1、1数 学（文科）本试卷共 23 小题，满分 150 分考试用时 120 分钟一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合1 2 3 4 5A，0 2 4 6B，则集合 AB的子集共有2若复数2i1 iaz的实部为 0，其中 a 为实数，则|z 3已知向量(1,)OAk，(1,2)OB，(2,0)OCk，且实数0k,若 A、B、C 三点共线，则 k 4意大利数学家斐波那契的算经中记载了一个有趣的问题：已知一对兔子每个月可以生一对兔子，而一对兔子出生后在第二个月就开始生小兔子.假如没有发生死亡现象，那么兔子对数依次为：1
2、，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，这就是著名的斐波那契数列，它的递推公式是),3(21nnaaannn，其中11 a，12 a.若从该数列的前100 项中随机地抽取一个数，则这个数是偶数的概率为5设23.0a，3.0)2(b，2log3.0c，则下列正确的是6如图所示的茎叶图记录了甲，乙两支篮球队各 6 名队员某场比赛的得分数据（单位：分）若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则 x 和 y 的值为A 2 个B 4 个C 6 个D8 个A 2B2C1D22A 0B1C 2D3A 31B10033C 21D10067AcbaBbcaCbacDcab江西省南昌市进贤县
3、第一中学2020届高三七调考试数学（文）试卷27若双曲线22221xyab（0a，0b）的焦距为 2 5，且渐近线经过点(1,2)，则此双曲线的方程为8如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是由一个长方体切割而成的三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为9已知函数()sin()(0)3f xAxb A的最大值、最小值分别为3 和 1，关于函数()f x 有如下四个结论：2A，1b；函数()f x 的图象C 关于直线56x 对称；函数()f x 的图象C 关于点 2(,0)3对称；函数()f x 在区间 5(,)66内是减函数其中，正确的结论个数是A 2 和 6B 4 和 6C 2 和 7D 4
4、 和 7A2214xyB2214yx C221416xyD221164xyA12B16C 24D32310函数2()cosln(1)f xxxx 的图象大致为11已知直三棱柱111ABCA B C，90ABC，12ABBCAA，1BB 和11B C 的中点分别为 E、F，则 AE 与CF 夹角的余弦值为12函数()f x 是定义在(0,)上的可导函数，()fx为其导函数，若()()(1)xxfxf xx e，且(2)0f，则()0f x 的解集为二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13若1sin()43，则sin 2 _.14在 ABC中，角 A，B，C 的对边分别为
5、a，b，c，若()(sinsin)abAB()sinacC，A1B 2C3D 4A35B 25C 45D 155A(0,1)B(0,2)C(1,2)D(1,4)xy11-A.xy11-D.xy11-C.xy11-B.42b，则 ABC的外接圆面积为_.15已知一圆柱内接于一个半径为3 的球内，则该圆柱的最大体积为_.16.设椭圆C:)0(12222babyax的左、右焦点分别为1F、2F，其焦距为 c2，O 为坐标原点，点 P 满足aOP2,点 A 是椭圆C 上的动点，且2113FFAFPA恒成立，则椭圆C 离心率的取值范围是_.三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
6、第 17 2 1 题为必考题，每个试题考生都必须作答 第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答(一)必考题：共 60 分17（本小题满分 12 分）已知数列na，14a，1(1)4(1)nnnanan()nN.（1）求数列na的通项公式；（2）若11nnnbaa，求数列 nb前n 项和为nT.18（本小题满分 12 分）某公司为了对某种商品进行合理定价，需了解该商品的月销售量 y（单位：万件）与月销售单价 x（单位：元/件）之间的关系，对近 6 个月的月销售量iy 和月销售单价ix(1,2,3,6)i 数据进行了统计分析，得到一组检测数据如表所示：月销售单价 x（元/件）456789月销售
