1、第五节指数与指数函数命题分析预测学科核心素养本节在高考中的考查热点有：（1）比较指数式的大小；（2）指数函数的图像与性质的应用；（3）以指数函数为载体，与其他函数、方程、不等式等知识的综合应用.以选择题和填空题为主，难度中等.本节通过指数运算、指数函数的图像及性质考查数形结合思想、分类讨论思想的运用和考生的逻辑推理、数学运算核心素养.授课提示：对应学生用书第26页知识点一根式与指数幂的运算1.根式的概念根式的概念符号表示备注如果xna，那么x叫做a的n次方根n1且nN当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数零的n次方根是零当n是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为
2、相反数（a0）负数没有偶次方根2.两个重要公式（1）（2）（）na（注意a必须使有意义）.3.有理数指数幂（1）幂的有关概念正分数指数幂：a（a0，m，nN，且n1）；负分数指数幂：a（a0，m，nN，且n1）；0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义.（2）有理数指数幂的性质arasars（a0，r，sQ）；（ar）sars（a0，r，sQ）；（ab）rarbr（a0，b0，rQ）. 温馨提醒 在进行指数幂的运算时，一般用分数指数幂的形式表示，并且结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数.易忽视字母的符号.1.（易错题）化简4ab的结果为（）A.B.C. D.6a
3、b解析：原式4ab6ab1.答案：C2.化简（x0，y0）_.解析：因为x0，y0，所以（16x8y4）（16）（x8）（y4）2x2|y|2x2y.答案：2x2y知识点二指数函数的图像与性质0a1图像性质定义域：R值域：（0，）当x0时，y1，即过定点（0，1）当x0时，0y1；当x1当x0时，y1；当x0时，0y0，a1）的图像和性质与a的取值有关，要特别注意区分a1或0a0，且a1）型函数的最值问题多用换元法，即令tax转化为yt2btc的最值问题，注意根据指数函数求t的范围.考法（三）指数函数性质的应用例3已知函数f（x）a|xb|（a0，且a1，bR）.（1）若f（x）为偶函数，求b
4、的值；（2）若f（x）在区间2，）上是增函数，试求a，b应满足的条件.解析（1）因为f（x）为偶函数，所以对任意的xR，都有f（x）f（x），即a|xb|a|xb|，|xb|xb|，解得b0.（2）记h（x）|xb|当a1时，f（x）在区间2，）上是增函数，即h（x）在区间2，）上是增函数，所以b2，b2；当0a1时，f（x）在区间2，）上是增函数，即h（x）在区间2，）上是减函数，但h（x）在区间b，）上是增函数，故不存在a，b的值，使f（x）在区间2，）上是增函数.所以f（x）在区间2，）上是增函数时，a，b应满足的条件为a1且b2.与指数函数有关的复合函数的单调性，要弄清复合函数由哪些基
5、本初等函数复合而成，要注意数形结合思想的运用.与指数有关的核心素养（一）数学抽象、数学运算指数运算的实际应用例1（2019高考全国卷）2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就.实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系.为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日L2点的轨道运行.L2点是平衡点，位于地月连线的延长线上.设地球质量为M1，月球质量为M2，地月距离为R，L2点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程：（Rr）.设.由于的值很小，因此在近似计算中33，则
6、r的近似值为（）A. RB. RC. R D. R解析由得rR，代入（Rr），整理得.又33，33，rRR.答案D高考题只是把物理竞赛题中个别背景与条件进行变更，难度相似.与传统的解方程问题相比，本题以学生熟悉的“嫦娥四号”为背景，看起来是物理问题，实则考查数学中的解方程，求近似值的内容.让学生感觉数学来源于生活，数学和物理不分家，考查了转化与化归能力，空间想象能力，以及运算求解能力，很好地考查了逻辑推理、直观想象、数学运算的核心素养.（二）创新应用指数函数图像与性质的综合应用例2已知函数f（x）e|x|，函数g（x）对任意的x1，m（m1），都有f（x2）g（x），则m的取值范围是（）A.（
7、1，2ln 2）B.C.（ln 2，2 D.解析作出函数y1e|x2|和yg（x）的图像（图略），可知当x1时，y1g（1），当x4时，y1e2g（4）e4，当x4时，由ex24e5x，得e2x74，即2x7ln 4，解得xln 2.因为m1，所以1mln 2.答案D处理指数函数图像与性质的综合应用问题：一是要强化数形结合思想的运用，注意逻辑推理与数学运算能力.二是要强化分类讨论思想与等价转化思想的应用.题组突破1.（2020高考全国卷）Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I（t）（t的单位：天）的Logistic模
8、型：I（t），其中K为最大确诊病例数.当I（t*）0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则t*约为（ln 193）（）A.60 B.63C.66 D.69解析：因为I（t），所以当I（t*）0.95K时，0.95K0.951e0.23（t*53）1e0.23（t*53）190.23（t*53）ln 19t*535366.答案：C2.（2021濮阳模拟）若“ma”是“函数f（x）m的图像不过第三象限”的必要不充分条件，则实数a能取的最大整数为（）A.2 B.1C.0 D.1解析：因为f（0）m，且函数f（x）的图像不过第三象限，所以m0，即m，因为“ma”是“m”的必要不充分条件，所以a，则实数a能取的最大整数为1.答案：B
