1、第1页 共 5 页 千阳中学 2021 届第十三适应性检测试题理科数学一，选择题（每题 5 分，共 60 分）1.已知集合250AxR xx=+，34BxRx=，则 AB=（）A.()5,0 B.()3,0 C.()0,4 D.()5,4 2若复数 z 满足 232zzi+=其中i 为虚数单位，则 z=（）A.12i+B.1 2i C.1 2i+D.1 2i 3设 xR，若“13x”是“2xa”的充分非必要条件，则实数a 的取值范围是（）A(1,3)B1,3)C(1,3 D1,3 4.我国古代数学家刘徽在九章算术注中提到了割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所
2、失矣。”割圆术可以视为将一个圆内接正n边形等分成n 个等腰三角形（如图示），当n 变得很大时，等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积。用割圆术的思想，可得sin3的近似值为（）A 30 B 60 C 90 D120 5函数的图像大致形状为（）A B C D 6总体由编号为 01,02，19,20 的 20 个个体组成，利用下面的随机数表选取 5 个个体，选取方法：从随机数表第 1 行的第 5 列和第 6 列数字开始由左到右一次选取两个数字，则选出来的第 4 个个体的编号为()7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198 3204 9234 4935 8200 3
3、623 4869 6938 7481 A.08 B07 C02 D01 2()(1)sin1xf xxe=+第 4 题图 第2页 共 5 页 7某会议有来自6个学校的代表参加，每个学校有3名代表会议要选出来自3个不同学校的3人构成主席团，不同的选取方法数为()A816 B720 C540 D120 8.音乐与数学有着密切的联系，我国春秋时期有个著名的“三分损益法”：以“宫”为基本音，“宫”经过一次“损”，频率变为原来的 32，得到“徵”；“徵”经过一次“益”，频率变为原来的 34，得到“商”；依次损益交替变化，获得了“宫、徵、商、羽、角”五个音阶据此可推得（）A“宫、商、角”的频率成等比数列
4、B“宫、徵、商”的频率成等比数列 C“商、羽、角”的频率成等比数列 D“徵、商、羽”的频率成等比数列 9.在中，若，则下列说法正确的是（）A是的外心 B是的内心 C是的重心 D是的垂心 10.已知圆22:16480C xyy+=与双曲线()2222:10,0yxEabab=的渐近线相切，则 E 的离心率为()A2 B 4 69 C 2 33 D2 11.设点()()1122,A x yB xy在不等式组表示的平面区域内运动，则 的最大值为（）A5 B4 C3 D2 12.已知函数()1()4xf xeaax=+，若()0()f xxR 恒成立，则满足条件的实数a 的个数为（）A3 B2 C1
5、D0 ABC=OA OBOB OC OC OA=OABCOABCOABCOABC10301xyxyy+21212()zxxyy=+第3页 共 5 页 二填空题（每题 5 分，共 20 分）13.某程序框图如图所示，若使输出的结果不大于 37，则输入的整数i的最大值为_ 14已知(),0,1a b，则函数()241f xaxbx=+在区间1，)上是增函数的概率为_ 15.唐朝的狩猎景象浮雕银杯如图 1 所示其浮雕临摹了国画、漆绘和墓室壁画，体现了古人的智慧与工艺它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体（假设内壁表面光滑，忽略杯壁厚度），如图 2 所示已知球的半径为 R，酒杯内壁表面积为21
6、43R，设酒杯上部分（圆柱）的体积为1V，下部分（半球）的体积为2V，则12VV _ 16如图是函数()sin()(0,0,|)f xAxA=+的部分图像，则下列说法正确的编号是_ 2=23=,06是函数()的一个对称中心 函数()f x 在区间4,5上是减函数 三解答题（17-21 每题 12 分，选做题满分 10 分）17.（12 分）在等差数列na中，3412aa+=，公差2d=，记数列21na 的前n 项和为nS （1）求nS；（2）设数列1nnnaS+的前n 项和为nT，若2a，5a，ma 成等比数列，求mT 18.（12 分）如图，已知等边ABC中，,E F 分别为,AB AC 边
7、的中点，M 为 EF 的中点，N 为 BC边上一点，且14CNBC=，将AEF沿 EF 折到A EF的位置，使平面 A EF 平面 EFCB.（1）求证：平面 A MN 平面 A BF；（2）求二面角 EA FB的余弦值.第 13 题图 第 15 题图 第 16 题图 第 18 题图 第4页 共 5 页 19.（12 分）某新兴科技公司为了确定新研发的产品下一季度的营销计划，需了解月宣传费 x（单位：万元）对月销售量 y（单位：千件）的影响，收集了 2020 年 3 月至 2020 年 8 月共 6 个月的月宣传费 x 和月销售量 y 的数据如表：月份 3 4 5 6 7 8 宣传费 x 5