7、量 y（万件）898382797467（1）若用线性回归模型拟合 y 与 x 之间的关系，现有甲、乙、丙三位实习员工求得回归直线方程分别为：4105yx，453yx和1043xy，其中有且仅有一位实习员工的计算结果是正确的请结合统计学的相关知识，判断哪位实习员工的计算结果是正确的，并说明理由；（2）若用cbxaxy2模型拟合 y 与 x 之间的关系，可得回归方程为25.90875.0375.02xxy，经计算该模型和（1）中正确的线性回归模型的相关指数2R 分别为9702.0和9524.0，请用2R 说明哪个回归模型的拟合效果更好；5（3）已知该商品的月销售额为 z（单位：万元），利用（2）中
8、的结果回答问题：当月销售单价为何值时，商品的月销售额预报值最大？（精确到01.0）参考数据：91.806547.19（本小题满分 12 分）如图，四边形 ABCD 为长方形，24ABBC，E、F 分别为 AB、CD 的中点，将 ADF沿 AF 折到 AD F的位置，将BCE沿CE 折到 B CE的位置，使得平面 AD F 底面 AECF，平面 B CE 底面AECF，连接 B D .（1）求证：B D /平面 AECF；（2）求三棱锥 BAD F的体积.20（本小题满分 12 分）在平面直角坐标系 xOy 中，过点)0,2(F的动圆恒与 y 轴相切,FP 为该圆的直径，设点 P 的轨迹为曲线C
9、.（1）求曲线C 的方程；（2）过点)4,2(A的任意直线l 与曲线C 交于点 M,B 为 AM 的中点，过点 B 作 x 轴的平行线交曲线C于点 D,B 关于点 D 的对称点为 N，除 M 以外，直线 MN 与C 是否有其它公共点？说明理由.21（本小题满分 12 分）已知函数 21 ln11.fxxxaxa x6（1）当1a 时，判断函数的单调性；（2）讨论 fx 零点的个数.（二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 两题中任选一题作答注意：只能做所选定的题目如果多做，则按所做的第一题计分，22（本小题满分 10 分）选修 44：坐标系与参数方程在直角坐标系 xOy 中，直线1C
10、的参数方程为,sin,cos32tytx（t 为参数，为倾斜角），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为sin4（1）求2C 的直角坐标方程；（2）直线1C 与2C 相交于FE,两个不同的点，点 P 的极坐标为(2 3,)，若PFPEEF2，求直线1C 的普通方程23（本小题满分 10 分）选修 45：不等式选讲已知,a b c 为正数，且满足1.abc证明：（1）1119abc；（2）8.27acbcababc深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学（文科）参考答案第 1 页（共11页）一、选择题1.B 2.A 3.D 4.B 5.D 6.C
11、7.B 8.B 9.C 10.B 11.B 12.B二、填空题：13.9714.3 415.416.，5 14.12.【解析】设=F xx f x()()，则=F x()+=xfxf xx ex()()(1)，因此，x(0,1)，F x()0，F x()递增；+x(1,)，F x()0，F x()递减 因为当x0 时，F(0)0，且有=F(2)0 所以由=F xx f x()()图象可知，当 x(0,2)时，=F xxf x()()0，此时f x()0 16.解析：为使+PAAFF F3112 恒成立，只需 F F312+PAAF()1max，由椭圆的定义可得，+=122AFAFa，所以+=+
12、12222PAAFPAAFaPFa，当且仅当2,P F A三点共线时取等号(F2在线段 PA上)，又点 P 的轨迹是以O 为圆心，半径为 2a 的圆，所以圆上点 P 到圆内点 F2 的最大距离为半径与 OF2 的和，即22+PFac，所以122PAAFPFa+224+=+acaac，所以64+cac，54ca，eca=45，又 e 1，所以C 的离心率的取值范围为，45 1 文科数学参考答案与评分标准深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学（文科）参考答案第 2 页（共11页）三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17 2 1 题为必考题，每个试题考生
13、都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答(一)必考题：共 60 分17（本小题满分 12 分）已知数列，14a=，1(1)4(1)nnnanan+=+()nN.（1）求数列na的通项公式；（2）若11nnnbaa+=，求数列 nb前n 项和为nT 解：（1）由1(1)4(1)nnnanan+=+()nN可得，2128aa=，1 分323212aa=，434316aa=，1(1)4nnnanan=，(2)n 2 分累加得18 12+4nnaan=+，3 分所以(4+4)=4+8 12+4=2nn nnan+，4 分得=22(2)nann+，5 分由于14a=，所以=22()nann
