1、章末检测(三)圆锥曲线的方程(时间：120分钟满分：150分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1抛物线y2x2的焦点坐标是()A.B.C. D.解析：选C抛物线的标准方程为x2y，焦点在y轴上，焦点坐标为.2已知双曲线1(a0，b0)的两条渐近线互相垂直，则该双曲线的离心率是()A2 B.C. D.解析：选C由题可知yx与yx互相垂直，可得1，则ab.由离心率的计算公式，可得e22，e.3设椭圆1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为B.若|BF2|F1F2|2，则该椭圆的方程为()A.1 B.y21C.y21
2、D.y21解析：选A|BF2|F1F2|2，a2c2，a2，c1，b.椭圆的方程为1.4设P是双曲线1(a0)上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x2y0，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF1|3，则|PF2|()A1或5 B6C7 D8解析：选C双曲线1的一条渐近线方程为3x2y0，故a2.又P是双曲线上一点，故|PF1|PF2|4，而|PF1|3，则|PF2|7.5黄金分割起源于公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派，公元前4世纪，古希腊数学家欧多克索斯第一个系统研究了这一问题，公元前300年前后欧几里得撰写几何原本时吸收了欧多克索斯的研究成果，进一步系统论述了黄金分割，成为最早的有关
3、黄金分割的论著黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值为，把称为黄金分割数已知双曲线1的实轴长与焦距的比值恰好是黄金分割数，则实数m的值为()A22 B.1C2 D2解析：选A在双曲线1中，a2(1)2，b2m，所以c2a2b2(1)2m.因为双曲线的实轴长与焦距的比值为黄金分割数，则，所以，所以，解得m22.故选A.6抛物线y24x的焦点为F，准线为l，经过点F且斜率为的直线l1与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AKl，垂足为K，则AKF的面积是()A4 B3C4 D8解析：选Cy24x，焦点F(1，0)，准线l：x1，过焦点F且斜率为的直线
4、l1：y(x1)，将其与y24x联立，解得x3或x(舍)，故A(3，2)，|AK|4，SAKF424.故选C.7已知双曲线C1：1(a0，b0)的一个焦点F与抛物线C2：y22px(p0)的焦点相同，C1与C2交于A，B两点，且直线AB过点F，则双曲线C1的离心率为()A. B.C2 D.1解析：选D由图形的对称性及题设条件得AFx轴，且c，则p2c.不妨设交点A，代入y22px可得y1p，故A，代入双曲线方程可得1，即e21，即e21，由此可得(e21)24e2，即e212e，所以e1(负值舍去)故选D.8已知中心在坐标原点的椭圆和双曲线有公共焦点(左、右焦点分别为F1，F2)，它们在第一象
5、限的交点为P，PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形若|PF1|10，椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2，则e1e2的取值范围是()A(0，) B.C. D.解析：选B设椭圆的长轴长为2a，双曲线的实轴长为2m，焦距为2c，则有得|PF2|am.又|PF2|F1F2|2c，所以am2c.又由e1，e2，得a，m，从而有2c，得e2，从而e1e2e1.由e21，且e2，可得e1.令12e1t，则e1e2.又f(t)t2在上为减函数，则当0tf.故e1e2.二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得3
6、分，有选错的得0分)9已知曲线C：mx2ny21，则下列说法正确的有()A若mn0，则C是椭圆，其焦点在y轴上B若mn0，则C是圆，其半径为C若mn0，则C是两条直线解析：选ACD对于选项A，mn0，00，方程mx2ny21可变形为x2y2，该方程表示半径为的圆，错误；对于选项C，mn0，方程mx2ny21变形为ny21y，该方程表示两条直线，正确综上选A、C、D.10已知椭圆C1：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e1，椭圆C1的上顶点为M，且0，双曲线C2和椭圆C1有相同焦点，且双曲线C2的离心率为e2，P为曲线C1与C2的一个公共点若F1PF2，则下列各项正确的是()A.