8、6 7 8 9 10 月销售量 y 04 35 52 70 86 107 现分别用模型ybxa=+和模型mx nye+=对以上数据进行拟合，得到回归模型，并计算出模型的残差如表：（模型和模型的残差分别为1e 和2e，残差实际值 预报值）x 5 6 7 8 9 10 y 04 35 53 70 86 107 模型1e 06 054 028 012 024 01 模型2e 063 171 210 163 07 542（1）根据上表的残差数据，应选择哪个模型来拟合月宣传费 x 与月销售量 y 的关系较为合适，简要说明理由；（2）为了优化模型，将（1）中选择的模型残差绝对值最大所对应的一组数据（x，y
9、）剔除，根据剩余的 5 组数据，求该模型的回归方程，并预测月宣传费为 12 万元时，该公司的月销售量（剔除数据前的参考数据：7.5x=，5.9y=，61299.8iiix y=，621355iix=，lnzy=1.41z ，6173.10iiix y=，ln10 72 37，4 03456 49e）参考公式：1221niiiniix ynxybxnx=，aybx=第5页 共 5 页 20.（满分 12 分）已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=的左、右焦点分别为12FF、，点(0,2)M是椭圆的一个顶点，12FMF是等腰直角三角形（1）求椭圆C 的方程；（2）过点 M 分别作直线 MA、
10、MB 交椭圆于 A B、两点，设两直线 MA、MB 的斜率分别为12kk、，且128kk+=，探究：直线 AB 是否过定点，并说明理由 21.（满分 12 分）已知函数()2lnf xxxx=+（1）求函数的单调区间；（2）证明：当时，关于 x 的不等式恒成立；（3）若正实数满足，证明 选做题（任意选做一题，满分 10 分，如果多做，则按所做的第一部分给分）22.在平面直角坐标系 xoy 中，直线l 的参数方程为33,212xtyt=（t 为参数），以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2 3sin=（1）写出曲线C 的直角坐标方程；（2）已知直线l 与 x 轴的
11、交点为 P，与曲线C 的交点为 A，B，若 AB 的中点为 D，求|PD 的长 23.已知函数()22,f xxxa aR=.（1）当3a=时，解不等式()0 xf；（2）当)2,(x时，0)(xf恒成立，求a 的取值范围.第6页 共 5 页 高 2021 届第十三次适应性训练理科数学参考答案一选择题（每题 5 分，共计 60 分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C B A B A B C A D C B A 2【解析】设biaz+=，则ibiazz2332=+=+，故2,1=ba，则iz21=3.【解析】由2xa，解得22axa+，“13x”是“|2xa”的
12、充分而不必要条件，1,3(2,2)aa+，2123aa+，解得13a，实数a 的取值范围是(1,3)4.【解析】设圆的半径为 R，则2,SR=圆当120n=时，21sin3,2SR=等腰三角形 所以221120sin3,sin3260RR，故选：B 5.【解析】，函数为偶函数，故排除 C、D，当时，故排除 B，只有 A 符合 6【解析】从随机数表第 1 行的第 5 列和第 6 列数字开始由左到右一次选取两个数字开始向右读，第一个数为 65，不符合条件，第二个数为 72，不符合条件，第三个数为 08，符合条件，以下符合条件的数字依次为 02,14,07,01，故第 4 个数为 07.故选 B.7
13、【解析】第一步：从6个学校中选出3个学校，方法数有63=20；第二步，从选出的3个学校中各选取1个代表，方法数有3 3 327=；根据分步计数原理可知，总的方法数有20 27=540种，故答案为540 8.【解析】设“宫”的频率为a，由题意经过一次“损”，可得“徵”的频率是 32a；2()(1)sin1xf xxe=+222()(1)sin()(1)sin(1)sin()111xxxxefxxxxf xeee=+()f x2x=22(2)(1)sin201fe=+第7页 共 5 页 “徵”经过一次“益”，可得“商”的频率是，“商”经过一次“损”，可得“羽”的频率是；最后“羽”经过一次“益”，可
14、得“角”的频率是，由于，成等比数列，所以“宫、商、角”的频率成等比数列，故选 A 9.【解析】，同理由，得到，点是的三条高的交点 10.【解析】由2+2 16+48=0得2+(8)2=42，所以圆心(0，8)，半径=4，双曲线()2222:10,0yxEabab=的一条渐近线为0axby=，由题意得圆心到渐近线的距离22884bbdcab=+，所以12bc=，所以2232acbc=，所以2 33cea=，故答案为 2 33 11.【解析】因为，设，则作可行域，如图 平移直线l：，当直线l 过点 C(2，1)时，b 取最大值 5；当直线l 过点 D(0，1)时，b 取最小值 1，所以 z 的最大