14、+N 6 分（2）111111()(22)(24)2 2224nnnbaannnn+=+，9 分11111111 11()()()()2466822242 424nTnnn=+=+816nn=+12 分【命题意图】本题主要考查已知递推公式用累加法求通项，注重思维的完整性和严密性，另外考查裂项相消法求数列的前n 项和重点考查等价转换思想，体现了数学运算、逻辑推理等核心素养18（本小题满分 12 分）某公司为了对某种商品进行合理定价，需了解该商品的月销售量 y（单位：万件）与月销售单价 x（单位：元/件）之间的关系，对近 6 个月的月销售量iy 和月销售单价ix(1,2,3,6)i=数据进行了统计
15、分析，得到一组检测数据如表所示：na深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学（文科）参考答案第 3 页（共11页）月销售单价 x（元/件）456789月销售量 y（万件）898382797467（1）若用线性回归模型拟合 y 与 x 之间的关系，现有甲、乙、丙三位实习员工求得回归直线方程分别为：4105yx=+，453yx=+和1043+=xy，其中有且仅有一位实习员工的计算结果是正确的请结合统计学的相关知识，判断哪位实习员工的计算结果是正确的，并说明理由；（2）若 用cbxaxy+=2模 型 拟 合 y 与 x 之 间 的 关 系，可 得 回 归 方 程 为25.90875.03
16、75.02+=xxy，经计算该模型和（1）中正确的线性回归模型的相关指数2R分 别 为9702.0和9524.0，请 用2R说 明 哪 个 回 归 模 型 的 拟 合 效 果 更 好；（3）已知该商品的月销售额为 z（单位：万元），利用（2）中的结果回答问题：当月销售单价为何值时，商品的月销售额预报值最大？（精确到01.0）参考数据：91.806547.解：（1）已知变量 x，y 具有线性负相关关系，故乙不对，因为5.66987654=+=x，796677479828389=+=y代入甲和丙的回归方程验证甲正确4 分（2）因为9524.09702.0且2R 越大，残差平方和越小，模拟的拟合效果
17、越好，所以选用25.90875.0375.02+=xxy更好（言之有理即可得分）7 分（3）由题意可知，xxxyxz25.90875.0375.023+=，8 分即xxxz4361878323+=，则436147892+=xxz，9 分令0=z，则976547+=x（舍去）或976547+=x，10 分令9765470+=x，当()0,0 xx时，z 单调递增，当()+0 xx时 z 单调递减，所以当0 xx=时，商品的月销售额预报值最大，11 分因为91.806547，所以77.9x，所以当77.9x时，商品的月销售额预报值最大12 分19（本小题满分 12 分）如图，四边形 ABCD 为长
18、方形，24ABBC=，E、F 分别为 AB、CD 的中点，将 ADF深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学（文科）参考答案第 4 页（共11页）沿 AF 折到AD F的位置，将BCE沿 CE 折到B CE的位置，使得平面 AD F 底面AECF，平面 B CE 底面 AECF，连接 B D ，（1）求证：B D /平面 AECF；（2）求三棱锥 BAD F的体积解：（1）证明：作 D M AF 于点 M，作 B N EC 于点 N，1 分2ADD F=，2B CB E=，90AD FCB E=，M，N 为 AF，CE 中点，且 D M=2B N=2 分平面 AD F底面 AECF
19、，平面 AD F底面 AECF=AF，D M AF，D M 平面 AD F D M 底面 AECF，3 分同理：B N 底面 AECF，4 分/D MB N，四边形 D B NM 为平行四边形,/B DMN 5 分B D 平面 AECF，MN 平面 AECF，B D /平面 AECF 6 分（2）设点 B 到平面 AD F的距离为 h，连接 NF 7 分/D MB N，D M 平面 AD F，B N 平面 AD F B N/平面 AD F，8 分故点 B 到平面 AD F的距离与点 N 到平面 AD F的距离相等8 分N 为CE 中点，2EFCE=，NFCE，深圳市 2020 年普通高中高三年
