1、四川省成都2023-2024高三上学期期中考试数学试卷（文科）考试时间：120分钟 满分：150分注意事项：l答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上2本试卷分选择题和非选择题两部分3答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号4答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定位置上5所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效6考试结束后，只将答题卡交回第1卷（选择题，共60分）一、选择题：（本题共12小题，每小题5分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的）l已知集合A=xi x
2、2 2x 1，则（）A.B;A B.A;B C.AUB=R D.A门B=02.若 z(l+i)=2i,则复数z的共枙复数歹（）A.l+i B.1-i C.-l+i D.-1-i3.已知角0的顶点 与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y=2x上，则 cos20=()4-5A3-5B3-5c4-5D4.已知数列忆是等差数列，a6=5,a3+a8=15,则 a9的值为（）A.15 B.15 c.10 D.105.已知空间两不同直线m、n两不同平面a、/J，下列命题正确的是()A.若ml/a 且nil a,则ml InB.若ml_/J 且m上n,则nl I/JC.若m上a且ml I/J，则a
3、l_/JD.若m不垂直千a,且nca,则m不垂直千n兀6将函数f(x)=cos2x的图象向左平移 个单位得到函数g(x)的图象，则关千函数y=g(x)以下说法2 正确的是（）A.最大值为1，图象关千直线x 巠对称2 C.在（3冗冗88）上单调递增，为偶函数7如图，在MBC中，千（）3冗B.周期为冗，图象关千点(-，0)对称8 冗D 在（0,)上单调递减，为奇函数二BAC=120,AB=2,AC=I,D是BC边一点，DC=2BD,则AD-BC等8 8 2 2 A.B.一C.D.二三3 3 3 3 B D C 第1页共4页冗8.设a=log9 3,b=2 2,c=sin，则（8、丿A.b c aB
4、.a c bC.c b aD.c a b 0)的左焦点A、B分别为C的左、右顶点P为C矿b2上 一点且PF.lx轴过点A的直线l与线段PF交千点M，与y轴交千点E若直线 BM经过OE的中点则C的离心率为（）_3 AB.-D.32-3 c 第 II 卷（非选择题，共 90 分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.曲线 y=x 22xlnx+2 在点(1,1)处的切 线的倾斜角为 X 2 y 2 14.点（3,0)到双曲线 =1的一条渐近线的距离为 16 9 15.数列a满足：al=a2=1,Gzn+l-a2n-l=2,a2n+2 n jE:al=a2=1,Gzn+l-a2n
5、-l=2,=2，数列区的前n项和记为凡，则S23=a2n 16.已知a O,b 0，则在下列关系(D a2+b 2:;2 b:;e l-a a 1 cos 之2-3-b 泸 ea=砂 eb中，能作为“a+b2”的必要不充分条件的是（填正确的序号）第2页共4页三、解答题：（本题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 ）17.（本小题满分 12 分）在 MBC 中，内角 A、B、C 所对的边分别为a、b、C其外接圆半径为 1b=4,sin A+sin C=1.l cosB(1)求 cosB;(2)求 MBC 的面积 18.（本小题满分 12 分）某家庭记录了未使用节水龙头 50
6、天的日用水晕数据（单位：m3)和使用了节水龙头 50 天的日用水量数据，得到频数分布表如下：未使用节水龙头 50 天的日用水量频数分布表日用0,0.1)0.1,0.2)0.2,0.3)0.3,0.4)0.4,0.5)水量频数1 3 2 4 9 使用了节水龙头 50 天的日用水量频数分布表日用水量0,0.1)0.1,0.2)0.2,0.3)0.3,0.4)频数1 5 13 10(1)在下图中作出使用了节水龙头 50 天的日用水量数据的频率分布直方图：(2)估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小千0.35m3 的概率；0.5,0.6)0.6,0.7)26 5 0.4,0.5)0.5,0.6)16 5
7、(3)估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按 365 天计算，同 一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表 ）频率组距3.-勹_,-,-r-,-l3.-勹-,-,T 一一一寸1I I I I I I 3.ct-.J-L.-J-.-I I I I I I 2.8-+一一-:-十-一一：1 I I I I I I 2.6r-.,-,-,-T-,-1 I I I I I I 2.4-寸_,-,-r-一寸一1I I I I I I 2.2t-.J 匕1 _上_1_JI 2.ol-斗 卜一一-+:-4 1.勹 r-,-i-一一一一1一一一一，1.6-.J-一一匕，_,_ _ j_ _.
