1、广东省大埔县虎山中学2019-2020学年高二数学下学期期中试题（含解析）参考公式：其中，.，其中参考数据：P（）0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.635787910.828一、选择题（每小题5分，共60分，每小题只有一个正确答案）1.设，则复数（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析】根据复数的运算法则，求得，再结合共轭复数的概念，即可求解【详解】由题意，可得复数，所以故选：A【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数的共轭复数的概念及应用，其中解答中熟记复数的运算法则，准确运算是解答的关键，着重考查了运算能力2.设、是两个
2、不同平面，m、n是两条不同的直线，下列说法正确的是（ ）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】D【解析】【分析】根据线面和面面有关定理对选项逐一分析，确定错误选项，对正确选项进行证明.【详解】对于A选项，由于直线可能含于平面，故A选项错误.对于B选项，由于直线可能含于平面，故B选项错误.对于C选项，可能相交，故C选项错误.对于D选项，由于，所以；由于，所以.所以D选项正确.故选：D【点睛】本小题主要考查空间线面、面面有关命题真假性的判断，属于基础题.3.独立性检验中，假设:运动员受伤与不做热身运动没有关系.在上述假设成立的情况下，计算得的观测值.下列结论正确的是A. 在犯错误
3、的概率不超过0.01的前提下，认为运动员受伤与不做热身运动有关B. 在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为运动员受伤与不做热身运动无关C. 在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为运动员受伤与不做热身运动有关D. 在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为运动员受伤与不做热身运动无关【答案】A【解析】【分析】先找到的临界值，根据临界值表找到犯错误的概率，即对“运动员受伤与不做热身运动没有关系”可下结论【详解】，因此，在犯错误的概率不超过的前提下，认为运动员受伤与不做热身运动有关，故选A【点睛】本题考查独立性检验，根据临界值表找出犯错误的概率是解这类问题的关键，考查运算求解能力，属于基
4、础题4.我省5名医学专家驰援湖北武汉抗击新冠肺炎疫情现把专家全部分配到A，B，C三个集中医疗点，每个医疗点至少要分配1人，其中甲专家不去A医疗点，则不同分配种数为（ ）A. 116B. 100C. 124D. 90【答案】B【解析】【分析】完成这件事情可分2步进行：第一步将5名医学专家分为3组；第二步将分好的3组分别派到三个医疗点，由分步计数原理计算即可得到答案详解】根据已知条件，完成这件事情可分2步进行：第一步：将5名医学专家分为3组若分为3,1,1的三组，有种分组方法；若分为2,2,1的三组，有种分组方法，故有种分组方法第二步：将分好的三组分别派到三个医疗点，甲专家不去医疗点，可分配到医疗
5、点中的一个，有种分配方法，再将剩余的2组分配到其余的2个医疗点，有种分配方法，则有种分配方法根据分步计数原理，共有种分配方法故选：B【点睛】本题主要考查排列、组合的应用，同时考查分步计数原理，属于基础题5.某学校为增加学生的阅读兴趣，特举办了“书友会”活动，最终通过评比选出6位“小书迷”进行合影留念，6人站成一排，其中甲只能在两边，丙和丁必须相邻，则6个人不同的排列方法共（ ）A. 144种B. 96种C. 48种D. 34种【答案】B【解析】【分析】先安排丙丁相邻，再将丙丁作为一个整体和另外三人一起全排列，最后将甲安排在两侧即可.【详解】先将甲排除在外，丙丁必须相邻，有种排法，然后甲排在两侧
6、，有2种排法，因此共有种排法故选：B.【点睛】本题考查了排列问题的简单应用，对元素位置有要求的排列问题解法，属于基础题.6.已知随机变量的分布列为，则等于()A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由1，求出a的值，P（2X4）P（X3）+P（X4），代入即可【详解】依题意1，解得a5所以P（2X4）P（X3）+P（X4）故选B【点睛】本题考查了离散型随机变量的概率分布列及其性质，属于基础题7.将函数的图象上所有的点向右平移个单位长度，得到函数的图象若函数的部分图象如图所示，则函数的解析式为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由图可知，根据公式可求出，结合即可求出
