1、柳州市2023届新高三摸底考试理科数学(考试时间 120分钟满分150分)注意:1答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上2所有答案请在答题卡上作答,在本试卷和草稿纸上作答无效答题前请仔细阅读答题卡上的“注意事项”,按照“注意事项”的规定答题3做选择题时,如需改动,请用橡皮将原选答案擦干净,再选涂其他答案第I卷(选择题,共60分)一、选择题:(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的)1. 已知集合,则()AB. C. D. 2. 设,若复数的虚部与复数的虚部相等,则()A. B. C. D. 3. 已知向量,夹角为,且,则()A
2、1B. C. 2D. 14. 执行如图所示的程序框图,输出的s值为()A. 2B. C. D. 5. 若,则()A. B. C. D. 6. 若,则()A. B. C. D. 7. 设变量x,y满足约束条件,则目标函数的最小值为()A. 2B. 3C. 2D. 08. 已知直线与圆相交于A,B两点,则k()A. B. C. D. 9. 今年中国空间站将进入到另一个全新的阶段正式建造阶段,首批参加中国空间站建造的6名航天员,将会分别搭乘着神舟十四号和神舟十五号载人飞船,接连去往中国空间站,并且在上面“会师”.中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱. 假设中国空间站要安排甲,乙
3、,丙,丁等6名航天员开展实验,其中天和核心舱安排3人,问天实验舱安排2人,梦天实验舱安排1人.若甲、乙两人不能同时在一个舱内做实验,则不同的安排方案共有()A. 44种B. 48种C. 60种D. 50种10. 若直线是曲线的一条对称轴,且函数在区间0,上不单调,则的最小值为()A. 9B. 7C. 11D. 311. 已知函数为上的偶函数,当时,函数,若关于的方程有且仅有6个不同的实数根,则实数a的取值范围是()A. B. C. D. 12. 如图1所示,双曲线具有光学性质;从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射,其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点若双曲线E:的左、右焦点分别为,从
4、发出的光线经过图2中的A,B两点反射后,分别经过点C和D,且,则E的离心率为()A. B. C. D. 第II卷(非选择题,共90分)二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题卡上)13. 已知直线是曲线的一条切线,则b_14. 展开式中的系数为_(用数字作答)15. 已知A(3,1),B(3,0),P是椭圆上的一点,则的最大值为_16. 在正方体中,点E为线段上动点,现有下面四个命题:直线DE与直线AC所成角为定值;点E到直线AB的距离为定值;三棱锥的体积为定值;三棱锥外接球的体积为定值其中所有真命题的序号是_三、解答题(本大题共6小题,共70分解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤,
5、并将答案写在答案卡相应题号的空白处)17. 在锐角ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,已知(1)求角A的大小;(2)若,求ABC的面积18. 已知数列满足,(1)证明是等比数列,并求的通项公式;(2)求数列的前n项和19. 年北京冬奥会的申办成功与“亿人上冰雪”口号的提出,将冰雪这个冷项目迅速炒“热”北京某综合大学计划在一年级开设冰球课程,为了解学生对冰球运动的兴趣,随机从该校一年级学生中抽取了人进行调查,其中女生中对冰球运动有兴趣的占,而男生有人表示对冰球运动没有兴趣(1)完成列联表,并回答能否有的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”?有兴趣没兴趣合计男女合计(2)先从样本对冰
6、球有兴趣的学生中按分层抽样的方法取出名学生,再从这人中随机抽取人,记抽取的人中有名男生,求的分布列和期望20. 如图,在三棱锥中,O为AC的中点(1)证明:PO平面ABC;(2)若点M在棱BC上,且PM与面ABC所成角的正切值为,求二面角的平面角的余弦值21. 已知函数(1)讨论当时,f(x)单调性(2)证明:22. 已知平面上动点Q(x,y)到F(0,1)的距离比Q(x,y)到直线的距离小1,记动点Q(x,y)的轨迹为曲线C(1)求曲线C的方程(2)设点P的坐标为(0,1),过点P作曲线C的切线,切点为A,若过点P的直线m与曲线C交于M,N两点,证明:1B2【答案】D3【答案】A4【答案】C
7、5【答案】A6【答案】B7【答案】C8【答案】B9【答案】A10【答案】C11【答案】B12【答案】B13【答案】214【答案】15【答案】916【答案】17【答案】(1)(2)【小问1详解】由已知及正弦定理知:因为C为锐角,则,所以因为A为锐角,则【小问2详解】由余弦定理,则,即即,因为,则所以ABC的面积18【答案】(1)证明见解析;(2)【小问1详解】由题意可得:所以是首项为2,公比为2的等比数列则,即因此的通项公式为【小问2详解】由(1)知,令则所以综上19【答案】(1)填表见解析,有的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”(2)分布列见解析,期望为【小问1详解】解:(1)由题意可知,
8、样本中女生人数为,样本中,对冰球运动有兴趣的女生人数为,根据已知数据得到如下列联表:有兴趣没兴趣合计男女合计根据列联表中的数据,得到,所以,有的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”【小问2详解】解:由题意得,按分层抽样方法抽取出来的人中,有个男生对冰球感兴趣,有个女生对冰球感兴趣,则的可能取值为、,所以的分布列如下表所示:所以,的期望为20【答案】(1)证明见解析(2)【小问1详解】证明:连接OB法一:,即ABC是直角三角形,又O为AC的中点,又,OB、AC平面ABCPO平面ABC法二:连接,O为AC的中点因为,OB、AC平面ABCPO平面ABC【小问2详解】由(1)知,PO面ABCOM为P
9、M在面ABC上的射影,PMO为PM与面ABC所成角,在OMC中由正弦定理可得,M为BC的中点法一:作MEAC于E,E为OC的中点,作交PA于F,连MFMFPAMFE即为所求二面角的平面角,法二:分别以OB,OC,OP为x轴,y轴,z轴建立直角坐标系M(,0)记为面AMP的法向量则面APC的法向量易知所成角为锐角记为21(1)解:由题意可知对于二次函数当时,恒成立,f(x)在上单调递减;当时,二次函数有2个大于零的零点,分别是,当,f(x)在单调递增;当,f(x)在和单调递减综上:当时,f(x)在(0,)单调递减当时f(x)在单调递增;单调递减(2)证明:要证,即证(方法一)设,则,在(0,)上为增函数,因为,所以在(,1)上存在唯一的零点m,且,即所以h(x)在(0,m)上单调递减,在上单调递增,所以,因为,所以等号不成立,所,所以,从而原不等式得证(方法二)不妨设,则,当时,当时,因此恒成立,则恒成立,则恒成立,即又,所以等号不成立,即,从而不等式得证22【小问1详解】Q(x,y),由题意,得,当时,平方可得,当时,平方可得,由可知,不合题意,舍去.综上可得,所以Q的轨迹方程C为【小问2详解】不妨设,因为,所以,从而直线PA的斜率为,解得,即A(2,1),又F(0,1),所以轴要使,只需设直线m的方程为,代入并整理,得首先,解得或其次,设,则,故.此时直线m的斜率的取值范围为