1、第三节用样本估计总体命题分析预测学科核心素养从近五年高考来看，主要考查利用频率分布直方图、茎叶图、样本的数字特征估计总体，各种题型都有，难度中档偏下本节主要通过用样本估计总体提升数据分析与数学运算及直观想象核心素养授课提示：对应学生用书第240页知识点一频率分布直方图、茎叶图1作频率分布直方图的步骤（1）求极差（即一组数据中最大值与最小值的差）；（2）决定组距与组数；（3）将数据分组；（4）列频率分布表；（5）画频率分布直方图2频率分布折线图和总体密度曲线（1）频率分布折线图：连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图（2）总体密度曲线：随着样本容量的增加，作图时所分的组数
2、增加，组距减小，相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线，统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线3茎叶图的优点茎叶图的优点是不但可以保留所有信息，而且可以随时记录，这对数据的记录和表示都能带来方便 温馨提醒 频率分布直方图与众数、中位数与平均数的关系（1）最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数的估计值（2）中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的（3）平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和1学校为了解学生在课外读物方面的支出情况，抽取了n位同学进行调查，结果显示这些同学的支出都在10，50（单位：元）之间，其频率分布直方图如图所
3、示，其中支出在10，30）（单位：元）内的同学有33人，则支出在40，50（单位：元）内的同学人数为（）A100B120C30 D300解析：支出10，30）的同学所占的频率为（0010023）10033，所以n100支出在40，50）的同学所占的频率为1（00100230037）1003，故支出在40，50）的同学人数是1000330答案：C2在如图所示的茎叶图所示的数据中，众数和中位数分别是（）A23，26 B31，26C24，30 D26，30解析：由茎叶图得到所有的数据从小到大排列依次为12，14，20，23，25，26，30，31，31，41，42，众数和中位数分别为31，26答案：
4、B3（2021衡水中学五调）某“跑团”为了解团队每月跑步的平均里程，收集并整理了2020年1月至2020年11月期间“跑团”每月跑步的平均里程（单位：千米）的数据，绘制了下面的折线图根据折线图，下列结论正确的是（）A月跑步平均里程的中位数为6月份对应的平均里程数B月跑步平均里程逐月增加C月跑步平均里程高峰期大致在8月和9月D1月至5月的月跑步平均里程相对于6月至11月，波动性更小，变化比较平稳解析：由折线图知，月跑步平均里程的中位数为5月份对应的平均里程数，A错；月跑步平均里程不是逐月增加的，B错；月跑步平均里程高峰期大致在9月和10月，C错答案：D知识点二样本的数字特征1众数、中位数、平均数
5、数字特征概念优点与缺点众数一组数据中重复出现次数最多的数众数通常用于描述变量的值出现次数最多的数但显然它对其他数据信息的忽视使它无法客观地反映总体特征中位数把一组数据按从小到大的顺序排列，处在中间位置的一个数据（或两个数据的平均数）中位数等分样本数据所占频率，它不受少数几个极端值的影响，这在某些情况下是优点，但它对极端值的不敏感有时也会成为缺点平均数如果有n个数据x1，x2，xn，那么这n个数的平均数平均数与每一个样本数据有关，可以反映出更多的关于样本数据全体的信息，但平均数受数据中的极端值的影响较大，使平均数在估计总体时可靠性降低2标准差、方差（1）标准差：样本数据到平均数的一种平均距离，一
6、般用s表示，s （2）方差：标准差的平方s2s2（x1）2（x2）2（xn）2，其中xi（i1，2，3，n）是样本数据，n是样本容量，是样本平均数 温馨提醒 1众数、中位数与平均数都是描述一组数据集中趋势的量，平均数是最重要的量2平均数反映的是样本个体的平均水平，众数和中位数则反映样本中个体的“重心”1已知样本数据3，5，7，4，6，则该样本标准差为（）A1 BC D2解析：数据3，5，7，4，6的平均数为（35746）5，方差为s2（35）2（55）2（75）2（45）2（65）22，标准差为答案：B2（易错题）10名工人某天生产同一零件，生产的零件数分别是15，17，14，10，15，17
7、，17，16，14，12，设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则有（）Aabc BbcaCcab Dcba解析：依题意，这些数据由小到大依次是10，12，14，14，15，15，16，17，17，17，因此aba答案：D授课提示：对应学生用书第242页题型一统计图表的应用1（2021广州四校联考）如图是2019年第一季度A、B、C、D、E五省GDP情况图，则下列叙述中不正确的是（）A2019年第一季度GDP增速由高到低排位第5的是A省B与2018年同期相比，各省2019年第一季度的GDP总量实现了增长C2018年同期C省的GDP总量不超过4 000亿元D2019年第一季度GDP总量和增速由高