7、函数，再根据平移法则即可得出结论【详解】解：由图知，解得，又，又，故，由题知，故选：C【点睛】本题主要考查三角函数的性质，考查学生的运算求解能力，属于基础题8.已知等式成立，则（ ）A. 0B. 5C. 7D. 13【答案】D【解析】【分析】根据等式和特征和所求代数式的值的特征用特殊值法进行求解即可.【详解】由可知：令，得；令，得；令，得，得，而，所以.故选：D【点睛】本题考查了二项式定理的应用，考查了特殊值代入法，考查了数学运算能力.9.如图所示，将四棱锥S-ABCD的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有5种色可供使用，则不同的染色方法种数为（ ）A. 240B. 36
8、0C. 420D. 960【答案】C【解析】【分析】可分为两大步进行，先将四棱锥一侧面三顶点染色，然后再分类考虑另外两顶点的染色数，用分步乘法原理即可得出结论.【详解】由题设，四棱锥S-ABCD的顶点S、A、B所染的颜色互不相同，它们共有种染色方法.设5种颜色为1，2，3，4，5，当S、A、B染好时，不妨设其颜色分别为1、2、3，若C染2，则D可染3或4或5，有3种染法；若C染4，则D可染3或5，有2种染法，若C染5，则D可染3或4，有2种染法.可见，当S、A、B已染好时，C、D还有7种染法，故不同的染色方法有（种）.故选：C【点睛】本题考查分类加法原理、分步乘法原理的综合应用，考查学生的分类
9、讨论的思想、逻辑推理能力，是一道中档题.10.甲、乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制，甲在每局比赛中获胜的概率均为，且各局比赛结果相互独立.则在甲获得冠军的情况下，比赛进行了三局的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】记事件甲获得冠军，事件比赛进行三局，计算出事件的概率和事件的概率，然后由条件概率公式可得所求事件的概率为.【详解】记事件甲获得冠军，事件比赛进行三局，事件甲获得冠军，且比赛进行了三局，则第三局甲胜，前三局甲胜了两局，由独立事件的概率乘法公式得，对于事件，甲获得冠军，包含两种情况：前两局甲胜和事件，故选A.【点睛】本题考查利用条件概率公式计
10、算事件的概率，解题时要理解所求事件的之间的关系，确定两事件之间的相对关系，并利用条件概率公式进行计算，考查运算求解能力，属于中等题.11.下列说法中正确的是（ ）设随机变量X服从二项分布，则已知随机变量X服从正态分布且，则小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件“4个人去的景点互不相同”，事件“小赵独自去一个景点”，则；.A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据题意条件，利用二项分布、正态分布、条件概率、期望与方程的定义与性质等对每一项进行逐项分析.【详解】解：命题：设随机变量X服从二项分布，则，正确；命题：服从正态分布，正态曲线的对称轴是，正确；命题：设事
11、件“4个人去的景点不相同”，事件“小赵独自去一个景点”，则，所以，正确；命题：正确，错误，应该为，故不正确.故选：A【点睛】本题考查了二项分布、正态分布、条件概率、期望与方程的定义与性质等；若命题正确，则应能给出证明；若错误，则应能给出反例.12.已知函数 ，函数g（x）f（x）m有两个零点，则实数m的取值范围为（）A. （， ）B. （0， ）C. （ ，4D. （， ）4，+）【答案】B【解析】【分析】将函数g（x）f（x）m有两个零点，转化为函数的图象和直线有两个交点，画出函数的图象，上下移动直线，可以发现其有两个交点时，对应的范围，从而求得结果.【详解】根据题中所给的函数解析式，画出函
12、数图象，如图所示：且，函数g（x）f（x）m有两个零点，相当于与函数图象有两个交点，由图可知，故选B.【点睛】该题考查的是有关应用函数零点个数求参数的取值范围的问题，涉及到的知识点有将零点问题转化为图象交点个数问题来解决，需要注意的是正确画出函数的图象是解题的关键.二、填空题（每题5分，共20分）13.的展开式中的系数为_.（用数字填写答案）【答案】【解析】试题分析：由题意，展开式通项为，当时，；当时，故的展开式中项为，系数为【考点定位】二项式定理14.已知复数在复平面内对应的点位于第三象限，则实数m的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】复数在复平面内对应的点位于第三象限，可得，解得即可【详
