1、章末综合测评(一)(时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填在题中的横线上)1函数f(x)在点(1，2)处的切线方程为_【解析】f(x)，则f(1)1，故函数f(x)在点(1，2)处的切线方程为y(2)x1，即xy30.【答案】xy302若函数f(x)x3f(1)x2x，则f(1)的值为_【解析】f(x)x22f(1)x1，则f(1)122f(1)11，解得f(1)0.【答案】03函数f(x)的导数为_【解析】f(x).【答案】4f(x)2x33x2a的极大值为6，则a_.【解析】f(x)6x26x6x(x1)，令f(x)0，则x0或x1.f
2、(x)在(，0)上递增，在(0,1)上递减，在(1，)上递增，f(x)极大值f(0)a，a6.【答案】65若a2，则函数f(x)x3ax21在区间(0,2)恰好有_个零点【解析】f(x)x22axx(x2a)，令f(x)0得x10，x22a4，x(0,2)时，f(x)0，f(2)4a0，f(0)f(2)0，函数f(x)x3ax2bxc在区间2,2上单调递减，则4ab的最大值为_. 【导学号：01580029】【解析】f(x)x3ax2bxc，f(x)3x22axb，函数f(x)在区间2,2上单调递减，即即4ab12，4ab的最大值为12.【答案】129已知函数f(x)，g(x)aln x，aR
3、.若曲线yf(x)与曲线yg(x)相交，且在交点处有相同的切线，则a_，切线方程为_【解析】f(x)，g(x)(x0)，由已知得解得a，xe2，两条曲线交点的坐标为(e2，e)，切线的斜率为kf(e2)，切线方程为ye(xe2)，即x2eye20.【答案】x2eye2010(2016郑州联考)已知f(x)x22xf(2 015)2 015ln x，则f(2 015)_.【解析】由题意得f(x)x2f(2 015)，所以f(2 015)2 0152f(2 015)，即f(2 015)(2 0151)2 016.【答案】2 01611(2015河北石家庄模拟)若对于曲线f(x)exx(e为自然对数
4、的底数)的任意切线l1，总存在曲线g(x)ax2cos x的切线l2，使得l1l2，则实数a的取值范围为_【解析】易知函数f(x)exx的导数为f(x)ex1，设l1与曲线f(x)exx的切点为(x1，f(x1)，则l1的斜率k1ex11.易知函数g(x)ax2cos x的导数为g(x)a2sin x，设l2与曲线g(x)ax2cos x的切点为(x2，g(x2)，则l2的斜率k2a2sin x2.由题设可知k1k21，从而有(ex11)(a2sin x2)1，a2sin x2，故由题意知对任意实数x1，总存在x2使得上述等式成立，则函数y的值域是ya2sin x值域的子集，则(0,1)a2，
5、a2，则1a2.【答案】1,212已知函数f(x)mx3nx2的图象在点(1,2)处的切线恰好与直线3xy0平行，若f(x)在区间t，t1上单调递减，则实数t的取值范围是_【解析】f(x)3mx22nx，且f(x)在点(1,2)处的切线恰好与直线3xy0平行解之得因此f(x)3x26x.令f(x)0，得2x0.f(x)的单调减区间为2,0依题意t2且t10，2t1.【答案】2，113(2016浙江六校联考)函数yln xx2的图象与函数y3xb的图象有3个不同的交点，则实数b的取值范围是_【解析】函数yln xx2的图象与函数y3xb的图象有3个不同的交点，等价于ln xx23xb有3个不同的
6、解，等价于b3xln xx2有3个不同的解，对f(x)3xln xx2求导，得f(x)32x，易知函数在，(1，)上递减，在上递增，所以只要满足fbf(1)，所以ln 2b2.【答案】14当x2,1时，不等式ax3x24x30恒成立，则实数a的取值范围是_【解析】当x0时，30恒成立，aR.当00，h(x)递增，h(x)最大值h(1)6，a6.当2x0时，a.易知h(x)在2，1)上递减，在(1,0)上递增h(x)最小值h(1)2，a2.综上，6a2.【答案】6a2二、解答题(本大题共6小题，共90分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)15(本小题满分14分)已知函数f(x)ax2axb，
7、f(1)2，f(1)1.(1)求f(x)的解析式；(2)求f(x)在(1,2)处的切线方程【解】(1)f(x)2axa，由已知得解得f(x)x22x.(2)f(1)1，f(x)在(1,2)处切线的斜率为1，故所求切线方程为y2x1，即xy10.16(本小题满分14分)(2016北京高考)设函数f(x)xeaxbx，曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为y(e1)x4.(1)求a，b的值；(2)求f(x)的单调区间【解】(1)因为f(x)xeaxbx，所以f(x)(1x)eaxb.依题设，即解得(2)由(1)知f(x)xe2xex.由f(x)e2x(1xex1)及e2x0知，f(x)与1
8、xex1同号令g(x)1xex1，则g(x)1ex1.所以，当x(，1)时，g(x)0，g(x)在区间(1，)上单调递增故g(1)1是g(x)在区间(，)上的最小值，从而g(x)0，x(，)综上可知，f(x)0，x(，)，故f(x)的单调递增区间为(，)17(本小题满分14分)设函数f(x)a2ln xx2ax(a0)(1)求f(x)的单调区间；(2)求实数a，使e1f(x)e2对x1，e恒成立【解】(1)f(x)a2ln xx2ax，其中x0，f(x)2xa，由于a0，f(x)的增区间为(0，a)，减区间(a，)(2)由题意得，f(1)a1e1，即ae，由(1)知f(x)在1，e上单调递增，
9、要使e1f(x)e2对x1，e恒成立，只要解得ae.18(本小题满分16分)某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000元(为圆周率)(1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域；(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大【解】(1)因为蓄水池侧面的总成本为1002rh200rh元，底面的总成本为160r2元，所以蓄水池的总成本为(200rh160r2)元又据题意200rh16
10、0r212 000，所以h(3004r2)，从而V(r)r2h(300r4r3)因r0，又由h0可得0r5，故函数V(r)的定义域为(0,5)(2)因V(r)(300r4r3)，(0r0，故V(r)在(0,5)上为增函数；当r(5,5)时，V(r)0，故f(x)在(，2)上为增函数；当x(2,2)时，f(x)0，故f(x)在(2，)上为增函数由此可知f(x)在x12处取得极大值f(2)16c，f(x)在x22处取得极小值f(2)c16.由题设条件知16c28，得c12.此时f(3)9c21，f(3)9c3，f(2)16c4，因此f(x)在3,3上的最小值为f(2)4.20(本小题满分16分)(
11、2015全国卷)在直角坐标系xOy中，曲线C：y与直线l：ykxa(a0)交于M，N两点(1)当k0时，分别求C在点M和N处的切线方程；(2)y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有OPMOPN？说明理由. 【导学号：01580030】【解】(1)由题设可得M(2，a)，N(2，a)，或M(2，a)，N(2，a)又y，故y在x2处的导数值为，C在点(2，a)处的切线方程为ya(x2)，即xya0.y在x2处的导数值为，C在点(2，a)处的切线方程为ya(x2)，即xya0.故所求切线方程为xya0和xya0.(2)存在符合题意的点证明如下：设P(0，b)为符合题意的点，M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线PM，PN的斜率分别为k1，k2.将ykxa代入C的方程，得x24kx4a0.故x1x24k，x1x24a.从而k1k2.当ba时，有k1k20，则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补，故OPMOPN，所以点P(0，a)符合题意