7、2 Be1e2Cee Dee1解析：选BD因为0且|，所以MF1F2为等腰直角三角形设椭圆的半焦距为c，则cba，所以e1.在焦点三角形PF1F2中，F1PF2，设|PF1|x，|PF2|y，双曲线C2的实半轴长为a，则故xyc2，故(xy)2x2y2xyxy，所以(a)2，即e2，故，e1e2，ee2，ee1，故选B、D.11设F为抛物线C：y23x的焦点，过F且倾斜角为30的直线交C于A，B两点，则()A|AB|12 B.CyAyB3 DxAxB3解析：选AB抛物线C：y23x的焦点为F，所以AB所在的直线方程为y.将y代入y23x，整理得x2x0.设A(xA，yA)，B(xB，yB)，由
8、根与系数的关系得xAxB，xAxB，故D错误yy3xA3xB9xAxB，yAyB，故C错误xAxByAyB，故B正确由抛物线的定义可得|AB|xAxBp12，故选A、B.12设圆锥曲线的两个焦点分别为F1，F2.若曲线上存在点P满足|PF1|F1F2|PF2|432，则曲线的离心率等于()A. B2C. D.解析：选AC设圆锥曲线的离心率为e，由|PF1|F1F2|PF2|432，知若圆锥曲线为椭圆，则由椭圆的定义，得e；若圆锥曲线为双曲线，则由双曲线的定义，得e.综上，所求的离心率为或.故选A、C.三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中横线上)13以双曲线1的焦点为顶
9、点，顶点为焦点的椭圆方程为_解析：双曲线焦点(4，0)，顶点(2，0)，故椭圆的焦点为(2，0)，顶点(4，0)答案：114已知二次曲线1，当m2，1时，该曲线的离心率的取值范围是_解析：m2，1，曲线方程化为1，曲线为双曲线，e.m2，1，e.答案：15已知F是双曲线C：x21的右焦点，P是双曲线C左支上的一点，且点A的坐标为(0，6)，则APF的周长最小为_，此时其面积为_解析：设双曲线的左焦点为F1，由双曲线方程x21可知，a1，c3，故F(3，0)，F1(3，0)当点P在双曲线左支上运动时，由双曲线定义知|PF|PF1|2，所以|PF|PF1|2，从而APF的周长为|AP|PF|AF|
10、AP|PF1|2|AF|.因为|AF|15为定值，所以当|AP|PF1|最小时，APF的周长最小由图可知，此时点P为线段AF1与双曲线的交点，则APF的周长为|AP|PF1|2|AF|21532.由题意可知直线AF1的方程为y2x6.由消去x，得y26y960，解得y2或y8(舍去)，所以SAPFSAF1FSPF1F666212.答案：321216设直线ykx2与抛物线y28x交于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为2，则|AB|_解析：由题意知，k0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)由得k2x2(4k8)x40.所以x1x2，x1x2.由(4k8)216k20，可得k1，且k0.由题意知
11、4，解得k2，从而x1x24，x1x21.所以|AB|2.答案：2四、解答题(本大题共6小题，共70分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)已知抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线1(a0，b0)的一个焦点，并且这条准线与双曲线的两焦点的连线垂直，抛物线与双曲线交于点P，求抛物线的方程和双曲线的方程解：依题意，设抛物线的方程为y22px(p0)，点P在抛物线上，62p.p2，所求抛物线的方程为y24x.双曲线的左焦点在抛物线的准线x1上，c1，即a2b21，又点P在双曲线上，1，解方程组得或(舍去)所求双曲线的方程为4x2y21.18(本小题满分12分)已知抛
12、物线C：y22px(p0)的焦点为F(1，0)，抛物线E：x22py的焦点为M.(1)若过点M的直线l与抛物线C有且只有一个交点，求直线l的方程；(2)若直线MF与抛物线C交于A，B两点，求OAB的面积解：(1)因为抛物线C：y22px(p0)的焦点为F(1，0)，抛物线E：x22py的焦点为M，所以p2，M(0，1)当直线l的斜率不存在时，其方程为x0，满足题意当直线l的斜率存在时，设方程为ykx1，代入y24x，得k2x2(2k4)x10.当k0时，x，满足题意，直线l的方程为y1；当k0时，令(2k4)24k20，解得k1，所以直线l的方程为yx1.综上，直线l的方程为x0或y1或yx1