13、解】解：复数在复平面内对应的点位于第三象限，解得实数的取值范围是故答案为：【点睛】本题考查了复数的几何意义，属于基础题15.某设备的使用年限与所支出的维修费用的统计数据如下表：使用年限（单位：年）维修费用（单位：万元）根据上表可得回归直线方程为，据此模型预测，若使用年限为年，估计维修费约为_万元【答案】【解析】【详解】，则中心点为，代入回归直线方程可得，.当时，（万元），即估计使用14年时，维修费用是18万元.故答案为：18.16.如图，在正四棱柱中，底面边长为2，直线与平面所成角的正弦值为，则正四棱柱的高为_【答案】4【解析】【分析】以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系,
14、 设，求出平面的一个法向量，则，则可以得到答案.【详解】解：以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，故，设平面的一个法向量为，则，可取，故，又直线与平面所成角的正弦值为，解得故答案为：4【点睛】本题考查根据线面角，利用向量法求柱体的高，属于中档题.三、解答题17.内角的对边分别为，已知.（1）求；（2）若，求的面积.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）应用正弦的二倍角公式结合正弦定理可得，从而得（2）用余弦定理求得，再由三角形面积公式可得三角形面积【详解】（1）因为，由正弦定理，因为，所以.因为，所以.（2）因为，由余弦定理得，解得或，均适合题.当
15、时，的面积为.当时，的面积为.【点睛】本题考查二倍角公式，正弦定理，余弦定理，考查三角形面积公式三角形中可用公式很多，关键是确定先用哪个公式，再用哪个公式，象本题第（2）小题选用余弦定理求出，然后可直接求出三角形面积，解法简捷18.某学校实行自主招生，参加自主招生的学生从8个试题中随机挑选出4个进行作答，至少答对3个才能通过初试已知甲、乙两人参加初试，在这8个试题中甲能答对6个，乙能答对每个试题的概率为，且甲、乙两人是否答对每个试题互不影响.（1）试通过概率计算，分析甲、乙两人谁通过自主招生初试的可能性更大；（2）若答对一题得5分，答错或不答得0分，记乙答题的得分为，求的分布列及数学期望和方差
16、.【答案】（1）甲通过自主招生初试的可能性更大.（2）见解析，.【解析】【分析】（1）分别利用超几何概型和二项分布计算甲、乙通过自主招生初试的概率即可；（2）乙答对题的个数服从二项分布，利用二项分布的公式，计算概率，再利用，即得解.【详解】解：（1）参加自主招生的学生从8个试题中随机挑选出4个进行作答，至少答对3个才能通过初试，在这8个试题中甲能答对6个，甲通过自主招生初试的概率参加自主招生的学生从8个试题中随机挑选出4个进行作答，至少答对3个才能通过初试.在这8个试题中乙能答对每个试题的概率为，乙通过自主招生初试的概率，甲通过自主招生初试的可能性更大. （2）根据题意，乙答对题的个数的可能取
17、值为0，1，2，3，4. 且的概率分布列为：05101520 .【点睛】本题考查了超几何分布和二项分布的概率和分布列，考查了学生实际应用，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.19.如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上除A，B外的一个动点，DC垂直于半圆O所在的平面，DCEB，DCEB1，AB4.（1）证明：平面ADE平面ACD；（2）当C点为半圆的中点时，求二面角DAEB的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】分析】（1）由BCAC，BCCD得BC平面ACD，证明四边形DCBE是平行四边形得DEBC，故而DE平面ACD，从而得证面面垂直；（2）建立空间坐标系，求出两半平面的法向量，
18、计算法向量的夹角得出二面角的大小.【详解】（1）证明：AB是圆O的直径，ACBC，DC平面ABC，BC平面ABC，DCBC，又DCACC，BC平面ACD，DCEB，DCEB，四边形DCBE是平行四边形，DEBC，DE平面ACD，又DE平面ADE，平面ACD平面ADE.（2）当C点为半圆的中点时，ACBC2，以C为原点，以CA，CB，CD为坐标轴建立空间坐标系如图所示：则D（0，0，1），E（0，2，1），A（2，0，0），B（0，2，0），（2，2，0），（0，0，1），（0，2，0），（2，0，1），设平面DAE的法向量为（x1，y1，z1），平面ABE的法向量为（x2，y2，z2），则，即
