1、21.2一元二次方程的解集及其根与系数的关系新课程标准解读核心素养1.能利用判别式的值判定一元二次方程根的个数数学运算2.会利用一元二次方程根与系数的关系进行计算求值及求参数的取值范围数学运算今天是小芳的生日，她的4个小伙伴约好为她举办一个生日晚会，邻居张叔叔路过晚会现场，想了解一下他们的年龄小芳说：我是最小的，我们5个的年龄从小到大依次恰好相差1岁小明说：我们中较大的两个的年龄的平方和恰好等于较小的三个人的年龄的平方和张叔叔说：“我可以算出小芳的年龄了”问题张叔叔是怎样算出小芳年龄的？知识点一一元二次方程的解集一般地，b24ac称为一元二次方程ax2bxc0(a0)的判别式(1)当0时，方程
2、的解集为；(2)当0时，方程的解集为；(3)当0，方程2x25x30有两个不相等的实数根故选A.2若关于x的一元二次方程x24xk0有两个实数根，则k的取值范围是_解析：因为一元二次方程x24xk0有两个实数根，所以164k0，即k4.答案：(，4知识点二一元二次方程根与系数的关系若一元二次方程ax2bxc0(a0)的解集不是空集，设x1，x2是该一元二次方程的两个根，则x1x2，x1x21已知一元二次方程的两根分别是4和5，则这个一元二次方程可以是()Ax26x80Bx29x10Cx2x60 Dx2x200解析：选D设所求方程为ax2bxc0(a0)，则由题意，可得4(5)，4(5)，即1，
3、20，验证四个选项，只有D项符合条件2已知m，n是方程2x2x20的两个实数根，则的值为()A1 B.C D1解析：选C因为m，n是方程2x2x20的两个实数根，所以mn，mn1，所以.故选C.3若2和5为一元二次方程x2bxc0的两根，则b，c的值分别等于_解析：由一元二次方程根与系数的关系，可得解得答案：3，10一元二次方程解集的求法角度一直接开平方法例1用直接开平方法求下列一元二次方程的解集：(1)4y2250；(2)3x2x15x.解(1)移项，得4y225.两边都除以4，得y2.解得y1，y2，所以原一元二次方程的解集是.(2)移项，合并同类项，得3x215.两边都除以3，得x25，
4、解得x1，x2.所以原一元二次方程的解集是，应用直接开平方法求一元二次方程解集的主要步骤(1)化为x2p(p0)的形式；(2)直接开平方；(3)解两个一元一次方程，写出方程的两个根；(4)总结写成解集的形式 角度二配方法例2用配方法求下列方程的解集：(1)x24x10；(2)4x28x10.解 (1)x24x10，x24x1，x24x414，(x2)25，x2，x12，x22.原一元二次方程的解集是2，2(2)移项，得4x28x1.二次项系数化为1，得x22x，配方，得x22x1212，即(x1)2.x1.x11，x21，原一元二次方程的解集是.利用配方法解一元二次方程ax2bxc0(a0)，
5、先把二次项系数变为1，即方程两边都除以a，然后把常数项移到方程右边，再把方程两边加上一次项系数一半的平方，把方程的一边配方化为一个完全平方式，另一边化为非负数，然后用直接开平方法求解(若另一边为负数，则此方程无实数根) 角度三公式法例3用公式法求下列方程的解集：(1)x24x100；(2)x2x0.解(1)a1，b4，c10，b24ac(4)2411080，x2，x12，x22.原一元二次方程的解集是2，2(2)方程两边都乘以8，得4x24x10.a4，b4，c1，b24ac424410，x，x1x2.原一元二次方程的解集是.利用公式法解一元二次方程时，首先将方程化为一般形式，找出二次项系数，
6、一次项系数及常数项，计算b24ac的值；当b24ac0时，把a，b，c的值代入求根公式即可求出原方程的解，然后总结写出解集 跟踪训练1用直接开平方法求下列一元二次方程的解集：(1)(x1)212；(2)(6x1)2250.解：(1)直接开平方，得x12，x121，x221.原一元二次方程的解集是21，21(2)移项，得(6x1)225.开平方，得6x15，x11，x2.原一元二次方程的解集是.2用配方法求下列方程的解集：(1)x232x；(2)2x25x0.解：(1)移项，得x22x3.配方，得x22x()23()2，即(x)20.x1x2，原一元二次方程的解集是(2)移项，得2x2x5.二次
