1、求圆锥曲线的标准方程例1已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A(2,3),且点F(2,0)为其右焦点.(1) 求椭圆C的方程;(2) 已知动点P到定点Q(,0)的距离与点P到定直线l:x=2的距离之比为,求动点P的轨迹C的方程.【分析】本题主要考查椭圆的定义和椭圆的标准方程等基础知识,以及利用直接法和待定系数法求椭圆方程的基本方法.【解答】(1) 依题意,可设椭圆C的方程为+=1(ab0),且可知左焦点为F(-2,0),从而有解得又a2=b2+c2,所以b2=12.故椭圆C的方程为+=1.(2) 设点P(x,y),依题意,得=,整理,得+=1.所以动点P的轨迹C的方程为+=1.【点评】本题第一问
2、已知焦点即知道了c,再利用椭圆定义先求得2a,从而利用椭圆中a,b,c的关系,求得b,从而得椭圆方程.本题还可以利用待定系数法设椭圆方程为+=1,代入已知点求解,显然没有利用定义来得简单.变式(1) 已知椭圆两焦点为 F1(-4,0),F2(4,0),点P在椭圆上,若 PF1F2的面积的最大值为12,则椭圆方程为; (2) 在平面直角坐标系xOy中,已知点A(-,0),B(,0),E为动点,且直线EA与直线EB的斜率之积为-,则动点E的轨迹C的方程为.【答案】(1) +=1(2) +y2=1(x)【解析】(1) 当点P为椭圆的短轴顶点时,PF1F2的面积最大,此时PF1F2的面积的最大值为S=
3、8b=12,所以b=3,所以a2=b2+c2=25,所以椭圆方程为+=1.(2) 设动点E的坐标为(x,y),依题意可知=-,整理得+y2=1(x).所以动点E的轨迹C的方程为+y2=1(x).求离心率的值或范围例2(1) 在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆+=1(ab0)的左顶点为A,左焦点为F,上顶点为B,若BAO+BFO=90,则椭圆的离心率是;(2) 点M是椭圆+=1(ab0)上的点,以M为圆心的圆与x轴相切于椭圆的焦点F,圆M与y轴相交于点P,Q,若PQM是钝角三角形,则椭圆离心率的取值范围是.【答案】(1) (2) 【分析】(1) 构建三角形,用a,b,c表示这两个角,即可建立方程
4、解出离心率e;(2) 根据PQM是等腰三角形,故将其钝角三角形这一条件转化为顶角的一半小于45,从而转化为a,b,c的不等式,求出e的取值范围.【解析】(1) 方法一:因为BAO+BFO=90,所以sinBFO=cosBAO=cosBAF.在ABF中,由正弦定理得=,即=,所以=,所以a2=b,即a4=(a2-c2)(2a2-c2),化简得e4-3e2+1=0,解得e2=,故e=(负根舍去).方法二:易知BAF=FBO,所以RtBFORtABO,则=,即=,所以ac=b2=a2-c2,所以c2+ac-a2=0.即e2+e-1=0,解得e=(负根舍去).方法三:设椭圆右顶点为C,连接BC,则BC
5、O=BAF,所以BCO+BFC=90,则BF2+BC2=CF2,即a2+a2+b2=(a+c)2,所以2a2-c2=2ac+c2,即c2+ac-a2=0,所以e2+e-1=0,解得e=(负根舍去).(2) 由题意可知圆M的半径为,点M到y的距离为c.由于PQM是等腰三角形,故只能是PMQ为钝角,从而只须c即可,即acb2=a2-c2,两边同时除以a2并整理得e2+e-10,解得e,而0e0,b0)右支上一点P到左焦点的距离是到右准线距离的6倍,则该双曲线离心率的取值范围为;(2) 若椭圆+=1(ab0)上存在一点M,它到左焦点的距离是它到右准线距离的2倍,则椭圆离心率的最小值为. 【答案】(1
6、) (1,23,6)(2) 【解析】(1) 记双曲线-=1(a0,b0)的左右焦点分别为F1,F2,设点P到右准线的距离为d,则由题意得点P到左焦点的距离PF1=6d,由于PF1-PF2=2a,所以PF2=6d-2a,所以=,所以d=.又因为da-,所以即解得1e2或3e6,故双曲线的离心率e的取值范围是(1,23,6).(2) 由题意,设点M的横坐标为x,根据焦半径公式得a+ex=2,x=,有-aa,不等式各边同除以a,得-11,则-1e+2,即e2+3e-20,又0e1,所以eb0)的右顶点为A(2,0),点P在椭圆上(e为椭圆的离心率).(例3)(1) 求椭圆的方程;(2) 若点B,C(
7、C在第一象限)都在椭圆上,满足=,且=0,求实数的值.【分析】第一小问根据A,P这两点坐标代入椭圆方程即可求出;第二小问中两个向量条件分别说明了OCBA,OCOB,可利用这两个条件求解参数.【解答】(1) 由已知,a=2,e=,将P代入椭圆的方程,得+=1.因为b2+c2=4,所以b2=1,c2=3.所以椭圆的方程为+y2=1.(2) 显然直线OC的斜率存在.设直线OC的斜率为k,则直线OC的方程为y=kx,代入椭圆方程+y2=1,即x2+4y2=4,得(1+4k2)x2=4,所以xC=.则C.又直线AB的方程为y=k(x-2),代入椭圆方程x2+4y2=4,得(1+4k2)x2-16k2x+16k2-4=0.因为xA=2,所以xB=.则B.因为=0,所以+=0.所以k2=.因为点C在第一象限,所以k0,k=.因为=.=.由=,得=.因为k=,所以=.【点评】在圆锥曲线的问题中出现了与向量有关系的问题时,此类问题包含两个方面,一是题干中的条件用向量来描述,二是将所给条件用向量来转化.如本题中的向量条件“=,且=0”其转化方向有两个,一是直接代入坐标,转化为坐标之间的等式,二是利用其几何特征转化为直线与直线的位置关系来处理.