20、级线上统一测试数学（文科）参考答案第 5 页（共11页）/AFCE，NFAF，9 分平面 AD F底面 AECF，平面 AD F底面 AECF=AF，NF 底面 AECF，NF 平面 AD F，10 分点 N 到平面 AD F的距离为2NF=，点 B 到平面 AD F的距离2h=11 分12 222AD FS=，三棱锥 BAD F的体积112 222333BAD FAD FVSh=12 分20（本小题满分 12 分）在平面直角坐标系 xOy 中，过点)0,2(F的动圆恒与 y 轴相切,FP 为该圆的直径，设点 P的轨迹为曲线C（1）求曲线C 的方程；（2）过点)4,2(A的任意直线l 与曲线C
21、 交于点 M,B 为 AM 的中点，过点 B 作 x 轴的平行线交曲线C 于点 D,B 关于点 D 的对称点为 N，除 M 以外，直线 MN 与C 是否有其它公共点？说明理由【解析】（1）如图，过 P 作 y 轴的垂线，交 y 轴于点 H，交直线2=x于点1P，-1 分设动圆圆心为 E，半径为 r，则 E 到 y 轴的距离为 r，在梯形OFPH 中，由中位线性质得，22=rPH，-2 分所以rrPP22221=+=，又rPF2=，所以1PPPF=，-3 分由抛物线的定义知，点 P 是以)0,2(F为焦点，直线2=x为准线的抛物线，所以曲线C 的方程为xy82=-4分(2)由)4,2(A得，A
22、在曲线C 上，深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学（文科）参考答案第 6 页（共11页）(i)当l 的斜率存在时，设)2)(,(111xyxM，则1218xy=，AM 的中点)24,22(11+yxB，即)22,12(11+yxB，-5 分在方程xy82=中令221+=yy得21)22(81+=yx，所以)22,)22(81(121+yyD-6 分设),(22 yxN，由中点坐标公式22)22(411212+=xyx，又1218xy=，代入化简得212yx=，所以)22,2(11+yyN，-7 分直线 MN 的斜率为112111111428222)22(yyyyyxyy=+，直
23、线 MN 的方程为111)(4yxxyy+=，将8211yx=代入式化简得2411yxyy+=，-8 分将82yx=代入式并整理得022112=+yyyy，式判别式04)2(2121=yy，-9 分所以直线 MN 与抛物线C 相切，所以除 M 以外，直线 MN 与C 没有其它公共点-10 分(ii)当l 的斜率不存在时，)4,2(M，)0,2(B，)0,0(D，)0,2(N，直线 MN 方程为2=xy，代入xy82=得0442=+xx，-11 分上式方程判别式0=，除 M 以外，直线 MN 与C 没有其它公共点综上，除 M 以外，直线 MN 与C 没有其它公共点-12 分【命题意图】本题以直线
24、与圆、直线与抛物线为载体，利用直线与圆的位置关系等知识导出抛物线的方程，借助几何关系，利用方程思想解决问题，主要考察抛物线的定义、直线与抛物线的位置关系和中点坐标公式等知识，考查学生的直观想象、逻辑推理、数学运算等数学核心素养及思辨能力21（本小题满分 12 分）深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学（文科）参考答案第 7 页（共11页）已知函数()()()21 ln11.f xxxaxa x=+（1）当1a=时，判断函数的单调性；（2）讨论()f x 零点的个数.解：（1）因为1a=，所以()()()()21 ln211 ln1f xxxxxxxx=+=+又()1ln23fxx
25、xx=+，设()1ln23h xxxx=+，-2 分又()()()2221 1112xxh xxxx+=+=，所以()h x 在()0,1 为单调递增；在()1,+为单调递减，-3 分所以()h x 的最大值为()10h=，所以()0fx，所以()f x 在()0,+单调递减.-4 分（2）因为()()()1 ln1f xxxax=+所以1x=是()f x 一个零点设()ln1g xxax=+，所以()f x 的零点个数等价于()g x 中不等于1的零点个数再加上1.-5 分（i）当1a=时，由（1）可知，()f x 单调递减，又1x=是()f x 零点，所以此时()f x有且只有一个零点；-
26、6 分（ii）当0a 时，()g x 单调递增，又()10,g()()()22131ln1111xaxaxg xxaxaxxx+=+=+()01x又()()()()()2231431411axaxaxaxaxx+=+所以104g a+，综上可知()g x 在()0,+有一个零点且()10g，所以此时()f x有两个零点；-8 分（iii）又()1axgxx+=，所以当 10a，深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学（文科）参考答案第 8 页（共11页）()g x 在10,a单调递增，在1,a+单调递减.()g x 的最大值为11ln0gaa=又()()()212111011xxg
