1、十年高考分类解析与应试策略数学第六章 不等式考点阐释不等式是中学数学的重点内容，是进一步学习高等数学的基础知识和重要工具，因而也是数学高考的考查重点，在历年的高考数学试题中有相当的比重，这些试题不仅考查有关不等式的基本知识、基本技能、基本方法，而且注重考查逻辑思维能力、运算能力，以及分析问题和解决问题的能力.不等式的性质在解不等式、证不等式中的应用、证明不等式既是重点又是难点，要求掌握证明不等式的基本方法：作差比较法、综合法、分析法，重点掌握作差比较法.熟练掌握一元一次不等式（组）、一元二次不等式的解法，在此基础上掌握简单的无理不等式、指数不等式、对数不等式的解法.试题类编一、选择题1.（20
2、03京春文，1）设a，b，c，dR，且ab，cd，则下列结论中正确的是（ ）A.a+cb+d B.acbd C.acbd D.2.（2002京皖春，1）不等式组的解集是（ ）Ax1x1Bx0xCx0x1Dx1x3.（2002全国，3）不等式（1x）（1x）0的解集是（ ）Ax0x1 B.xx0且x1Cx1x1 D.xx1且x14.（2001河南、广东，1）不等式0的解集为（ ）A.x|x3C.x|x3 D.x|1xb0是a2b2的（ ）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既非充分条件也非必要条件7.（2000全国，7）若ab1，P，Q（lgalgb），Rlg（），则（ ）A
3、.RPQ B.PQRC.QPRD.PRQ8.（2000全国，6）中华人民共和国个人所得税法规定，公民全月工资、薪金所得不超过800元的部分不必纳税，超过800元的部分为全月应纳税所得额.此项税款按下表分段累进计算：全月应纳税所得额税率不超过500元的部分5%超过500元至2000元的部分10%超过2000元至5000元的部分15%某人一月份应交纳此项税款26.78元，则他的当月工资、薪金所得介于（ ）A.800900元 B.9001200元C.12001500元D.15002800元9.（1999上海理，15）若ab（b+）2均不能成立D.不等式和（a+）2（b+）2均不能成立10.（1999
4、全国，14）某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘.根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有（ ）A.5种 B.6种 C.7种 D.8种11（1997全国，14）不等式组的解集是（ ）A.x0x2 B.x0x2.5C.x0x D.x0x312.（1994上海，12）若0a1，则下列不等式中正确的是（ ）A.（1a）（1a）B.log1a（1a）0C.（1a）3（1a）2D.（1a）1二、填空题13.（2002上海春，1）函数y的定义域为 14.（1999全国，17）若正数a、b满足ab=a+b+3，则ab的取值范围是 .15
5、.（1995全国理，16）不等式（）32x的解集是_.16.（1995上海，9）不等式1的解是 .17.（1994上海，1）不等式|x1|1的解集是_.三、解答题18.（2002北京文，17）解不等式2x19（2002北京理，17）解不等式|x|2.20.（2002上海，20）某商场在促销期间规定：商场内所有商品按标价的80%出售；同时，当顾客在该商场内消费满一定金额后，按如下方案获得相应金额的奖券：消费金额（元）的范围200，400400，500500，700700，900获得奖券的金额（元）3060100130根据上述促销方法，顾客在该商场购物可以获得双重优惠。例如，购买标价为400元的商
6、品，则消费金额为320元，获得的优惠额为：4000230110（元）.设购买商品得到的优惠率.试问：（1）若购买一件标价为1000元的商品，顾客得到的优惠率是多少?（2）对于标价在500，800（元）内的商品，顾客购买标价为多少元的商品，可得到不小于的优惠率?21.（2002江苏，22）已知a0，函数f（x）axbx2（1）当b0时，若对任意xR都有f（x）1，证明a2；（2）当b1时，证明：对任意x0，1，|f（x）|1的充要条件是b1a2；（3）当0b1时，讨论：对任意x0，1，|f（x）|1的充要条件.22.（2001年天津，7）解关于x的不等式0（aR）23.（2000上海春，19）有
7、一批影碟机（VCD）原销售价为每台800元，在甲、乙两家家电商场均有销售.甲商场用如下的方法促销：买一台单价为780元，买两台每台单价都为760元，依次类推，每多买一台则所买各台单价均再减少20元，但每台最低不能低于440元；乙商场一律都按原价的75%销售.某单位需购买一批此类影碟机，问去哪家商场购买花费较少?24.（2000京皖春文24，理23）某地区上年度电价为0.8元kWh，年用电量为a kWh.本年度计划将电价降到0.55元kWh至0.75元kWh之间，而用户期望电价为0.4元kWh.经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比（比例系数为）.该地区电力的成本价为0
