1、四川省绵阳南山中学实验学校2020届高三数学五月月考试题 理（含解析）注意事项：1.本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答第卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.写在本试卷上无效.3.回答第卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第卷一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合， ，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】集合，所以.
2、故选C.2. 若复数的虚部小于0，且，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据可得，结合模长关系列方程，根据虚部小于0即可得解.【详解】由，得，因为，所以.又z的虚部小于0，所以，.故选：C【点睛】此题考查复数的概念辨析和模长计算，根据复数的概念和运算法则求解.3. 从5名学生中选出4名分别参加数学，物理，化学，生物四科竞赛，其中甲不能参加生物竞赛，则不同参赛方案种数为A. 48B. 72C. 90D. 96【答案】D【解析】因甲不参加生物竞赛，则安排甲参加另外3场比赛或甲学生不参加任何比赛当甲参加另外3场比赛时，共有=72种选择方案；当甲学生不参加任何比赛时，共有=24
3、种选择方案综上所述，所有参赛方案有72+24=96种故答案为96点睛：本题以选择学生参加比赛为载体，考查了分类计数原理、排列数与组合数公式等知识，属于基础题4. 如图是某学校研究性课题什么样的活动最能促进同学们进行垃圾分类向题的统计图（每个受访者都只能在问卷的5个活动中选择一个），以下结论错误的是（）A. 回答该问卷的总人数不可能是100个B. 回答该问卷的受访者中，选择“设置分类明确的垃圾桶”的人数最多C. 回答该问卷的受访者中，选择“学校团委会宣传”的人数最少D. 回答该问卷的受访者中，选择“公益广告”的人数比选择“学校要求”的少8个【答案】D【解析】【分析】先对图表数据分析处理，再结合简
4、单的合情推理逐一检验即可得解【详解】对于选项A，若回答该问卷的总人数不可能是100个，则选择的同学人数不为整数，故A正确，对于选项B，由统计图可知，选择“设置分类明确的垃圾桶”的人数最多，故B正确，对于选项C，由统计图可知，选择“学校团委会宣传”的人数最少，故C正确，对于选项D，由统计图可知，选择“公益广告”的人数比选择“学校要求”的少8%，故D错误，故选D【点睛】本题考查了对图表数据的分析处理能力及简单的合情推理，属中档题5. 已知非零向量满足，且，则与的夹角为A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】本题主要考查利用平面向量数量积计算向量长度、夹角与垂直问题，渗透了转化与化归、数学
5、计算等数学素养先由得出向量的数量积与其模的关系，再利用向量夹角公式即可计算出向量夹角【详解】因为，所以=0，所以，所以=，所以与的夹角为，故选B【点睛】对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为6. 若函数的一个极大值点为，则（ ）A. 0B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先将表达式结合二倍角公式和两角差的余弦公式化简，再采用待定系数法即可求解【详解】，因为的一个极大值点为，所以，解得，又，故，故选：D【点睛】本题考查三角函数化简求值，二倍角公式和两角差的余弦公式的使用，属于基础题7. 执行如图所示的程序框
6、图，则输出的（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】列举出循环的每一步，可得出该程序的输出结果.【详解】该程序的运行过程为：，判断框条件不成立，开始执行循环体；，继续循环；，继续循环；，继续循环；，跳出循环，输出.故选：D.【点睛】本题考查利用程序框图输出结果，解题的关键就是利用程序框图，列出循环的每一步，考查分析问题和解决问题的能力，属于基础题.8. 已知等比数列的首项为2，前3项和，则其公比等于（ ）A. 1B. -2C. 2D. 1或-2【答案】D【解析】【分析】利用首项和公比表示前三项的和，解方程可求公比.【详解】由题意知，解得或.故选：D.【点睛】本题主要考查等比数列
7、的和，利用等比数列的和求解公比时要注意公式的选择，否则会有漏解的情况，侧重考查数学运算的核心素养.9. 已知定义域为的函数是奇函数，则不等式解集为（ ）.A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据函数的奇偶性，求得，化简函数的解析式，结合指数函数的性质，得出函数函数单调递减函数，得到不等式，即可求解.【详解】由题意，定义域为的函数是奇函数，则,即，解得，即，根据指数函数的性质，可得函数单调递减函数，又因为，即，所以，解得 ，即不等式解集为.故选：A【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性的应用，以及利用函数的单调性求解不等式的解集，其中解答中熟练应用函数的基本性质是解答的关键，着重考查了
