1、透视数列高考热点，探求应对策略授课提示：对应学生用书第116页数列是一种特殊的函数，其考查的重点是数列的通项、数列的前n项和、参数的取值范围的探求、数列不等式的证明等，研究的数列主要是等比数列与等差数列数列的最值、周期性、单调性的探究，以及递推数列的相关综合题目，也是历年高考考查的热点（一）数列单调性及应用1与等差数列的单调性有关的问题例1已知数列an的前n项和为Sn，且满足：a11，an0，a4Sn4n1（nN），若不等式4n28n3（5m）2nan对任意的nN恒成立，则整数m的最大值为（）A3B4C5D6解析当n2时，两式相减得aa4an4，即aa4an4（an2）2，又an0，所以an1
2、an2（n2）对a4Sn4n1，令n1，可得a4a1419，所以a23，则a2a12，所以数列an是以1为首项，2为公差的等差数列，故an2n1因为4n28n3（2n1）（2n3），nN，2n10，所以不等式4n28n3（5m）2nan等价于5m记bn，则，当n3时，1，又b1，b2，b3，所以（bn）maxb3故5m，得m，所以整数m的最大值为4答案B将an的表达式代入不等式4n28n3（5m）2nan，约去公因式，从而简化了运算在求解bn的最大值时，通过作商与“1”比较大小判断数列的单调性，从而求得最大值2与等比数列的单调性有关的问题例2已知数列an满足：a11，an1（nN），若bn1（
3、n），b1，且数列bn是递增数列，则实数的取值范围是（）A（2，） B（3，）C（，2） D（，3）解析由an1知，1，即12，所以数列是首项为12，公比为2的等比数列，所以12n，所以bn1（n）2n，因为数列bn是递增数列，所以bn1bn（n）2n（n1）2n1（n1）2n10对一切正整数n恒成立，所以n1，因为nN，所以2答案C判断数列的单调性的方法函数法：构造函数，通过判断所构造函数的单调性，即可得出相应数列的单调性定义法：利用单调函数的定义判断数列的单调性作差法：对于数列中任意相邻的两项an1，an，通过作差an1an，判断其与0的大小，即可判断数列的单调性作商法：数列的各项非零且同
4、号（同正或同负），对于数列中任意相邻的两项an1，an，通过作商，判断其与1的大小，即可判断数列的单调性题组突破1已知数列an的首项为a1，bn是公比为的等比数列，且bn（nN），若不等式anan1对任意的nN恒成立，则a1的取值范围是（）A（2，2） B（2，0）C（0，2） D（2，）解析：bn（nN），an，an1an0，解得bn或0bn1若bn，则b1对任意的nN恒成立，显然不可能；若0bn1，则0b11对任意的nN恒成立，只需0b11，即01，解得a12答案：D2已知在等差数列an中，a1120，公差d4，若Snan（n2），其中Sn为该数列的前n项和，则n的最小值为（）A60 B6
5、2 C70 D72解析：由题意得an1204（n1）1244n，Sn120n（4）122n2n2由Snan，得122n2n21244n，即n263n620，解得n62或n1（舍去）所以n的最小值为62答案：B3（2021贵阳高三监测）在数列an中，a12n1（nN），且a11，若存在nN使得ann（n1）成立，即实数的最小值为_解析：依题意得，数列的前n项和为2n1，当n2时，（2n1）（2n11）2n1，且2111211，因此2n1（nN），记bn，则bn0，1，bn1bn，数列bn是递增数列，数列bn的最小项是b1依题意得，存在nN使得bn成立，即有b1，的最小值是答案：（二）数列中的新情
6、境问题例3已知an是各项均为正数的等比数列，且a1a23，a3a22，等差数列bn的前n项和为Sn，且b35，S416（1）求数列an，bn的通项公式；（2）如图，在平面直角坐标系中，有点P1（a1，0），P2（a2，0），Pn（an，0），Pn1（an1，0），Q1（a1，b1），Q2（a2，b2），Qn（an，bn），若记PnQnPn1的面积为cn，求数列cn的前n项和Tn解析（1）设数列an的公比为q，因为a1a23，a3a22，所以得3q25q20，又q0，所以q2，a11，则an2n1设数列bn的公差为d，因为b35，S416，所以解得则bn2n1（2）由（1）得PnPn1an1an
7、2n2n12n1，PnQnbn2n1，故cnSPnQnPn1（2n1）2n2，则Tnc1c2c3cn11325（2n1）2n2，2Tn112345（2n1）2n1，由得，Tn2（122n2）（2n1）2n1（2n1）2n1（32n）2n1，故Tn（2n3）2n1（nN）数列中新情境问题的求解关键：一是观察新情境的特征，如本题中的各个直角三角形的两直角边长的特征；二是会转化，如本题，把数列cn的通项公式的探求转化为直角三角形的两直角边长的探求；三是活用数列求和的方法，如本题，活用错位相减法，即可得数列cn的前n项和例4设数列an的前n项和为Sn，若为常数，则称数列an为“幸福数列”（1）等差数列
