1、高考资源网（） 您身边的高考专家2011年广州市高考备考冲刺阶段数学学科训练材料（理科）说明： 本训练题由广州市中学数学教学研究会高三中心组组织编写，共26题， 本训练题仅供本市高三学生考前冲刺训练用，希望在5月31日之前完成3本训练题与市高三质量抽测、一模、二模等数学试题在内容上相互配套，互为补充四套试题覆盖了高中数学的主要知识和方法因此，希望同学们在5月31日至6月6日之间，安排一段时间，对这四套试题进行一次全面的回顾总结，同时，将高中数学课本中的基本知识（如概念、定理、公式等）再复习一遍希望同学们保持良好的心态，在高考中稳定发挥，考取理想的成绩！1.设函数的最小正周期为（1）求的值;（2
2、）若函数的图象是由的图象向右平移个单位长度得到， 求的单调增区间2.已知两个向量，其中， 且满足（1）求的值；（2）求的值3. 设函数.（1）若是函数的一个零点，求的值；（2）若是函数的一个极值点，求的值.4. 在中，内角所对的边长分别是, 已知，.（1）求的值；（2）若为的中点，求的长. 组号 分组频数 频率 第一组90, 100 ) 5 0.05 第二组100, 110 ) 35 0.35 第三组110, 120 ) 30 0.30 第四组120, 130 ) 20 0.20 第五组130, 140 ) 10 0.10合 计 100 1.005. 某校高三一次月考之后,为了了解数学学 科的
3、学习情况,现从中随机抽出若干名学 生此次的数学成绩,按成绩分组, 制成右 面频率分布表:(1) 若每组数据用该区间的中点值（例如区 间90, 100 )的中点值是95）作为代表， 试估计该校高三学生本次月考的平均分； (2) 如果把表中的频率近似地看作每个学 生在这次考试中取得相应成绩的概率，那么从所有学生中采用逐个抽取的方法任意抽取 3名学生的成绩，并记成绩落在区间110, 130 )中的学生数为，求： 在三次抽取过程中至少两次连续抽中成绩在区间110, 130 )中的概率； 的分布列和数学期望.6. 某班从6名干部中（其中男生4人，女生2人）选3人参加学校的义务劳动.（1）设所选3人中女生
4、人数为，求的分布列及；（2）求男生甲或女生乙被选中的概率；（3）在男生甲被选中的情况下，求女生乙也被选中的概率.7. 已知函数，其中为常数（1）当时，求函数的单调递增区间；（2）若任取，求函数在R上是增函数的概率8.汽车是碳排放量比较大的行业之一欧盟规定，从2012年开始，将对排放量超过 的型新车进行惩罚某检测单位对甲、乙两类型品牌车各抽取辆进行 排放量检测，记录如下(单位：).甲80110120140150乙100120160经测算发现，乙品牌车排放量的平均值为（1）从被检测的5辆甲类品牌车中任取2辆，则至少有一辆不符合排放量的概率是多少？（2）若，试比较甲、乙两类品牌车排放量的稳定性 9.
5、 某研究性学习小组对春季昼夜温差大小与某花卉种子发芽多少之间的关系进行研究，他 们分别记录了3月1日至3月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子浸泡后的 发芽数，得到如下资料：日 期3月1日3月2日3月3日3月4日3月5日温差（C）101113128发芽数（颗）2325302616（1）从3月1日至3月5日中任选2天，记发芽的种子数分别为，求事件“”的概率；（2）甲，乙两位同学都发现种子的发芽率与昼夜温差近似成线性关系，给出的拟合直线分别为与，试利用“最小平方法（也称最小二乘法）的思想”，判断哪条直线拟合程度更好10如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，底 面，分别为的中点APBCDMN（1
