线的方程为记（显然点的坐标满足方程组由式得由式得将式代入式得整理得于是由式得由式得将式代入式得整理得于是由知将式和式代入得 将代入上式，得所以，点的轨迹方程为