8、,j 1.4t-:-+-:-I I I I I I 1.2-勹-r-广 T 一一一一厂 一一一，I I I I I I 1.0-.-.一一一1-t-l-一4I I I I I I O.8-+：一一一一十 一一一一：1 I I I I I I 0.6-勹-T-尸-+-;-勹I I I I I I 0.4-勹-r-,-,-F-气0.2-七一一一一匕-+匕一一43，日用水虽 m0。.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6第3页共4页19.（本小题满分 12 分）九九如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面 ABCD是边长为 4 的菱形，乙4PB=,LABC=,PB=23,2 3PC=4,点 M、N
9、分别是 AB、CD 的中点(1)求证：CM 上平面PAB;(2)求四面体PMND 的体积pD/-/M-各二二二二二二-20.（本小题满分 12 分）已知抛物线：y2=4x的焦点为 F,过抛物线上除原点外任一点P 作抛物线准线的垂线，垂足为M,直线l是LMPF的角平分线(1)求直线l与抛物线交点的个数；(2)直线l与抛物线的准线相交千点 N,过 N 作抛物线的切线，切点为Q（不与P 点重合），求t:,.NPQ面积的最小值B c 21.（本小题满分 12 分）已知函数f(x)=x2 2xa In x,g(x)=ax.(1)若 a 0,求函数F(x)=f(x)+g(x)的极值；(2)若不等式smx
10、三 g(x)对XE 0,2兀恒成立，求a的取值范围2+cosx 请考生在第 22,23 题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分作答时，用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目所对应的标号涂黑22.选修4 4:坐标系与参数方程（本小题满分10分）x=l+2t 已知呾线cl(为参数），以直角坐标系的原点0为极点，y=2+t 系，仙线 c2 的极坐标方程为p=6sin0.(1)求仙线C 的普通方程和 c2 的直角坐标方程；(2)若仙线 C 与 c2交千两点 A,B，点P 是仙线 c2 上异千点 A,B的任意 一点，求t:,.PAB的面积S的最大值X轴的正半轴为极轴建立极坐标23.选修4 5:坐
11、标系与参数方程（本小题满分10分）已知函数 f(x)=Ix 11(1)解不等式 f(x)+f(x+4)之8;b(2)若忆lI外f()a 第4页共4页文科数学参考答案一、选择题日百口赵万l选项IB 二、填空题13.1352-B3-B4-D5-C6-A7-A8-D9-B10 C 11_A 12-A 9一54l 15.219116.解答题：b 2sinB 17(I)=4,根据正弦定理得4,即sinB=2(1cosB)，代入sin2 B+cos 2 B=I,lcosB IcosB 即 4(1cosB)2=Icos2 B=(IcosB)(l+cosB)，由千lcosB-:f:-0,即 4(1cosB)=
12、I+cosB,3 解得 cosB=.5 分5 a c 8(II)根据正弦定理得sinA+sinC=+=I,即 a+c=2,由(I)知 b=由余弦定理得2 2 5 2 16.16 b2=a2+c2 2accosB=(a+c)ac=4ac,5 5 3又因为cosB=，所以5 4 1.9sin B=i.S MBc=ac sin B=面12 分18.(1)频率分布直方图如下图所示：4分(2)根据以上数据，该家庭使用节水龙头后50 天日用水晕小千9 解得 ac=-10 分20 0.35m3 的频率为0.2x0.1+1 x0.1+2.6x0.1+2x0.05=0.48;因此该家庭使用节水龙头后日用水量小千