8、.3元kWh.（1）写出本年度电价下调后，电力部门的收益y与实际电价x的函数关系式；（2）设02a，当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%?（注：收益实际用电量（实际电价M成本价）25.（2000全国文20，理19）设函数f（x）ax，其中a0（1）解不等式f（x）1；（2）求a的取值范围，使函数f（x）在区间0，）上是单调函数.26.（1999全国理，19）解不等式（a0且a1）.27（1998全国文，20）设ab,解关于x的不等式a2xb2（1x）axb(1x)2图6128（1998全国文24、理22）如图61，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方
9、体沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出，设箱体的长度为a米，高度为b米.已知流出的水中该杂质的质量分数与a、b的乘积ab成反比.现有制箱材料60平方米.问当a、b各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小（A、B孔的面积忽略不计）?29.（1997全国，22）甲、乙两地相距s千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米时，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v（千米时）的平方成正比，比例系数为b；固定部分为a元.（1）把全程运输成本y（元）表示为速度v（千米时）的函数，并指出这个函数的定义域；（2）为了使全程运输成本最小，汽车应以
10、多大速度行驶?30.（1997全国理，24）设二次函数f（x）ax2bx+c（a0），方程f（x）x0的两根x1、x2满足0x1x2（）当x（0，x1）时，证明：xf（x）x1；（）设函数f（x）的图象关于直线x=x0对称，证明：x031（1996全国理，20）解不等式loga（1）132（1996全国文，20）解不等式loga（x1a）133（1996全国理，25）已知a、b、c是实数，函数f（x）=ax2bxc，g（x）=ax+b，当1x1时，|f（x）|1（）证明：|c|1；（）证明：当1x1时，|g（x）|2；（）设a0，当1x1时，g（x）的最大值为2，求f（x）.34.（1994全
11、国文，22）已知函数f（x）=logax（a0，且a1），x0，+）.若x1，x20，+），判断f（x1）+f（x2）与f（）的大小，并加以证明.答案解析1.答案：A解析：ab，cd，a+cb+d.2.答案：C解析：原不等式等价于： 0x13.答案：D解法一：x0时，原不等式化为：（1x）（1x）0 （x1）（x1）00x1x0时，原不等式化为：（1x）（1x）0（1x）20 x1x0且x1综上，不等式的解集为x1且x1.解法二：原不等式化为： 或解得1x1解得即x1原不等式的解集为x1且x1评述：该题体现了对讨论不等式与不等式组的转化及去绝对值的基本方法的要求.4.答案：C解析：由已知（x1
12、）（x3）0，x3.故原不等式的解集为x|x3.5.答案：B解析：3a+3b2=6，当且仅当a=b=1时取等号.故3a+3b的最小值是6.评述：本题考查不等式的平均值定理，要注意判断等号成立的条件.6.答案：A解析：由ab0得a2b2.反过来a2b2则可能abb0是a2b2的充分不必要条件.7.答案：B解析：lgalgb0，（lgalgb），即QP，又ab1，（lgalgb），即RQ，有PQR，选B.8.答案：C解析：分别以全月工资、薪金所得为900元，1200元，1500元，2800元计算应交纳此项税款额，它们分别为：5元，20元，70元，200元.20267870，所以某人当月工资、薪金所
13、得介于12001500元，选C.9.答案：B解析：b0，aba，又ab0，a0，.故不成立.ab|b|，故不成立.由此可选B.另外，A中成立.C与D中（a+）2（b+）2成立.其证明如下：ab0，0，a+b+|b+|，故（a+）2（b+）2.评述：本题考查不等式的基本性质.10.答案：C解析：设购买软件x片，x3且xN*，磁盘y盒，y2且yN*，则60x+70y500，即6x+7y50当x=3时，y=2，3，4.有3种选购方式.当x=4时，y=2，3.有2种选购方式.当x=5时，y=2.有1种选购方式.当x=6时，y=2.有1种选购方式.综上，共有7种选购方式，故选C.评述：此题考查不等式的应