27、 xaxxx+=+103g ，又10ag ee=所以()g x 在10,a有一个零点，在1,a+也有一个零点且()10g.所以此时()f x 共有 3 个零点；-10 分（iv）又()1axgxx+=，所以当1a 时，()g x 在10,a单调递增，在1,a+单调递减.()g x 的最大值为11ln0gaa=，所以()g x 没有零点，此时()f x 共有1 个零点.综上所述，当1a 时，()f x 共有 1 个零点；当 10a 时，()f x 共有 3 个零点；当0a 时，()f x 有两个零点.-12 分（二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 两题中任选一题作答注意：只能做所选定
28、的题目如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑22（本小题满分 10 分）选修 44：坐标系与参数方程在直角坐标系 xOy 中，直线1C 的参数方程为=+=,sin,cos32tytx（t 为参数，为倾斜角），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为sin4=（1）求2C 的直角坐标方程；深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学（文科）参考答案第 9 页（共11页）（2）直线1C 与2C 相交于FE,两个不同的点，点 P 的极坐标为(2 3,)，若PFPEEF+=2，求直线1C 的普通方程 解：（1）
29、由题意得，2C 的极坐标方程为sin4=，所以sin42=，1分 又sin,cos=yx，2 分 代入上式化简可得，0422=+yyx，3 分 所以2C 的直角坐标方程4)2(22=+yx4 分（2）易得点 P 的直角坐标为)0,32(，将=+=,sin,cos32tytx代入2C 的直角坐标方程，可得 012)sin4cos34(2=+tt，5 分 22(4 3cos4sin)48=8sin()4803=+，解得3sin()32+，或3sin()32+，不难知道 必为锐角，故3sin()32+，所以 2333+，即03,6 分 设这个方程的两个实数根分别为 1t，2t，则 sin4cos34
30、21+=+tt，1221=tt，7 分 所以 1t 与 2t 同号，由参数t 的几何意义可得，12128 sin()3PEPFtttt+=+=+=+，2212121 2()44 4sin()33EFttttt t=+=+，8 分 所以22 4 4sin()38 sin()33+=+，深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学（文科）参考答案第 10 页（共11页）两边平方化简并解得sin()13+=，所以2 6k=+，k Z,因为03，所以6=，9 分 所以直线1C 的参数方程为=+=,21,2332tytx 消去参数t，可得直线1C 的普通方程为0323=+yx10 分【命题意图】
31、本题主要考查了圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化、直线参数方程中参数的几何意义和三角函数等知识点，重点考查数形结合思想，体现了数学运算、逻辑推理等核心素养，考察考生的化归与转化能力23（本小题满分 10 分）选修 45：不等式选讲已知,a b c 为正数，且满足1.abc+=证明：（1）1119abc+；（2）8.27acbcababc+证明：（1）因为()111111abcabcabc+=+3bacacbabacbc=+3222=9b ac ac ba ba cb c+（当且仅当13abc=时，等号成立）.5 分（2）（证法一）因为,a b c 为正数，且满足1abc+=，所以1cab=，且
32、10a，10b，10c，所以acbcababc+()abab cab=+()1abababab=+（）深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学（文科）参考答案第 11 页（共11页）(1)(1)()baab=+(1)(1)(1)abc=3(1)(1)(1)8327abc+=，所以8.27acbcababc+（当且仅当13abc=时，等号成立）.10 分（证法二）因为,a b c 为正数，且满足1abc+=，所以1cab=，且10a，10b，10c，()1acbcababcabcacbcababc+=+()()()()1111ab ac abca=+()()11abcbc=+()()()111abc=()338327abc+=所以8.27acbcababc+（当且仅当13abc=时，等号成立）.10 分【命题意图】本题以三元不等式为载体考查二元基本不等式（三元均值不等式）的证明，涉及代数恒等变形等数学运算、充分体现了对考生的逻辑推理的核心素养及化归与转化能力的考察