13、 0.35m3 的概率的估计值为0.48;7分(3)该家庭未使用节水龙头50 天日用水量的平均数为猿平1_J-,-T-r7J_T_T_T_7-门r广L，卜rLL卜1L,rt 一420864,0864,08 33j,?221111100 0.1 0.2 O.l O.0.5 0.6日用水虽ml (0.05 X 1+0.15 X 3+0.25 X 2+0.35 X 4+0.45 X 9+0.55 X 26+0.65 X 5)=0.489 分50 该家庭使用了节水龙头后 50 天日用水晕的平均数为l 2 x=(0.05 x 1+0.15 x 5+0.25 x 13+0.35 x 10+0.45 x 1
14、6+0.55 x 5)=0.35.11 分50 们十使用节水龙头后，一年可节省水(0.48 0.35)X 365=47.45(m3).12 分19.解：（l）证明：连接PM,在 RtMAB 中，PB=23,PC=4,所以PA=2.因为点 M 是 AB的中点，所以 BM=PM=2.1 分冗在 Af3MC中，卫BC=,BM=2,BC=4,由余弦定理，有 CM=23,3 所以 BM2+CM2=BC2,所以 AB _l_CM.3 分第1页共4页在欧MC 中，PM=2,CM=23,PC=4满足PC 2=CM2+PM气所以PM.lCM.5分又ABnPM=M,AB、PMc平面PAB，所以 CM.l平面PAB
15、.6分(2)四面体PMND的体积即三棱锥P-MND的体积7分因为 CM.l平面PAB,且 CMc平面ABCD,所以平面PAB.l平面ABCD,作PH.lAB交AB千H，且平面PAB门平面ABCD=AB,又PHc平面PAB,所以PH.l平面ABCD.9分PA-PB 在欧AB中，PH=J，即三棱锥P-MND的高为3.AB.1 0分l l 因为MC上CD,所以在丛ND中，S凶ND=MC-ND=2$2=2$11分2 2 l l 所以V三棱锥P-MND丛爪D=S PH一2$-2,3 3 即四面体PMND的体积为 2.12 分2 0.(1)设p(t 2,2t),(t=I-0)，则M坐标为(-1,2t),:
16、.MF中 点坐标为(0,t),kMF=-t又:1PM I=IPFI,:.PMF为等腰三角形，乙MPF的角平 分线即为MF中垂线1:.l的方 程 为y=.:.x+t 2分l,y=.!_x+t联 立t，得 y 2-4 ty+4 t 2=0.3分lY=4 x =I 6t 2-I 6t 2=0 4分.l与抛 物 线只有 一 个交点(2)设点N(-1,m)，由题意可知，NP,NQ为抛物线y2=4x 的两条切线先证过抛物线上一 点K(xo,yo)且与抛物线相切的方程为yy。=2(x+xo),.5分1 证明：因为K(xo,yo)在抛物线上，所以y矿4xo,不妨设y。O,y=2嘉勹因此y=，所以切线方程为 l
17、 2 y y 尸(x-xo)，所以y yo=(x XO)，化简得：炒o=2(x+xo).Fo V/UO J JV y。7分因此，设 P(x1,y1),Q(x 2,y 2),则根据上述结论可知：NP:yy1=2(x+x1),NQ:yy 2=2(x心），I,my1=2(x1-1)因为NP,NQ都过点N(l,m)，带入上式得：;y=2(2-;)所以可知 点 P,Q都在直线my=2(x-l)I my 2=2(x 21)上，因此直线 PQ 的方程为my=2(x-1).8分r my=2(x 1)联立，得y2-2my-4=O,L1=4m 2+16 0 9分y 2=4x IPQ|厂/仇 Y2:二=4+m 24
18、 4 点N到直线PQ距离d=旷41 二 11 分1:.s.NPQ=-(4+m 2)2,:.当m=O时，丛PQ面积有最小值4.12 分第2页共4页21 解：（1)F(x)=x22x aln x+ax,F(x)=2x2+(a 2)x a(2x+a)(x 1)=.1分X X:F(X)的定义域为（O,+oo).:a 0,则 0:.F(x)=O，有X=?（舍去），x=l,2 分2 2 F(x)在(0,1)上递减，F(x)在（l,+oo）上递增，F(x)极小 a I,F(x)无极大值4分sin xI+2cos x(2)设h(x)=axXE 0,2冗,h(x)=a 5分.2+COSX(2+cos x)设t=
