1、第二课时均值不等式的应用新课程标准解读核心素养1.熟练掌握利用均值不等式求函数的最值问题数学抽象、逻辑推理2.会用均值不等式求解实际应用问题数学建模、数学运算某养殖场要用100米的篱笆围成一个矩形的鸡舍问题怎样设计才能使鸡舍面积最大？知识点均值不等式与最值已知x0，y0，则(1)若xys(和为定值)，则当xy时，积xy取得最大值；(2)若xyp(积为定值)，则当xy时，和xy取得最小值2.即：当两个正数的积为常数时，它们的和有最小值；当两个正数的和为常数时，它们的积有最大值在应用均值不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件：一正、二定、三相等，这三个条件缺一不可(1)一正：符合均值不等式成立
2、的前提条件，a0，b0；(2)二定：化不等式的一边为定值；(3)三相等：必须存在取“”的条件，即“”成立 x的最小值是2吗？提示：当x0时，x的最小值是2.当x0，那么a2的最小值是_解析：因为a0，所以a22 2224，当且仅当a，即a1(1舍)时取等号答案：42已知0x1，则x(1x)的最大值为_，此时x_解析：因为0x0，所以x(1x)，当且仅当x1x，即x时“”成立，即当x时，x(1x)取得最大值.答案：利用均值不等式求最值例1(链接教科书第75页例4)(1)若x0，则12x的最小值为_；(2)已知x2，则x的最小值为_；(3)若0x0，所以12x2 4，当且仅当12x，即x时等号成立
3、所以12x的最小值为4.(2)因为x2，所以x20，所以xx22226，当且仅当x2，即x4时，等号成立所以x的最小值为6.(3)因为0x0，所以x(12x)2x(12x)，当且仅当2x12x，即当x时等号成立，所以x(12x)的最大值为.答案(1)4(2)6(3)利用均值不等式求最值的方法利用均值不等式，通过恒等变形及配凑，使“和”或“积”为定值常见的变形方法有拆、并、配(1)拆裂项拆项对分子的次数不低于分母次数的分式进行整式分离分离成整式与“真分式”的和，再根据分式中分母的情况对整式进行拆项，为应用均值不等式凑定积创造条件；(2)并分组并项目的是分组后各组可以单独应用均值不等式，或分组后先
4、对一组应用均值不等式，再在组与组之间应用均值不等式得出最值；(3)配配式配系数有时为了挖掘出“积”或“和”为定值，常常需要根据题设条件采取合理配式、配系数的方法，使配式与待求式相乘后可以应用均值不等式得出定值，或配以恰当的系数后，使积式中的各项之和为定值 跟踪训练(1)已知x0，求函数y的最小值；(2)已知0x0)的最小值为9.(2)0x0.yx(13x)3x(13x)，当且仅当3x13x，即x时，等号成立当x时，函数取得最大值.利用均值不等式求条件最值例2已知x0，y0，且满足1.求x2y的最小值解x0，y0，1，x2y(x2y)1010218，当且仅当即时，等号成立，故当x12，y3时，(
5、x2y)min18.常数代换法求最值的方法步骤(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)；(2)把确定的定值(常数)变形为1；(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式；(4)利用均值不等式求最值 跟踪训练已知a0，b0，a2b1，求的最小值解：1(a2b)1233232，当且仅当即时等号成立的最小值为32.利用均值不等式解应用题例3某印刷品，其排版面积(矩形)为432 cm2，它的左、右都留有4 cm的空白，上、下都留有3 cm的空白问：排版面积长、宽各设计成多少厘米时，用纸最省？试求出此时纸面的面积解如图所示，设排版面积长为x(cm)，宽为y(cm)，则印刷品
6、用纸的长为(x8)cm，宽为(y6)cm，其面积为S，则Sxy6x8y48432486x8y48024802768(cm2)当且仅当6x8y时，等号成立，即6x28xy8432，x2576，x24，y18，纸面长为x832(cm)，纸面宽为y624(cm)，这张纸面的面积为768 cm2.求实际问题中最值的4步骤(1)先读懂题意，设出变量，理清思路，列出函数关系式；(2)把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题；(3)在定义域内，求函数的最大值或最小值时，一般先考虑均值不等式，当均值不等式求最值的条件不具备时，再考虑函数的单调性；(4)正确写出答案 跟踪训练某货轮匀速行驶在相距300海里的甲、
7、乙两地间运输货物，运输成本由燃料费用和其他费用组成已知该货轮每小时的燃料费用与其航行速度的平方成正比(比例系数为0.5)，其他费用为每小时800元，且该货轮的最大航行速度为50海里/时(1)请将该货轮从甲地到乙地的运输成本y(元)表示为航行速度x(海里/时)的函数；(2)要使从甲地到乙地的运输成本最少，该货轮应以多大的航行速度行驶？解：(1)由题意，每小时的燃料费用为0.5x2元，从甲地到乙地所用的时间为小时，则y0.5x2800150(00，30，(abc)339.1设x0，则33x的最大值是( )A3B32C1 D32解析：选Dx0，3x22，当且仅当x时取等号，2，则33x32，故选D.
8、2已知(x1)在xt时取得最小值，则t等于( )A1 B2C3 D4解析：选Bxx11213，当且仅当x1，即x2时，等号成立3将一根铁丝切割成三段做一个面积为2 m2、形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是( )A6.5 m B6.8 mC7 m D7.2 m解析：选C设两直角边分别为a，b，直角三角形的框架的周长为l，则ab2，ab4，lab2426.828(m)要求够用且浪费最少，故选C.4已知正数a，b满足a2b2，则的最小值为_解析：(a2b)(42)4.当且仅当即a1，b时等号成立，的最小值为4.答案：45设计用32 m2的材料制造某种长方体车厢(无盖)，按交通法规定厢宽为2 m，则车厢的最大容积是_ m3.解析：设车厢的长为b m，高为a m.由已知得2b2ab4a32，即b，Va22.设a1t，则V2216，当且仅当t3，即a2，b4时等号成立答案：168
