1、第六节空间向量及其运算命题分析预测学科核心素养从近五年的高考考查情况来看，空间向量及其运算是每年命题的热点，独立考查较少，多与空间角、距离的计算综合考查，难度中等本节通过空间向量的运算考查考生的直观想象与数学运算核心素养授课提示：对应学生用书第155页知识点一空间向量的有关概念、定理1空间向量的有关概念名称定义空间向量在空间中，具有大小和方向的量相等向量方向相同且模相等的向量共线向量表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合共面向量平行于同一平面的向量2空间向量中的有关定理（1）共线向量定理：对空间任意两个向量a，b（b0），ab存在R，使ab（2）共面向量定理：若两个向量a，b不共线，则
2、向量p与向量a，b共面存在唯一的有序实数对（x，y）使pxayb（3）空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z使得pxaybzc，其中a，b，c叫做空间的一个基底3两个向量的数量积（1）非零向量a，b的数量积ab|a|b|cosa，b（2）空间向量数量积的运算律结合律：（a）b（ab）；交换律：abba；分配律：a（bc）abac 温馨提醒 1三点共线：在平面中A，B，C三点共线xy（其中xy1），O为平面内任意一点2四点共面：在空间中P，A，B，C四点共面xyz（其中xyz1），O为空间中任意一点1如图，平行六面体ABCDA1B
3、1C1D1中，AC与BD的交点为点M，设a，b，c，则下列向量中与相等的向量是（）AabcBabcCabcDabc解析：（）abc答案：C2若a与b不共线，且mab，nab，pa，则（）Am，n，p共线Bm与p共线Cn与p共线 Dm，n，p共面解析：由于（ab）（ab）2a，即mn2p，即pmn，又m与n不共线，所以m，n，p共面答案：D3正四面体ABCD的棱长为2，E，F分别为BC，AD的中点，则EF的长为_解析：|2（）22222（）1222122（12cos 120021cos 120）2，所以|，所以EF的长为答案：知识点二空间向量的坐标表示设a（a1，a2，a3），b（b1，b2，b
4、3）向量表示坐标表示数量积aba1b1a2b2a3b3共线ab（b0）a1b1，a2b2，a3b3垂直ab0（a0，b0）a1b1a2b2a3b30模|a|夹角a，b（a0，b0）cosa，b 温馨提醒 设a（a1，a2，a3），b（b1，b2，b3），则ab（b0）这一形式不能随便写成只有在b与三个坐标轴都不平行时，才能这样写，这是因为：若b与坐标平面xOy平行，则b30，这样就无意义了1（易错题）在空间直角坐标系中，已知A（1，2，3），B（2，1，6），C（3，2，1），D（4，3，0），则直线AB与CD的位置关系是（）A垂直B平行C异面 D相交但不垂直解析：由题意得，（3，3，3），（
5、1，1，1），所以3，所以与共线，又AB与CD没有公共点，所以ABCD答案：B2如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N是A1B1的中点，则直线ON，AM的位置关系是_解析：以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系（图略），设DA2，则A（2，0，0），M（0，0，1），O（1，1，0），N（2，1，2），所以（2，0，1），（1，0，2），2020，所以AMON答案：垂直授课提示：对应学生用书第156页题型一空间向量的线性运算1已知三棱锥OABC，点M，N分别为AB，OC的中点，且a，b，c，用a，
6、b，c表示，则等于（）A（bca）B（abc）C（abc） D（cab）解析：（cab）答案：D2如图所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，设a，b，c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：（1）；（2）；（3）_解析：（1）因为P是C1D1的中点，所以aacacb（2）因为N是BC的中点，所以abababc（3）因为M是AA1的中点，所以aabc，又ca，所以abc答案：（1）acb（2）abc（3）abc用已知向量表示某一向量的三个关键点（1）用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键（2）要正确理解向量加法、减法与数
7、乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量（3）在立体几何中，三角形法则、平行四边形法则仍然成立题型二共线、共面向量定理的应用1已知a（1，0，2），b（6，21，2），若ab，则与的值可以是（）A2，B，C3，2 D2，2解析：因为ab，所以bka，即（6，21，2）k（1，0，2），所以解得或答案：A2已知a（2，1，3），b（1，2，3），c（7，6，），若a，b，c三向量共面，则（）A9 B9C3 D3解析：由题意知cxayb，即（7，6，）x（2，1，3）y（1，2，3），所以解得9答案：B3已知空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若
8、xyz（x，y，zR），则“x2，y3，z2”是“P，A，B，C四点共面”的（）A必要不充分条件 B充分不必要条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：当x2，y3，z2时，即232则23（）2（），即32，根据共面向量定理知，P，A，B，C四点共面；反之，当P，A，B，C四点共面时，根据共面向量定理，设mn（m，nR），即m（）n（），即（1mn）mn，即x1mn，ym，zn，这组数显然不止2，3，2，故“x2，y3，z2”是“P，A，B，C四点共面”的充分不必要条件答案：B应用共线（面）向量定理、证明点共线（面）的方法比较三点（P，A，B）共线空间四点（M，P，A，B）共面xy对空间任一
9、点O，t对空间任一点O，xy对空间任一点O，x（1x）对空间任一点O，xy（1xy）题型三空间向量数量积的应用例如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F，G分别是AB，AD，CD的中点，计算：（1）；（2）；（3）EG的长；（4）异面直线AG与CE所成角的余弦值解析设a，b，c则|a|b|c|1，a，bb，cc，a60，ca，a，bc（1）（a）a2ac（2）（ca）（bc）（bcabc2ac）（3）abacbabc|2a2b2c2abbcca，则|（4）bcba，cos，由于异面直线所成角的范围是（0，90，所以异面直线AG与CE所成角的余弦值为1求解与空间图形中
10、的有关向量数量积问题时，应先在图形中选定一组模和夹角已知的基向量，用基向量表示待求数量积中的向量，结合向量数量积的运算律求解2若待求向量是坐标形式，求数量积时，可直接利用空间向量的数量积的坐标公式求解对点训练如图所示，已知在平行六面体ABCDABCD中，AB4，AD3，AA5，BAD90，BAADAA60（1）求AC的长；（2）求与的夹角的余弦值解析：（1）因为，所以|2（）2|2|2|22（）4232522（01075）85所以|（2）设与的夹角为，因为四边形ABCD是矩形，所以|5所以由余弦定理可得cos 空间向量运算中的核心素养数学运算向量法在空间几何体中的应用例如图1，四边形ABCD与
11、四边形ADEF分别为正方形与等腰梯形，ADEF，AF，AD4，EF2，沿AD将四边形ADEF折起，使得平面ADEF平面ABCD，如图2，动点M在线段EF上，N，G分别为AB，BC的中点，设异面直线MN与AG所成的角为，则cos 的最大值为（）ABC D解析过点F作FOAD，垂足为O因为平面ADEF平面ABCD，平面ABCD平面ADEFAD，所以FO平面ABCD以O为坐标原点，OD，OF所在直线分别为y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，因为AF，AD4，EF2，四边形ADEF为等腰梯形，所以AO1，FO1，设M（0，y，1），0y2，易知O（0，0，0），A（0，1，0），N（2，1，0），G（4，1，0），（2，1y，1），（4，2，0），则|，|2，cos 设3yt，则有1t3，cos ，则当t3，即y0，即点M与F重合时，cos 取得最大值，为答案A空间几何中的夹角问题，常转化为向量的夹角问题，利用公式cosa，b求解对点训练如图所示，已知PA平面ABC，ABC120，PAABBC6，则PC等于_解析：因为，所以|2|2|2|22363636236cos 60144所以|12答案：12