8、推理与运算能力.10. 已知点是双曲线的左右焦点，点在双曲线右支上，且，直线的斜率为，则双曲线的渐近线方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】取的中点，连接，由向量的加法法则，进而，即，又，所以，在中，由题意易知和，再根据双曲线的性质，即可求出结果.【详解】取的中点，连接，如下图所示：由向量的加法法则，又，所以，所以，又，所以，又直线的斜率为，所以在中，所以，又，所以，在中，所以，又，所以，所以，所以双曲线的渐近线方程为.故选：C.【点睛】本题主要考查了双曲线的定义和平面向量的加法的几何意义，属于中档题.11. 设，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析
9、】根据对数函数的单调性可得,根据不等式的性质可知 ;通过比较 与1 的大小关系,即可判断,从而可选出正确答案.【详解】解:,则 , 故选:A.【点睛】本题主要考查了对数的运算，对数函数的单调性.在比较对数的大小时,常常结合对数函数的单调性比较大小.对于,若 ,则(1)当 时,; (2)当 时,; (3)当 时,; 若 ,则(1)当 时,; (2)当 时,; (3)当 时,.12. 已知四面体ABCD，BCD为边长为的等边三角形，若顶点A在平面BCD的投影是BCD垂心，则四面体ABCD的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据题意，求得，得到，在直角中，可得，结合体积公
10、式，即可求解.【详解】由题意，BCD为边长为的等边三角形，因为顶点A在平面BCD的投影H是BCD垂心，所以H也为BCD中心，所以，所以，在直角中，可得，所以三棱锥的体积为.故选：B.【点睛】本题主要考查了空间几何体的结构特征，以及三棱锥的体积的计算，其中解答中熟记三棱锥的几何结构特征，利用体积公式准确计算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力.第卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题第21题为必考题，每个试题考生都必须做答.第22题第23题为选考题，考生根据要求做答.二.填空题：本大题共4小题，每小题5分.13. 的展开式中的系数为_.【答案】56【解析】【分析】把二项式可化为，求得展开式的
11、通项，求得的值，代入即可求解.【详解】由题意，二项式可化，可得二项式展开式的通项为，令，解得，所以展开式中的系数为.故答案为：.【点睛】本题主要考查了二项式展开式的指定项的求解，其中解答中熟记二项展开式的通项，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.14. 若数列为等差数列，且，则的值等于_【答案】24【解析】【分析】将已知条件和目标式用基本量进行转化，即可容易求得结果【详解】因为，所以，故答案为：24.【点睛】本题考查利用等差数列的基本量求值，属基础题.15. 已知正方体，若在存在点使直线两两所成的角都为，则_.【答案】【解析】【分析】取的中点，分别连接，得到是全等的三角形，从而得到
12、两两所成的角都相等，再结合余弦定理，即可求解.【详解】如图所示，取的中点，分别连接，可得，所以是全等的三角形，此时，此时两两所成的角都相等，设正方体的棱长为2，则，其中，在中，由余弦定理可得.故答案为：.【点睛】本题主要考查了直线与直线所成角的求解，以及正方体的结构特征，其中解答熟练应用正方体的集合结构特征，确定点的位置是解答的关键，着重考查了空间想象能力，以及运算与求解能力.16. 设抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线相交于两点，与抛物线的准线相交于点，则与的面积之比_【答案】【解析】设F到直线AB的距离为d，则设AB：代入中易得，从而可得.三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
13、.17. 新型冠状病毒肺炎正在全球蔓延，对世界经济影响严重，中国疫情防控，复工复学恢复经济成为各国的榜样，绵阳某商场在五一劳动节期间举行促销活动，根据市场调查，该商场决定从3种服装商品、2种家电、4种日用商品中，选出3种商品进行促销活动.（1）试求选出的3种商品至少有2种服装商品的概率；（2）商场对选的A商品采用的促销方案是有奖销售，即在该商品现价的基础上将价格提高300元，同时允许顾客有3次抽奖的机会，若中奖，则每次中奖都可获得一定数额的奖金，假设顾客每次抽奖时获奖与否是等概率的，请问：商场应将中奖奖金数额最高定为多少元，才能使促销方案对自己有利？【答案】（1）；（2）商场应将中奖奖金数额最
14、高定为200元.【解析】【分析】（1）选出3种商品进行促销活动，至少有2种服装商品的情况有两种，分类讨论即可确定其概率.（2）根据题意可知中奖次数符合二项分布，因而可求得中将次数的期望，即可求得最高的定价.【详解】（1）从3种服装商品、2种家电、4种日用商品中，选出3种商品进行促销活动，至少有2种服装商品的情况有两种：有2种服装商品：；有3种服装商品：;所以至少有2种服装商品的概率为.（2）顾客每次抽奖时获奖与否是等概率，则中奖概率为，因为有3次抽奖的机会，符合二项分布，因而，则中将次数的数学期望为，设每次奖金金额为，则，解得所以商场应将中奖奖金数额最高定为200元.【点睛】本题考查了超几何分