6、）求证：；（2）求与平面所成的角的正弦值11一个三棱锥的三视图、直观图如图（1）求三棱锥的体积；（2）求点C到平面SAB的距离；（3）求二面角的余弦值12如图，为圆的直径，点、在圆上，矩形所在的平面 和圆所在的平面互相垂直，且，（1）求证：平面；（2）设的中点为，求证：平面；（3）设平面将几何体分成的两个锥体 的体积分别为，求13.已知等比数列的公比，且、成等差数列. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和.14.设是等差数列，是各项都为正数的等比数列，且， .（1）求，的通项公式；（2）求数列的前n项和15. 已知函数的图象经过原点，且关于点成中心对称. （1）求函数的解析式；
7、（2）若数列满足，求数列的通项公式； （3）在（2）的条件下，设数列的前项和为，试判断与的大小关系，并证 明你的结论.16. 已知抛物线与双曲线有公共焦点，点是 曲线在第一象限的交点，且（1）求双曲线的方程；（2）以双曲线的另一焦点为圆心的圆与双曲线的一条渐近线相切，圆：过点作互相垂直且分别与圆、圆相交的直线和，设被圆截得的弦长为，被圆截得的弦长为是否为定值？请说明理由17. 已知点和抛物线的焦点关于轴对称，点是以点为圆心，4为半径的上任意一点，线段的垂直平分线与线段交于点，设点的轨迹为曲线，（1） 求抛物线和曲线的方程；（2） 是否存在直线，使得直线分别与抛物线及曲线均只有一个公共点，若存在
8、，求出所有这样的直线的方程，若不存在，请说明理由18如图，在中，是直角，有一个椭圆以为一个焦点， 另一个焦点Q在上，且椭圆经过点、.（1）求椭圆的离心率；（2）若以PQ所在直线为轴，线段PQ的垂直平分线为轴建立直角坐标系，求椭圆的 方程；（3）在（2）的条件下，若经过点Q的直线将的面积分为相等的两部分， 求直线的方程.19.已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合, 椭圆与抛物线在第一象限的交点为,.(1) 求椭圆的方程;(2) 过点的直线与椭圆相交于、两点，求使成立的动点的轨迹方程.20.某车间有50名工人，要完成150件产品的生产任务，每件产品由3个型零件和1个型零件配套组成.每个工人每小时能加
9、工5个型零件或者3个型零件，现在把这些工人分成两组同时工作(分组后人数不再进行调整)，每组加工同一种型号的零件.设加工型零件的工人人数为名（N）.（1）设完成型零件加工所需时间为小时，写出的解析式；（2）为了在最短时间内完成全部生产任务，应取何值？21. 某企业自年月日正式投产，环保监测部门从该企业投产之日起对它向某湖区排 放污水进行了四个月的跟踪监测，检测的数据如下表并预测，如果不加以治理，该企 业每月向湖区排放污水的量将成等比数列月份月月月月该企业向湖区排放的污水（单位：立方米）100200400800（1）如果不加以治理，求从年月起，个月后，该企业总计向某湖区排放了多少立方米的污水？（2
10、）为保护环境，当地政府和企业决定从2010年7月份开始投资安装污水处理设备，预计月份的污水排放量比月份减少400立方米，以后每月的污水排放量均比上月减少400立方米，当企业停止排放污水后，再以每月1600立方米的速度处理湖区中的污水，请问什么时候可以使湖区中的污水不多于5000立方米？22.设函数为自然对数的底数). (1) 若时, 恒成立, 求的取值范围; (2)求证:对于大于的正整数, 恒有成立.23.已知函数，（1）若，求函数的极值；（2）设函数，求函数的单调区间；(3)若在（）上存在一点，使得成立，求的取值范围.24.若函数对任意的实数，均有，则称函数是区间上的“平缓函数”，(1) 判
11、断和是不是实数集上的“平缓函数”，并说明理由；(2) 若数列对所有的正整数都有 ，设, 求证： .25. 已知曲线C：xy=1，过C上一点作一斜率为的直线交曲线C 于另一点，点列的横坐标构成数列，其中 （1）求与的关系式；（2）求证：是等比数列；（3）求证：.26. 对于函数，若存在R，使成立，则称为的不动点 如果函数有且仅有两个不动点0和2（1）试求b、c满足的关系式；（2）若c2时，各项不为零的数列an满足4Sn1，求证：； （3）在(2)的条件下, 设bn，为数列bn的前n项和， 求证：2011年广州市高考备考冲刺阶段数学学科(理科)训练材料参考答案1.解：（1） 依题意得，故的值为.