19、，令x11得（1，0，2），令x21得（1，1，0）.cos.二面角DAEB是钝二面角，二面角DAEB的余弦值为.【点睛】本题考查了面面垂直的判定，空间向量与二面角的计算，属于中档题.20.某蔬菜加工厂加工一种蔬菜，并对该蔬菜产品进行质量评级，现对甲、乙两台机器所加工的蔬菜产品随机抽取一部分进行评级，结果（单位：件）如表1：（1）若规定等级为合格等级，等级为优良等级，能否有的把握认为“蔬菜产品加工质量与机器有关”？（2）表2是用清水千克清洗该蔬菜千克后，该蔬菜上残留的农药微克的统计表，若用解析式作为与的回归方程，求出与的回归方程.（结果精确到）（参考数据：，.）【答案】（1）有的把握认为“蔬菜
20、产品加工质量与机器有关”（2）【解析】【分析】（1）根所给数据，利用公式求得，与临界值比较，即可求得答案；（2）根据所给数据求得和，即可求得其直线回归方程.【详解】（1）所以有的把握认为“蔬菜产品加工质量与机器有关”.（2），可得.【点睛】本题考查独立性检验中的计算和求回归直线方程，考查了分析能力和计算能力,属于基础题.21.某工厂的某种产品成箱包装，每箱件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品检验时，先从这箱产品中任取件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为，且各件产品是否为不合格品相互独立（1）记件产品中恰有
21、件不合格品的概率为,求的最大值点；（2）现对一箱产品检验了件，结果恰有件不合格品，以（1）中确定的作为的值已知每件产品的检验费用为元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付元的赔偿费用（i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为，求;（ii）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？【答案】（1）；（2）（i）；（ii）应该对余下的产品作检验.【解析】【分析】（1）利用独立重复实验成功次数对应的概率，求得，之后对其求导，利用导数在相应区间上的符号，确定其单调性，从而得到其最大值点，这里要注意的条件；（2）先根据第一问的
22、条件，确定出，在解（i）的时候,先求件数对应的期望，之后应用变量之间的关系，求得赔偿费用的期望；在解（ii）的时候，就通过比较两个期望的大小，得到结果.【详解】（1）件产品中恰有件不合格品的概率为.因此.令，得.当时，；当时，.所以的最大值点为；（2）由（1）知，.（i）令表示余下的件产品中的不合格品件数，依题意知，即.所以.（ii）如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为400元.由于，故应该对余下的产品作检验.【点睛】该题考查的是有关随机变量的问题，在解题的过程中，一是需要明确独立重复试验成功次数对应的概率公式，再者就是对其用函数的思想来研究，应用导数求得其最小值点，在做第二问
23、的时候，需要明确离散型随机变量的可取值以及对应的概率，应用期望公式求得结果，再有就是通过期望的大小关系得到结论.22.已知函数，.（1）讨论函数的单调性；（2）当且时，求证：.【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】【分析】（1）求得，然后分、三种情况讨论，分析导数的符号变化，可得出函数的单调递增区间和递减区间；（2）将所证不等式变形为，设，利用导数分析出函数在区间上单调递增，由可证得结论.【详解】（1）由题意，得.若，令，得；令，得.故函数在上单调递减，在上单调递增；若，令，得；令，得.故函数在上单调递增，在上单调递减；若，则是常值函数，不存在单调性.综上所述，当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为；当时，函数不存在单调性；（2）当时，则即为.不等式两边同时除以，得，得.记函数，则.设.当时，所以函数在上单调递增.所以当时，.所以，所以函数在上单调递增.所以，即.故得证.【点睛】本题考查利用导数求函数的单调区间，同时也考查了利用导数证明不等式，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