13、.(2)结合(1)知抛物线C的方程为y24x，直线MF的方程为yx1.联立得y24y40，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y24，y1y24，所以|y1y2|4，所以SOAB|OF|y1y2|2.19(本小题满分12分)已知椭圆C1：1(ab0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|CD|AB|.(1)求C1的离心率；(2)设M是C1与C2的公共点若|MF|5，求C1与C2的标准方程解：(1)由已知可设C2的方程为y24cx，其中c.不妨设A，C在第一象限，由题设得A，B的纵坐标分别为，；C，D
14、的纵坐标分别为2c，2c，故|AB|，|CD|4c.由|CD|AB|得4c，即322.解得2(舍去)，.所以C1的离心率为.(2)由(1)知a2c，bc，故C1：1.设M(x0，y0)，则1，y4cx0，故1.由于C2的准线为xc，所以|MF|x0c，而|MF|5，故x05c，代入得1，即c22c30，解得c1(舍去)，c3.所以C1的标准方程为1，C2的标准方程为y212x.20(本小题满分12分)双曲线C：1(a0，b0)的左顶点为A，右焦点为F，动点B在C上当BFAF时，|AF|BF|.(1)求C的率心率；(2)若B在第一象限，证明：BFA2BAF.解：(1)设双曲线的半焦距为c，则F(
15、c，0)，B，因为|AF|BF|，故ac，故c2ac2a20，即e2e20，故e2.(2)证明：设B(x0，y0)，其中x0a，y00.因为e2，故c2a，ba，故渐近线方程为yx，所以BAF，BFA，又tanBFA，tanBAF，所以tan 2BAFtanBFA，因为2BAF，故BFA2BAF.21(本小题满分12分)已知直线yx1与椭圆1(ab0)相交于A，B两点(1)若椭圆的离心率为，焦距为2，求线段AB的长；(2)若向量与向量互相垂直(其中O为坐标原点)，当椭圆的离心率e时，求椭圆长轴长的最大值解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)(1)离心率e，2c2，a，则b，椭圆的方程为1.将
16、yx1代入椭圆的方程，消去y得5x26x30，其中0.由根与系数的关系得x1x2，x1x2，|AB|x1x2| .(2)，0，即x1x2y1y20.由消去y得(a2b2)x22a2xa2(1b2)0.由(2a2)24a2(a2b2)(1b2)0，整理得a2b21.又x1x2，x1x2，y1y2(x11)(x21)x1x2(x1x2)1.由x1x2y1y20，得2x1x2(x1x2)10.10，整理得a2b22a2b20.b2a2c2a2a2e2，代入上式得2a21，a2.e，e2，1e2，2，13，a2，符合条件a2b21，由此得a，2a.故椭圆长轴长的最大值为.22(本小题满分12分)已知A
17、，B分别为椭圆E：y21(a1)的左、右顶点，G为E的上顶点，8.P为直线x6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D.(1)求E的方程；(2)证明：直线CD过定点解：(1)由题设得A(a，0)，B(a，0)，G(0，1)则(a，1)，(a，1)由8得a218，即a3.所以E的方程为y21.(2)证明：设C(x1，y1)，D(x2，y2)，P(6，t)若t0，设直线CD的方程为xmyn，由题意可知3n3.由于直线PA的方程为y(x3)，所以y1(x13)直线PB的方程为y(x3)，所以y2(x23)可得3y1(x23)y2(x13)由于y1，故y，可得27y1y2(x13)(x23)，即(27m2)y1y2m(n3)(y1y2)(n3)20.将xmyn代入y21得(m29)y22mnyn290.所以y1y2，y1y2.代入式得(27m2)(n29)2m(n3)mn(n3)2(m29)0.解得n3(舍去)或n.故直线CD的方程为xmy，即直线CD过定点.若t0，则直线CD的方程为y0，过点.综上，直线CD过定点.