15、值为 514，选 B 12.【解析】当时，()1004xf xe=，满足题意；当时，故不恒成立；当时，设，都是递增函数，要使恒成立，则，恒同号，所以，与轴交点重合，令，得，得，98 a2716 a8164 aa98 a8164 aOA OBOB OC=()OBOAOC=0OB CA=0OBCAOA OBOC OA=OABCOABC212122112()2(2)zxxyyxyxy=+=+2bxy=+maxminmaxzbb=2yxb=+0a=0a 0 xea01(,)4xa+140ax+()0()f xxR0a()xg xea=()14h xax=+()xg xea=1(4)h xax=+()0
16、()f xxR()xea14ax+()xg xea=1(4)h xax=+x()0 xg xea=lnxa=1(4)0h xax=+=14xa=x y O xy10 xy30 y1 C D 第8页 共 5 页 方程的解的个数，即，交点个数，设，则，由导数的应用可得在为减函数，在为增函数，则，即有 2 解，所以存在 2 个使得成立，综合得：满足条件的的个数是 3 个，故选 A 二填空题 13._5_ 14_ 14 _ 15_2_ 16_ 13.【解析】这是一个循环结构，循环的结果依次为：01021,1;123,2;SnSn=+=+=234327,3;7215,4;15231,5SnSnSn=+=
17、+=+=.所以i 的最大值为5.14【解析】函数()f x 在1，)上是增函数，由二次函数的单调性可知4b2a 2ba 1，即 a2b.由题意得 0a1，0b1，a2b，即图中阴影部分 函数()f x 在区间1，)上是增函数的概率为1211211 14.15.【解析】设酒杯上部分（圆柱）的高为，球的半径为，则酒杯下部分（半球）的表面积为，酒杯内壁表面积为，得圆柱侧面积为，酒杯上部分（圆柱）的表面积为，解得，酒杯下部分（半球）的体积，酒杯上部分（圆柱）的体积，所以 1ln4aa=lnyaa=14y=()lnaaa=()1lnaa=+()lnaaa=1(0,)e1(,)e+()min114ae=1
18、ln4aa=a()0()f xxRahR22R2143 R222148233RRR=228 3RhR=43hR=332142233VRR=2314433VRRR=133243322 RVVR=第9页 共 5 页 16.【解析】由题知，=2，函数()的最小正周期11521212T=，所以22T=，故正确；因为1111112sin 22sin212126f=+=+=，所以11262k+=+，k Z，解得423k=，k Z，又|，所以23=，故正确；函数()22sin 23fxx=+，因为22sin 22sin306633f=+=，所以,06不是函数()的一个对称中心，故错误；令23222232mx
19、m+，mZ，得51212mxmx+，mZ，当=1时，1371212x，因为4137,51212，所以函数()在区间4,5上是减函数，故正确，故选 三解答题 17.（12 分）【解析】（1），（2）若，成等比数列，则，即，因为，所以 18.（12 分）【解析】(1)由点,E F 分别是正三角形3412aa+=2d=112521012ada+=+=11a=21nan=212(21)143nann=2(143)22nnnSnn+=2a5ama225ma aa=23(21)9m=14m=11111()(21)(21)2 2121nnnaSnnnn+=+141111111114(1)(1)2335272
20、922929mTT=+=第10页 共 5 页 ABC的,AB AC 边的中点，所以 A EF是等边三角形 且/EFBC,又 M 是 EF 的中点，所以 A MEF,因为,A EFEFCB A MA EF面面面,所以,A MEFCB面面,又 BFEFCB 面,所以 A MBF又1,/,/4CNBCMFCNMNCF=,在正三角形 ABC 中，,BFCFBFMN,而,A MMNMBFA MN=面，又,BFA BFA MNA BF面面面(2)设等边三角形 ABC 的边长为 4，取 BC 之中点G，由（1）建立以,ME MG MA为,x y z 轴的如图示空间直角坐标系。则()()()()()1,0,0
21、,0,0,3,2,3,0,1,0,3,3,3,0FABFAFB=设平面 A BF的一个法向量为()()030,3,3,10330FA nxznx y znFB nxy=+=+=又平面 A EF的一个法向量为()0,1,0p=，所以 3 13cos,13n pn pnp=又因为二面角 EA FB是锐二面角，所以其余弦值为 3 1313 19.（12 分）【解析】（1）应选择模型，因为模型每组数据对应的残差绝对值都比模型的小，残差波动小，残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明拟合精度高（2）由（1）知，需剔除第一组数据，则剔除后的，得的回归方程为，则当时，7.5 6585x=5.9 60.47
