1、2022 年高中毕业年级第三次质量预测数学（理科）评分参考一、选择题1 5.CDBDC6 10.CDCAB11 12.AB二、填空题13.1214.4315.54016.33三、解答题：17.（12 分）解：（1）当1n时，22111Sa，解得41 a-1 分当 n 2 时，由nnnSa221-得111221nnnSa-得，1112221nnnnnnSSaa，即11221 nnnaa-4 分当 n 2 时，122212221111nnnnnnnnnaaaa，数列nna2是以 2 为首项，1为公差的等差数列.-6 分（2）由（1）可知11122nnann，nnna21，12 nnnS-7 分14
2、32221232221nnnnnT，nT221543221232221nnnn，2143222222nnnnT，22212242221222nnnnnnnT，4212 nnnT-12分18.（12 分）解：（1）连接 AC，BD 相交于点O，连接OE，PB平面 ACE，OEPB-2 分又PD平面 ABCD，BDPD，即090PDB，32PB.在 Rt PDB 中，36cosPBBDPBD，在 Rt BEO 中,362coscosBEOBBEPBDEBO，332BE，334PE,即EBPE2，故2-6 分（2）连接 AC，BD 相交于点O，则OBOC，过O 作PDOF/交 PB 于点 F，PD平
3、面 ABCD，OF平面 ABCD.即OB，OC，OF 两两垂直.以O 为坐标原点，OB 的方向为 x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系xyzO，由题意可知，6 OCOA，2OB，2,0,2P，0,0,2B，0,6,0C，0,0,2D-8 分又2022，PB，262，PC，设平面 PBC 的法向量为1111,zyxn，即110,0,n PBn PC 即111112 220,2620,xzxyz令11 x，得2,33,11n，又200，PD,设平面 PCD 的法向量为2222,zyxn，220,0,nPDnPC 即222220,2620,zxyz令12 y，得0,1,32n.设二面角DPCB
4、的平面角为，则10102310332cos2121nnnn-11 分所以10103sin，即二面角DPCB的正弦值为 10103-12 分19.（12 分）解：（1）设该考生报考甲大学恰好有一门笔试科目优秀为事件 A，则 213412393P AC ；-3 分该考生报考乙大学恰好有一门笔试科目优秀为事件 B，则 2413252531653656531390P B.-6 分（2）该考生报考甲大学达到优秀科目的个数设为 X，根据题意可知，313,XB则1313E X ，该同学报考乙大学科目优秀的个数设为Y，随机变量Y 的可能取值为：0，1，2，3.355101,62nP Yn35235515132
5、111666305nP Ynnn，12 112(1)6565523126530nP Ynnn，1362152530nP Ynn，随机变量Y 的分布列：Y0123P12n13230n2 1130n15n-10 分 11322 1117300123230301530nnnmnE Y ，因为该考生更希望进入甲大学的面试，E YE X，则1303017n.所以 n 的范围为：30130 n-12 分20.（12 分）解：（1）由题意可知，1b，0,aA，0,aB，由41MBMA kk可得：4111aa，即42 a，又0a，所以2a.椭圆C 的方程为1422 yx-4 分（2）当直线OE 的斜率为0，直
6、线OF 的斜率不存在时，522 OFOE-5 分当直线OE 的斜率存在且斜率不为0 时，设直线OE 的方程为xky1，直线OF 的方程为xky2，设点 E 11,yx，F 22,yx，则22,44,ykxxy有041422xk.可得：1442121kx，1442222kx，设点Q 坐标为00,yx，即142020 yx.又圆Q 与直线OE、OF 相切，即5521200kykx，整理得：0542542000220ykyxkx.4154514154542020202021xxxykk-9 分222222222211221122222222112111222222121111111414414141
7、411615.41414141411414OEOFxyxykxkxkkkkkkkkkkkk综上：22OFOE为定值5.-12 分21.（12 分）解：（1）xf的定义域为，0，xaxxxaxxf2212，令022axx，当a810 时，即 a 81 时，xf在，0上递增，-2 分当081a时，即810 a时，022axx，解得481121ax，xf在4811,4811aa上单调递减，在48110a，4811a上单调递增-5 分（2）由（1）可知，xf存在两个极值点1x，2x，即810 a，1x，2x 为方程022axx的两个不等正实根，2121 xx，221axx.22221212121211
8、12221212121212121212lnlnlnlnlnlnlnln11.2xxxxaxxf xf xxxaxxxaxxxxxxxxxxxxxaaxxxx 要证1212142f xf xaxx成立，只需证1212lnln114,22xxaaxx即证1212lnln4xxxx，即证121212lnln2xxxxxx，即证1212122()lnlnxxxxxx，设021 xx，即证1121222(1)ln1xxxxxx-9 分令121 xxt，即证2(1)ln1ttt，设 2(1)ln1th ttt，22(1)01th tt t，th在，1上递增，01 hth，所以2(1)ln1ttt成立，即
9、121214.2f xf xaxx-12 分（二）选考题：共10分.请考生在 22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.选修44：坐标系与参数方程（10 分）解：（1）由题意可知：曲线1C 的方程为：1122 yx，曲线1C 的极坐标方程为sin2-2 分设点 P 的极坐标为00,，则0sin2 o，点Q 的极坐标为,，由OPOQ2得002,所以点Q 轨迹曲线2C 的极坐标方程为sin4-5 分（2）曲线3C 直角坐标方程为1222 yx，设点 M sin,cos2，曲线2C 的直角坐标方程为4222 yx，设圆心为2,0N，maxmax2.MQMN6sin4sin2sincos2222MN，当1sin时，3max MN，所以523maxMQ-10 分23.选修54：不等式选讲（10 分）解：（1）当2a时，41,1,232123,1,3241,3xxf xxxxxxx 1,416xxx 或21,3236xxx 或2,3416,xxx 即 x 或3283 x或32x，所以原不等式的解集为 83xx-5 分（2）41,1,3121,1,341,3xaxaf xxaxxaxaxa x xf的图象如图所示，aA,21，13,3aaB，aaC,412，所以 ABC 的面积为2414331212141213212aaaaaS.解得：2a-10 分