14、用，建模能力，分类讨论思想及应用意识.11.答案：C解法一：当x2时，原不等式化为，去分母得（x+2）（3x）（x+3）（x2），即x2x6x2x6，2x2120，注意x2，得2x；当0x2时，原不等式化为，去分母得x2x6x2x6即2x0 注意0x2，得0x2综上得0x，所以选C.解法二：特殊值法.取x=2，适合不等式，排除A；取x=2.5，不适合不等式，排除D；再取x=，不适合不等式，所以排除B；选C.评述：此题考查不等式的解法、直觉思维能力、估算能力.12.答案：A解析：因为0a1，所以01a1，而指数函数y=mx（m0，m1）在0m1时，是减函数，则（1a）（1a），故选A.13.答案
15、：（3，1）解析：32xx20 x2+2x30 3x0）由ab=a+b+32+3，得t22t+3，解得t3，即3.故ab9.解析二：由已知得abb=a+3，b（a1）=a+3，b=（a1）ab=a=（a1）+1=a+3+=a1+4+=a1+52+5=9.当且仅当a1=时取等号.即a=b=3时ab的最小值为9.所以ab的取值范围是（9，+）.评述：本题考查基本不等式的应用及不等式的解法及运算能力.解法一重在思考a+b与ab的关系联想均值不等式.而解法二是建立在函数的思想上，求函数的值域.15答案：x|2x4解析：将不等式变形得则x282x，从而x22x80，（x2）（x4）0，2x4，所以不等式
16、的解集是x|2x4评述：此题考查指数不等式的解法.16.答案：x3或x4解析：变形得0，即0，所以x3或x417.答案：x|2x0，x20，x1x2（）2（当且仅当x1=x2时取“=”号）当a1时，loga（x1x2）loga（）2，logax1x2loga即f（x1）+f（x2）f（）（当且仅当x1=x2时取“=”号）当0a1时，loga（x1x2）loga（）2，logax1x2loga即f（x1）+f（x2）f（）（当且仅当x1=x2时取“=”号）评述：本题考查对数函数的性质、平均值不等式知识及推理论证的能力.命题趋向与应试策略1.重视对基础知识的考查，设问方式不断创新.重点考查四种题型
17、：解不等式，证明不等式，涉及不等式应用题，涉及不等式的综合题，所占比例远远高于在课时和知识点中的比例.重视基础知识的考查，常考常新，创意不断，设问方式不断创新，图表信息题，多选型填空题等情景新颖的题型受到命题者的青眯，值得引起我们的关注.2.突出重点，综合考查，在知识与方法的交汇点处设计命题，在不等式问题中蕴含着丰富的函数思想，不等式又为研究函数提供了重要的工具，不等式与函数既是知识的结合点，又是数学知识与数学方法的交汇点，因而在历年高考题中始终是重中之重.在全面考查函数与不等式基础知识的同时，将不等式的重点知识以及其他知识有机结合，进行综合考查，强调知识的综合和知识的内在联系，加大数学思想方
18、法的考查力度，是高考对不等式考查的又一新特点.3.加大推理、论证能力的考查力度，充分体现由知识立意向能力立意转变的命题方向.由于代数推理没有几何图形作依托，因而更能检测出学生抽象思维能力的层次.这类代数推理问题常以高中代数的主体内容函数、方程、不等式、数列及其交叉综合部分为知识背景，并与高等数学知识及思想方法相衔接，立意新颖，抽象程度高，有利于高考选拔功能的充分发挥.对不等式的考查更能体现出高观点、低设问、深入浅出的特点，考查容量之大、功能之多、能力要求之高，一直是高考的热点.4.突出不等式的知识在解决实际问题中的应用价值，借助不等式来考查学生的应用意识.5.重视数学思想方法的复习根据本章上述
19、的命题趋向我们迎考复习时应加强数学思想方法的复习.在复习不等式的解法时，加强等价转化思想的训练与复习.解不等式的过程是一个等价转化的过程，通过等价转化可简化不等式（组），以快速、准确求解.加强分类讨论思想的复习.在解不等式或证不等式的过程中，如含参数等问题，一般要对参数进行分类讨论.复习时，学生要学会分析引起分类讨论的原因，合理的分类，做到不重不漏.加强函数与方程思想在不等式中的应用训练.不等式、函数、方程三者密不可分，相互联系、互相转化.如求参数的取值范围问题，函数与方程思想是解决这类问题的重要方法.在不等式的证明中，加强化归思想的复习，证不等式的过程是一个把已知条件向要证结论的一个转化过程
20、，既可考查学生的基础知识，又可考查学生分析问题和解决问题的能力，正因为证不等式是高考考查学生代数推理能力的重要素材，复习时应引起我们的足够重视.利用函数f（x）=x（a0）的单调性解决有关最值问题是近几年高考中的热点，应加强这方面的训练和指导.6.强化不等式的应用高考中除单独考查不等式的试题外，常在一些函数、数列、立体几何、解析几何和实际应用问题的试题中涉及不等式的知识，加强不等式应用能力，是提高解综合题能力的关键.因此，在复习时应加强这方面训练，提高应用意识，总结不等式的应用规律，才能提高解决问题的能力.如在实际问题应用中，主要有构造不等式求解或构造函数求函数的最值等方法，求最值时要注意等号成立的条件，避免不必要的错误.