8、bn的首项为1，公差不为零，若bn为“幸福数列”，求bn的通项公式；（2）数列cn的各项都是正数，其前n项和为Sn，若ccccS对任意的nN都成立，试推断数列cn是否为“幸福数列”？并说明理由解析（1）设等差数列bn的公差为d（d0），前n项和为Tn，则k，因为b11，所以nn（n1）dk2n2n（2n1）d，即2（n1）d4k2k（2n1）d，整理得（4k1）dn（2k1）（2d）0因为对任意正整数n上式恒成立，则解得故数列bn的通项公式是bn2n1（2）数列cn不是“幸福数列”理由如下：由已知，当n1时，cSc因为c10，所以c11当n2时，ccccS，ccccS两式相减，得cSS（SnS
9、n1）（SnSn1）cn（SnSn1）因为cn0，所以cSnSn12Sncn显然c11适合上式，所以当n2时，c2Sn1cn1于是cc2（SnSn1）cncn12cncncn1cncn1因为cncn10，所以cncn11，所以数列cn是首项为1，公差为1的等差数列，所以cnn，Sn所以不为常数，故数列cn不是“幸福数列”遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使问题得以解决对点训练 “泥居壳屋细莫详，红螺行沙夜生光”是宋代诗人欧阳修对鹦鹉螺的描述假设一条螺旋线是用以下方法画成（如图）：ABC是边长为1的正三角形，曲线C
10、A1，A1A2，A2A3分别是以A，B，C为圆心，AC，BA1，CA2为半径画的弧，曲线CA1A2A3称为螺旋线，再以A为圆心，AA3为半径画弧如此画下去，则所得弧CA1，A1A2，A2A3，A28A29，A29A30的总长度为（）A310 B C58 D110解析：根据弧长公式知，弧CA1，A1A2，A2A3，An2An1，An1An的长度分别为，2，3，（n1），n，该数列是首项为，公差为的等差数列，所以该数列的前n项和Snn（n1），所以所得弧CA1，A1A2，A2A3，A28A29，A29A30的总长度为S3030（301）310答案：A（三）数列与其他知识交汇应用数列在中学教材中既有
11、相对独立性，又有较强的综合性，数列常与函数、向量、三角函数、解析几何、充分必要条件等知识相交汇，考查数列的基本运算与应用例5（2021宜昌月考）已知等差数列an的前n项和为Sn，若a1a2 020，且A，B，C三点共线（该直线不过点O），则S2 020等于（）A1 008 B1 010 C2 017 D2 019解析A，B，C三点共线，a1a2 0201，S2 0201 010答案B本题巧妙地将三点共线条件（xy且A，B，C三点共线xy1）与等差数列的求和公式结合，解决的关键是抓住整体思想求值题组突破1等差数列an中的a4，a2 016是函数f（x）x36x24x1的极值点，则loga1 01
12、0（）A B2C2 D解析：因为f（x）3x212x4，而a4和a2 016为函数f（x）x36x24x1的极值点，所以a4和a2 016为3x212x40的根，所以a4a2 0164，又a4，a1 010，a2 016成等差数列，所以2a1 010a4a2 016，即a1 0102，所以loga1 010答案：D2已知数列an为等差数列，数列bn为等比数列，且满足a2 016a2 017，b20b214，则tan （）A B C1 D1解析：依题意得a1a4 032a2 016a2 017，b19b22b20b214，所以tantan 答案：A3（2021淄博一中月考）已知函数f（x）axb
13、（a0，a1）的图像经过点P（1，3），Q（2，5）当nN时，an，记数列an的前n项和为Sn，当Sn时n的值为（）A4 B5 C6 D7解析：f（x）的图像过点P（1，3），Q（2，5），易知f（x）2x1，an，Sn，解得n4答案：A4（2021蚌埠一中月考）已知点A（1，0），B（0，1）和互不相同的点P1，P2，P3，Pn，满足anbn（nN），其中an，bn分别为等差数列和等比数列，O为坐标原点，若2（1）求P1的坐标；（2）试判断点P1，P2，P3，Pn，能否共线？并证明你的结论解析：（1）设P1（x，y），则（x1，y），（x，1y），由2得x12x，y22y，得x，y，所以P1（2）由anbn，得（an，bn）设等差数列an的公差为d，等比数列bn的公比为q，由题意知d0，q1不会同时成立若d0且q1，则ana1，则P1，P2，P3，Pn，都在直线x上；若q1且d0，则bnb1，则P1，P2，P3，Pn，都在直线y上；若d0且q1，假设P1，P2，P3，Pn，共线则（anan1，bnbn1）与（an1an，bn1bn）共线（n1，nN），即（R），则bn1bnbnbn1，得q1，与q1矛盾，故当d0且q1时，P1，P2，P3，Pn，不共线