15、布的简单应用，二项分布概率性质及应用，属于基础题.18. 已知中，角，的对边分别为，.（1）若，求的值；（2）若的平分线交于点，且，求的面积的最小值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）解法一：根据条件、及正弦定理，化为角的等式，再由正弦差角公式，展开化简即可求得的值；解法二，根据余弦定理求得、的等量关系，即可再由余弦定理求得，结合同角三角函数关系式求得，进而求得的值.（2）根据及三角形面积公式，代入即可得等式，结合基本不等式即可求得的最小值，进而得的面积的最小值.【详解】（1）解法一：由及正弦定理知，则，则，得解法二：，则，.（2）的平分线交于点，则，则，由，得，当且仅当时等号成立，则
16、.【点睛】本题考查了正弦定理与余弦定理在解三角形中的应用，三角形面积公式及基本不等式的用法，属于基础题.19. 三棱柱的底面是等边三角形，的中点为，底面，与底面所成的角为，点在棱上，且.（1）求证：平面；（2）求二面角的平面角的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】(1)先证明和，即平面得证.(2)利用向量法求二面角的平面角的余弦值.【详解】（1）连接，底面，底面，且与底面所成的角为，即.在等边ABC中，易求得.在AOD中，由余弦定理，得，.又又，平面，又平面，又，平面.（2）如下图所示，以为原点，分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系，则故由（1）可知可得点的坐标为，平面的一个
17、法向量是.设平面的法向量，由得令则则，易知所求的二面角为钝二面角 ，二面角的平面角的余弦角值是.【点睛】(1)本题主要考查空间位置关系的证明，考查二面角的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)二面角常用的求法有几何法和向量法.20. 已知椭圆的离心率为，短轴长为2.（1）求椭圆的标准方程；（2）设直线与椭圆交于两点，为坐标原点，若，求证：点在定圆上.【答案】（1）椭圆的标准方程为 （2）证明见解析【解析】试题分析：（1）由已知可得， 椭圆为；（2）由，且 ，又 ，由得 点在定圆上. 试题解析：（1）设焦距为，由已知，椭圆的标准方程为. （2）设，联立得，依题意，化简得，
18、若，则， 即， 即，化简得，由得.点在定圆上.（没有求范围不扣分）【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆的位置关系、斜率公式等知识，涉及函数与方程思想、数形结合思想分类与整合、转化与化归等思想，并考查运算求解能力和逻辑推理能力，属于较难题型. 第一小题由题意由方程思想建立方程组求得标准方程为；（2）设而不求法求得，再利用韦达定理转化得 ，由得 点在定圆上. 21. .已知函数.（1）讨论在上的单调性；（2）设，若当，且时，求整数的最小值.【答案】（1）见解析（2）2【解析】【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论的范围，分为，三种情形，根据导数与0的关系得到单调性；（2）结合（1
19、）易得当时，当时，可得由，令，已知可化为在上恒成立，根据函数的单调性求出整数的最小值即可.【详解】（1），当时，因为，所以在上单调递减，当时，令，解得，令，解得；即在上单调递减，在上单调递增；当时，因为，等号仅在，时成立，所以在上单调递增，（2），当时，因为，由（1）知，所以（当时等号成立），所以.当时，因为，所以，所以，令，已知化为在上恒成立，因为，令，则，在上单调递减，又因为，所以存在使得，当时，在上单调递增；当时，在上单调递减；所以，因为，所以，所以，所以的最小整数值为.【点睛】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，属于难题.请考生在第22、23题中
20、任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.做答时请写清题号.22. 在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为为参数，圆C的标准方程为以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系求直线l和圆C的极坐标方程；若射线与l的交点为M，与圆C的交点为A，B，且点M恰好为线段AB的中点，求a的值【答案】（1）直线l的极坐标方程为，圆C的极坐标方程为；（2）.【解析】【分析】直线l的参数方程消去t可得直线l的普通方程，将，代入，能求出直线l的极坐标方程由圆的标准方程能求出圆C的极坐标方程设，联立，得，从而，进而把代入，求出a的值即可【详解】解：直线l的参数方程为为参数，在直线l的参数方程中消去t可得直
21、线l的普通方程为，将，代入以上方程中，得到直线l的极坐标方程为圆C的标准方程为，圆C的极坐标方程为在极坐标系中，由已知可设，联立，得，点M恰好为AB的中点，即把代入，得，解得【点睛】本题考查直线和圆的极坐标方程的求法，考查极坐标方程、直角坐标方程的互化等基础知识，是中档题23. 已知，.（1）求证：；（2）若，求证：.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由题意，可得，可得，解不等式可得证明；（2）由，所以，要证，只需证，利用基本不等式可得证明；【详解】证明：（1）由条件，有，所以，即，所以.（2）因为，所以，要证，只需证（*），只需证因为，所以，即（*）式成立，故原不等式成立.【点睛】本题是一道关于基本不等式应用的题目，熟练掌握基本不等式的性质进行证明是解题的关键.