19、cosx则 tE1,I,qJ(t)I+2t2(t+2)(t 1)2(t 1)(j)(t)=矿(t)=玄0,7分(2+t)（2+t)4(2+t)3：叩）在1,1 上递增，叩）的值域为飞，8分当 a?时，h(x)?o,h(x)为o,+oo上的增函数，h(x)?h(O)=0,适合条件 9分当年0时，？h勹 a 竺上 0,不适合条件10分2 J2 2 l 当Oa 时，对千 Ox 三，h(x)ax sinx 3 2 3令 T(x)=ax T,T(x)=a CO3sx，存在 XE(气），使得XE(0,x。)时，T(x)0,:.T(x)在(o,x。)上单调递减，:.T(x。)T(O)=O,即在 xE(o,x
20、。)时，h(x)O,不适合条件沪l 邓上，a 的取值范围为,00).12 分3 l22.解：（1)消去参数 t得仙线C 的直角坐标方程为 y 2=(x 1)，即 X 2y+3=0把 x=pcosO 代入矿 6psin0,仙线 C2 的直角坐标方程为x2+y2 6y=05分y=psin0(2)圆心到直线 AB 的距离为d=102x3+31 3汇言了 圆上动点 P 到弦 AB 的距离的最大值为d+r=+3 3 解法 1：弦长 AB=2护了 2f勹丿；l l l2 3 1 8 五PAE的面积s 的最大值为ABld x x 2飞 7sx(T5+3J=(1句10分解法 2:设圆 c2 上动点 P(3co
21、s0,3+3sin0),P 到直线C 的距离3cos0 2(3+3sin0)+36 sin 0+3 cos 0 335 sin(0 份）3d=3:;3-t 森忑J5 第3页共4页化C 的参数方程为2 X=I+t 代入x2+y2 6y=O得，ly=2+7:t 森2 t2+t7=0森劂t呫 7则AB=t飞 嘉勹勹 厂 4x(7)l,._,.1 12/3 五PAE的面积 s 的最大值为 ABld=XX+3 18(I+2 2 S芯52x 2,X I 当x 3时，2x 228,解得x:=;5;当x1时，2x+228,解得x23综上，原不等式的解集为(OO,5U 3,+oo)-5分b b(2)因为Ia I
22、 1,I b I 1,所以f(ab)=I ab l I=1 ab,lalf()|a|ll=lb al a a b 令m=f(ab)|alf()1 ab|b a I,-7分a 若b a,则m=lab|b a I=(1 a)(l+b),b因为Ia I 1,I b IO,所以J(ab)la If();9分若b2a,则m=lab|b a I=(1+a)(l b)a b b 因为Ia I 1,I b IO,所以J(ab)la If()综上所述，J(ab)la If()10分a a 第4页共4页第 1 页 共 4 页20232024 学年度高 2024 届半期考试数学参考答案（文科）一、选择题题号1234
23、56789101112选项BBBDCAADBCAA二、填空题13.13514.9515.219116.三解答题：17()4cos1Bb，根据正弦定理得4cos1sin2BB,即BBcos12sin，代入1cossin22BB，即 BBBBcos1cos1cos1cos1422,由于0cos1B，即 BBcos1cos14，解得53cosB.5 分()根据正弦定理得122sinsincaCA，即2 ca，由()知58b.由余弦定理得acaccaBaccab5164516cos22222，解得209ac.10 分又因为53cosB，所以54sinB.509sin21BacS ABC.12 分18（
24、1）频率分布直方图如下图所示：4 分（2）根据以上数据，该家庭使用节水龙头后50 天日用水量小于30.35m 的频率为0.2 0.1 1 0.12.6 0.12 0.050.48 ；因此该家庭使用节水龙头后日用水量小于30.35m 的概率的估计值为 0.48；7 分（3）该家庭未使用节水龙头50 天日用水量的平均数为11 0.05 1 0.15 30.25 20.35 40.45 90.55 260.65 50.4850 x 9 分该家庭使用了节水龙头后 50 天日用水量的平均数为21 0.05 1 0.15 50.25 130.35 100.45 160.55 50.3550 x 11 分估