12、（2）依题意得: 由 解得 故的单调增区间为: 2. 解：（1）， 所以（2）因为，所以， 结合，可得 于是， 3. 解：（1）是函数的一个零点, , 从而. （2）, 是函数的一个极值点 , 从而. .4. 解：（1）且， （2）由（1）可得 由正弦定理得，即，解得在中， ，5. 解：（1）本次月考数学学科的平均分为： .（2）由表知：成绩落在110, 130 )中的概率为. 设表示事件“在三次抽取过程中至少有两次连续抽中成绩在110, 130 )中”,则,所以, 在三次抽取过程中至少有两次连续抽中成绩在110, 130 )中的概率为.的可能取值为., , .0123的分布列为:. 或者:
13、, 则.6.解：（1）的所有可能取值为0，1，2，依题意得： 的分布列为012 （2）设“甲、乙都不被选中”为事件，则所求概率为（3）记“男生甲被选中”为事件，“女生乙被选中”为事件， （或直接得）7.解：（1）当时， -令，,解得或，故函数的单调递增区间分别为和 （2）若函数在R上是增函数，则对于任意R，恒成立所以，即设“在R上是增函数”为事件，则事件对应的区域为全部试验结果构成的区域，如图 所以，.故函数在R上是增函数的概率为. 8. 解：（1）从被检测的辆甲类品牌车中任取辆，共有种不同的排放量结果： ()；()；()；()；()；()；()；()；()；(). 设“至少有一辆不符合排放量
14、”为事件，则事件包含以下种不同的结果： ()；()；()；()；()；()；(). 所以， 答：至少有一辆不符合排放量的概率为 （2）由题可知，. ，令， ，乙类品牌车碳排放量的稳定性好. 9.解：（1）的取值情况有，基本事件总数为10 设“”为事件，则事件包含的基本事件为 所以， 故事件“”的概率为 （2）将甲，乙所作拟合直线分别计算的值得到下表：101113128232530261622242286264176222452952717用作为拟合直线时，所得到的值与的实际值的差的平方和为用作为拟合直线时，所得到的值与的实际值的差的平方和为 由于，故用直线的拟合效果好 10（1）解法1：是的中
15、点，平面，所以又，又，平面平面，解法2：如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系，设，yAPBCDMNxz可得，因为，所以（2）因为所以 ，又，所以 平面，因此 的余角即是与平面所成的角因为 所以与平面所成的角的正弦值为11 解： （1）由正视图、俯视图知；由正视图、侧视图知，点B在平面SAC上的正投影为AC的中点D，则，平面，；由俯视图、侧视图知，点S在平面ABC上的正投影为DC的中点O，则，平面，如图（1）三棱锥的体积解法一：以O为原点，OA为轴，过O且平行于BD的直线为轴，OS为轴，建立如图空间直角坐标系，可求，设是平面SAB的一个法向量，则，取，（2）可知，设点C到平面SAB的距离为，则（
16、3）可知是平面ABC一个法向量，故， 二面角的余弦值为解法二：（2）可求，SAB的面积，设点C到平面SAB的距离为，由三棱锥的体积，得（3）作于H，作交AB于E，则，连接SE，因OE是SE在底面ABC内的射影，而，故，为二面角的平面角ABC中，易求，由ABC的面积，AEO与AHC相似，相似比为AO：AC=3：4，故，中，故，二面角的余弦值为12.（1）证明： 平面平面,平面平面=，平面，平面，为圆的直径， 平面（2）设的中点为，则，又，则，为平行四边形，又平面，平面， 平面（3）过点作于，平面平面，平面，平面，13.解：（1）因为、成等差数列，所以，即.因为，所以，即.因为，所以.所以.所以数
17、列的通项公式为.（2）因为，所以.所以当时，；当时，.综上所述，14. 解：（1）设的公差为，的公比为，则依题意有且解得，所以，（2），得 15. 解：（1）因为函数的图象经过原点，所以，即.所以.因为函数的图象关于点成中心对称，所以.所以.（2）因为，且，所以，即，即.所以数列是首项为，公差为的等差数列.所以，所以.（3）当时，；当时，所以.综上所述，.16. 解：（1）抛物线的焦点为，双曲线的焦点为、，设在抛物线上，且，由抛物线的定义得，s5u，又点在双曲线上，由双曲线定义得， 双曲线的方程为：（2）为定值下面给出说明设圆的方程为：，双曲线的渐近线方程为：，5u圆与渐近线相切，圆的半径为，
18、 故圆：， 显然当直线的斜率不存在时不符合题意，设的方程为，即，设的方程为，即，点到直线的距离为，点到直线的距离为，直线被圆截得的弦长，直线被圆截得的弦长， ， 故为定值17.解:（1）依题意,，抛物线的焦点的坐标为,则， 所以抛物线的方程为， 由于，即，而线段的垂直平分线与线段交于点，则因此，且，则点的轨迹为以、为焦点的椭圆， 设的方程为，则，且，解得，所求曲线的方程为 （2）若直线的斜率不存在，则直线，与抛物线及曲线均只有一个 公共点，若直线斜率存在，设其方程为，若与抛物线及曲线均只有一个公共点，则及均只有一组解， 由消去得 , 则 由消去得 , 则，即 由得， 即存在直线与抛物线及曲线均