8、到低排位均居同一位的省只有1个解析：由折线图可知A，B正确；4 0674（166%）3 816x）解析：（1）频率分布直方图如图：（2）x250135015450355025650248，即估计被采访的市民的平均年龄为48岁（3）y，故P（yx）P（48）P（a2）07题型三样本的数字特征及应用例（2019高考全国卷）某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了100个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y的频数分布表y的分组020，0）0，020）020，040）040，060）060，080）企业数22453147（1）分别估计这类企业中产值增长率不低于40
9、%的企业比例、产值负增长的企业比例；（2）求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）（精确到001）附：8602解析（1）根据产值增长率频数分布表得，所调查的100个企业中产值增长率不低于40%的企业频率为021产值负增长的企业频率为002用样本频率分布估计总体分布得这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例为21%，产值负增长的企业比例为2%（2）（01020102403053050140707）030，s2ni（yi）2（040）22（020）2240253020214040270029 6，s002017所以，这类企业产值增长率的平均数与标准差
10、的估计值分别为030，017利用样本的数字特征解决优化决策问题（1）平均数反映了数据取值的平均水平；标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小标准差、方差越大，数据的离散程度越大，越不稳定；标准差、方差越小，数据的离散程度越小，越稳定（2）用样本估计总体就是利用样本的数字特征来描述总体的数字特征题组突破1（2020高考全国卷）设一组样本数据x1，x2，xn的方差为001，则数据10x1，10x2，10xn的方差为（）A001B01C1 D10解析：10x1，10x2，10xn的方差为1020011答案：C2为比较甲、乙两名篮球运动员的近期竞技状态，选取这两名球员最近五场比赛的得分，制成如图
11、所示的茎叶图有下列结论：甲最近五场比赛得分的中位数高于乙最近五场比赛得分的中位数；甲最近五场比赛得分的平均数低于乙最近五场比赛得分的平均数；从最近五场比赛的得分看，乙比甲更稳定；从最近五场比赛的得分看，甲比乙更稳定其中所有正确结论的编号为（）ABC D解析：对于，甲得分的中位数为29，乙得分的中位数为30，错误；对于，甲得分的平均数为（2528293132）29，乙得分的平均数为（2829303132）30，正确；对于，甲得分的方差为（2529）2（2829）2（2929）2（3129）2（3229）2（161049）6，乙得分的方差为（2830）2（2930）2（3030）2（3130）2（
12、3230）2（41014）2，所以乙比甲更稳定，正确，错误所以正确结论的编号为答案：C用样本估计总体应用中的核心素养直观想象、数据分析用样本估计总体的创新问题例（2021惠州市一调）某大学生在开学季准备销售一种文具盒进行试创业，在一个开学季内，每售出1盒该产品获得的利润为30元，未售出的产品，每盒亏损10元该大学生通过查询资料得到开学季市场需求量的频率分布直方图，如图所示该大学生为这个开学季购进了160盒该产品，以x（单位：盒，100x200）表示这个开学季内的市场需求量，y（单位：元）表示这个开学季内经销该产品的利润（1）根据直方图估计这个开学季内市场需求量x的众数和平均数；（2）将y表示为
13、x的函数；（3）根据直方图估计利润y不少于4 000元的概率解析（1）由题中频率分布直方图得，这个开学季内市场需求量x的众数是150盒，需求量在100，120）内的频率为0005 02001，需求量在120，140）内的频率为0010 02002，需求量在140，160）内的频率为0015 02003，需求量在160，180）内的频率为0012 520025，需求量在180，200内的频率为0007 520015则平均数110011300215003170025190015153（盒）（2）因为每售出1盒该产品获得的利润为30元，未售出的产品，每盒亏损10元，所以当100x160时，y30x1
14、0（160x）40x1 600；当160x200时，y160304 800所以y（3）因为利润y不少于4 000元，所以当100x160时，由40x1 6004 000，解得140x160；当160x200时，y4 8004 000恒成立，所以140x200时，利润y不少于4 000元故由（1）知利润y不少于4 000元的概率P1010207用样本估计总体常与函数、不等式、概率求法等交汇考查，处理时需注意读图数据的准确性及交汇点的应用对点训练如图是依据某城市年龄在20岁到45岁的居民上网情况调查而绘制的频率分布直方图，现已知年龄在30，35），35，40），40，45的网民人数成递减的等差数列，则年龄在35，40）的网民出现的频率为（）A004B006C02 D03解析：由题意得，年龄在20，25）的网民出现的频率为0015005，25，30）的网民出现的频率为0075035，又30，35），35，40），40，45的网民人数成递减的等差数列，则其频率也成等差数列，又30，45的频率为100503506，则年龄在35，40）的网民出现的频率为06302答案：C