25、计使用节水龙头后，一年可节省水30.480.3536547.45 m12 分19解：(1)证明：连接 PM，在 Rt PAB中，2 3PB，4PC，所以2PA.因为点 M 是 AB 的中点，所以2BMPM.1 分在 BMC中，3MBC，2BM，4BC，由余弦定理，有2 3CM，所以222BMCMBC，所以 ABCM.3 分#QQABLYCUggigAhAAAAhCAw1wCEIQkBCCAIoOAEAMoAABgQNABAA=#QQABLYCUggigAhAAAAhCAw1wCEIQkBCCAIoOAEAMoAABgQNABAA=#第 3 页 共 4 页21.解：（1）22lnF xxxaxa
26、x，222xaxaFxx21xaxx，1 分 F x 的定义域为0,0,02aa 则()0,()1,2aF xxx 有舍去，2 分 F x 在0,1 上递减，F x 在1,上递增，1F xa极小，F x 无极大值4 分（2）设 sin2cosxh xaxx0,2 x，212cos2cosxh xax，5 分设costx，则1,1t ，2122ttt，42212tttt32102tt，7 分 t在1,1上递增，t的值域为11,3，8 分当13a时，0h x，h x 为0,上的增函数，00h xh，适合条件9 分当0a 时，10222ha，不适合条件10 分当103a时，对于 02x，sin3xh
27、 xax，令 sin3xT xax，cos3xTxa，存在0,2x，使得00,xx时，0Tx，T x 在00,x上单调递减，000T xT，即在00,xx时，0h x，不适合条件综上，a 的取值范围为 1,312 分22解：（1）消去参数t，得曲线1C 的直角坐标方程为1212yx,即230.xy把cossinxy代入26 sin，曲线2C 的直角坐标方程为2260 xyy.5 分（2）圆心到直线 AB 的距离为2|02 33|351+2d 圆上动点 P 到弦 AB 的距离的最大值为3+35d r 解法 1：弦长2222312AB22 355rd PAB的面积S 的最大值为1112318AB
28、d=+31+5.2255510 分解法 2：设圆2C 上动点(3cos,33sin)P,P 到直线1C 的距离3 5 sin()33cos2(33sin)+36sin3cos3335555d#QQABLYCUggigAhAAAAhCAw1wCEIQkBCCAIoOAEAMoAABgQNABAA=#第 4 页 共 4 页化1C 的参数方程为215125xtyt 代入2260 xyy得，22705tt则 121 22,75ttt t 则2212121 221244(7)55ABttttt t PAB的面积S 的最大值为1112318AB d=+31+5.2255523.解：（1）22,3()(4)
29、|1|3|4,3122,1xxf xf xxxxxx-3 分当3x 时，228x，解得5x ；当1x 时，228x，解得3x 综上，原不等式的解集为(,53,)-5 分（2）因为|1,|1ab，所以()|1|1,f ababab|()|1|bba fabaaa令()|()1|bmf aba fabbaa，-7 分若ba，则1|(1)(1)mabbaab，因为|1,|1ab，所以0m，所以()|()bf aba f a；-9 分若ba，则1|(1)(1)mabbaab，因为|1,|1ab，所以0m，所以()|()bf aba f a综上所述，()|()bf aba f a-10 分#QQABLYCUggigAhAAAAhCAw1wCEIQkBCCAIoOAEAMoAABgQNABAA=#