19、只有一个公共点， 综上：存在四条直线,与抛物线及曲线均只有一个公共点18（1）因为椭圆以为一个焦点，另一个焦点Q在AB上，且椭圆经过点A、B，所以由椭圆的定义知， 因此，解得. 于是椭圆的长轴长，焦距， 故椭圆的离心率.（2）依题意，可设椭圆方程为，由（1）知，椭圆方程为.（3）依题意，设直线的方程为，设直线与PA相交于点C，则，故，从而.设，由，得，解得.设，由，得，解得.，直线的方程为.19.(1)解：抛物线的焦点的坐标为，准线为， 设点的坐标为，依据抛物线的定义，由，得， 解得. 点在抛物线上，且在第一象限， ，解得. 点的坐标为. 点在椭圆上， . 又，且， 解得. 椭圆的方程为.(2
20、)解：设点、， 则. . ,. 、在椭圆上， 上面两式相减得.把式代入式得.当时，得. 设的中点为，则的坐标为. 、四点共线，, 即. 把式代入式，得，化简得. 当时，可得点的坐标为，经检验，点在曲线上.动点的轨迹方程为. 20.解：（1）生产150件产品，需加工型零件450个，则完成型零件加工所需时间N，且. （2）生产150件产品，需加工型零件150个， 则完成型零件加工所需时间N，且设完成全部生产任务所需时间为小时，则为与的较大者.令，即， 解得. 所以，当时，；当时，.故. 当时，故在上单调递减，则在上的最小值为（小时）； 当时，故在上单调递增，则在上的最小值为（小时）； ，在上的最小
21、值为. 答：为了在最短时间内完成生产任务，应取. 21. 解：（1） 由题意知：企业每月向湖区排放的污水量成等比数列，设第一个月污水排放量为，则，公比为，则第个月的污水排放量为，如果不治理，个月后的污水总量为：（立方米）（2） 由（1）知，则，由题意知，从2010年月份开始，企业每月向湖区排放的污水量成等差数列，公差为，记7月份企业向湖区排放的污水量为，则，令 得.所以该企业年月向湖区停止污水排放，则该企业共排污水（立方米）设个月后污水不多于立方米，则因为，所以个月后即年月污水不多于立方米22. (1) 解: , , ,. 若,则当时,为减函数,而, 从而当时,不合题意,应舍去. 若,则当时,
22、 ,为减函数,而, 从而当时,不合题意,应舍去. 若,则当时, ,为增函数,而, 从而当时,所以当时, 恒成立. 综上, 的取值范围为.(2) 证明: 由(1)知, 对于, 当时, ,所以,而当时, ,所以,从而时, . 取,则.23. 解：（1）的定义域为， 当时， ， 10+极小所以在处取得极小值1. （2）， 当时，即时，在上，在上，所以在上单调递减，在上单调递增； 当，即时，在上，所以，函数在上单调递增. （3）在上存在一点，使得成立，即在上存在一点， 使得，即函数在上的最小值小于零. 由（2）可知当，即时， 在上单调递减，所以的最小值为，由可得，因为，所以； 当，即时， 在上单调递增
23、，所以最小值为，由可得； 当，即时， 可得最小值为， 因为，所以， 故 此时，不成立. 综上讨论可得所求的范围是：或. 24.解：（1）是上的“平缓函数，但不是区间的“平缓函数”；设，则,则是实数集上的增函数，不妨设，则，即，则， 又也是上的增函数，则，即， 由 、 得 因此 ，对的实数都成立，当时，同理有成立又当时，不等式，故 对任意的实数，均 有因此 是上的“平缓函数.由于取，则，因此， 不是区间的“平缓函数”.（2）由（1）得：是上的“平缓函数，则， 所以 ，而，所以 而 所以 ，则 因此 .25. 解：（1）过C：上一点作斜率为的直线交C于另一点， 则， 于是有： 即： （2）记，则，
24、因为，因此数列是等比数列. （3）由（2）可知：，. 当n为偶数时有：=， . 当n为奇数时，前n-1项为偶数项，于是有：.综合可知原不等式得证. 26解： (1)设 (2)c2 b2 ，由已知可得2Snanan2，且an 1当n 2时，2 Sn -1an1，得(anan1)( anan11)0，anan1 或 anan1 1， 当n1时，2a1a1a12 a11，若anan1，则a21与an 1矛盾anan11， ann 要证不等式，只要证 ，即证 ，只要证 ，即证 考虑证不等式(x0) . (*) 令g(x)xln(1x)， h(x)ln(x1) (x0) ， ，x0， 0， 0，g(x)、h(x)在(0, )上都是增函数， g(x)g(0)0， h(x)h(0)0，x0时，令则(*)式成立， (3)由(2)知bn，则Tn在中，令n1，2，3，2008，并将各式相加，得，即T20091ln2009T2008 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m- 29 - 版权所有高考资源网