7、项系数化为1，得x2x.配方，得x2x.x.x1，x2，原一元二次方程的解集是.3用公式法求下列方程的解集：(1)x232x；(2)3x26x1.解：(1)将方程化为一般形式为x22x30.a1，b2，c3，b24ac(2)241340，原方程没有实数根原一元二次方程的解集是.(2)将方程化为一般形式为3x26x10，a3，b6，c1，b24ac62431240，x，x1，x2.原一元二次方程的解集是.一元二次方程根的判别式例4不解方程，判断下列一元二次方程的解集情况(1)3x22x10；(2)2x2x10；(3)4xx2x22.解(1)(2)243(1)160，方程有两个不相等的实数根，方程
8、的解集中有两个元素(2)(1)242170，方程没有实数根，方程的解集为空集(3)方程整理为x22x10, (2)24110, 方程有两个相等的实数根，方程的解集中有一个元素一元二次方程ax2bxc0(a0)根的判别式b24ac.当0时，方程有两个不相等的实数根；当0时，方程有两个相等的实数根；当0时，方程没有实数根 跟踪训练下列一元二次方程中，解集为空集的是( )Ax22x0Bx24x10C2x24x30 D3x25x2解析：选C利用根的判别式b24ac分别进行判定即可A项：(2)241040，有两个不相等的实数根，故此选项不合题意；B项：4241(1)200，有两个不相等的实数根， 故此选
9、项不合题意；C项：(4)242380，没有实数根，故此选项符合题意；D项：(5)243210，有两个不相等的实数根，故此选项不合题意故选C. 一元二次方程根与系数的关系角度一直接应用根与系数的关系进行计算例5(链接教科书第50页例2)已知一元二次方程x23x10的两根分别是x1，x2，请利用根与系数的关系求：(1)xx；(2).解根据一元二次方程根与系数的关系，得x1x23，x1x21.(1)xx(x1x2)22x1x2(3)22(1)11.(2)3.在求含有一元二次方程两根的代数式的值时，利用根与系数的关系解题可起到化难为易、化繁为简的作用在计算时，要先根据原方程求出两根之和与两根之积，再将
10、代数式变形为局部含有两根之和与两根之积的形式，然后代入求值常见变形还有：(1)(x1x2)2(x1x2)24x1x2；(2)|x1x2|. 角度二求字母系数的值或范围例6已知关于x的方程x2(k1)xk210，根据下列条件，求出k的值(1)方程两实根的积为5；(2)方程的两实根x1，x2，满足|x1|x2.解(k1)242k3，0，k.(1)设方程的两个根为x1，x2，x1x2k215，k216，k4或k4(舍去)(2)若x10，则x1x2，0，k.方程为x2x0，x1x20满足若x10，所以此时方程有两个不相等的实数根，C错误；当m2时，方程化为2x24x30，因为(4)242380，所以此
11、时方程无实数根，D错误故选A、B.3一元二次方程3x212x5的两个实数根的和与积分别是()A.，2 B.，2C，2 D，2解析：选B设这个一元二次方程的两个实数根分别为x1，x2，方程3x212x5化为一元二次方程的一般形式为3x22x60.a3，b2，c6，x1x2，x1x22.故选B.4将方程x22x3化为(xm)2n的形式，则m，n分别是_解析：x22x3，配方得x22x14, 即(x1)24，m1，n4.答案：1，45关于x的一元二次方程(m5)x22x20有实数根，则m的最大整数值是_解析：关于x的一元二次方程(m5)x22x20有实数根，48(m5)0，且m50，解得m5.5，且m5，m的最大整数值是4.答案：49