22、5y=5280 x y=25320 x=51299.85 0.4297.8iiix y=52135525330iix=5152215297.82801.783303205iiiiix yx ybxx=7 1.78 87.24aybx=1.787.24yx=12x=1.78 127.2414.12y=AFGCNEBzMxy第11页 共 5 页 故月宣传费为 12 万元时，该公司的月销售量为 14.12 千件 20.（满分 12 分）【解析】（1）由点(0,2)M是椭圆的一个顶点，可知2b=，又12FMF是等腰直角三角形，可得2ab=，即2 2a=，所以28a=，24b=，所以椭圆的标准方程为22
23、184xy+=（2）若直线 AB 的斜率存在，设 AB 方程为 ykxm=+，依题意2m ，联立22184ykxmxy=+=，得222(1 2)4280kxkmxm+=，由已知0，设11(,)A x y，22(,)B x y，由韦达定理得122412kmxxk+=+，21222812mx xk=+，128kk+=Q，12221211212222yykxmkkkxmxxxx+=+=+12212121142(2)()2(2)2(2)828xxkmkmkmkmxxx xm+=+=+=+=，42kmkm=+，整理得122mk=，故直线 AB 方程为122ykxk=+，即122yk x=+，所以直线 A
24、B 过定点1,22；若直线 AB 的斜率不存在，设 AB 方程为0 xx=，设00(,)A x y，00(,)B xy，由已知得0000228yyxx+=，解得012x=，此时直线 AB 方程为12x=，过点1,22，综上，直线 AB 过定点1,22 21.（满分12分）【解析】(1)由()()2ln,0,f xxxx x=+，所以()()221,0,xxfxxx+=+由()20,210,fxxx 又()0,1xx+，所以()f x 的单调减区间为()1,+，单调增区间是()0,1 第12页 共 5 页 （2）证法 1：令()()()22111ln1122ag xf xxaxxaxa x=+=
25、+()()()21111axa xgxaxaxx+=+=，由()()112,a xxaagxx+=令()10,gxxa=，即()()10,0,xgxg xa时，单调递增()()1,0,xgxg xa+时，单调递减，故()g x 的最大值为()2111111ln11ln22gaaaaaaaa=+=，再令()1ln2h xaa=()()()12ln 20,0,4hh aa=+在上单调递减，即当2a 时，()0h a 即对任意正数 x 都有()0g x，所以关于 x 的不等式()2112af xxax+恒成立。证法 2：要证当2a 时，关于 x 的不等式()2112af xxax+恒成立，即证明()
26、2211ln10,0,022axx axxxxx=+所以()a在)2,+单调递增 所以()()22ln1axxx=+，所以只需证明()2ln10 xxxx=+恒成立 由()()()()212121,0,xxxxxxx+=+=+，所以()()10,0,2xxx单调递减，()()1,0,2xxx+单调递增()()()1111111 lnln16 1ln10242244xe=+=，由上所述，当2a 时，关于 x 的不等式()2112af xxax+恒成立（3）由，即，从而当2a 时，关于 x 的不等式()()()212121212lnxxxxxxx x+=第13页 共 5 页 令12tx x=，则由
27、得，可知在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以，所以，又，因此成立 另证：()()()()2121212121212ln11xxxxxxx xxxxx+=，即()()2121210 xxxx+解关于12xx+的不等式，即可得证。选做题（任意选做一题，满分 10 分，如果多做，则按所做的第一部分给分）22.【解析】（1）曲线C 的直角坐标方程为()2233xy+=（2）P 的坐标为(3,0)，将l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程得：2(33)30tt+=，设点 A，B，D 对应的参数分别为 1t，2t，3t，则 1233tt+=+，1 23t t=，|=PD12333|22ttt+=，所以|PD 的长为 332+23【解析】(1)当2x时，01 x，即1x，解得x；当223 x时，035 x，即35x，解得3523 x；当23x时，01x，即1x，解得231 x；综上所述，不等式的解集为351|xx.（2）当)2,(x时，()0 xf恒成立022axx|2|2axx恒成立 axx22或22xax恒成立32+ax或2 ax恒成立，当)2,(x时，23 xa或2+xa恒成立，解，a 不存在；解得：4a.综上知，4a.
