1、专题二函数、导数与不等式第一讲导数与函数的零点问题1(2018全国卷)已知函数f(x)exax2.(1)若a1，证明：当x0时，f(x)1；(2)若f(x)在(0，)只有一个零点，求a.解：(1)证明：当a1时，f(x)1等价于(x21)ex10.设函数g(x)(x21)ex1，则g(x)(x22x1)ex(x1)2ex.当x1时，g(x)0，h(x)没有零点；当a0时，h(x)ax(x2)ex.当x(0,2)时，h(x)0.所以h(x)在(0,2)单调递减，在(2，)单调递增故h(2)1是h(x)在(0，)的最小值()若h(2)0，即a，h(x)在(0，)没有零点()若h(2)0，即a，h(
2、x)在(0，)只有一个零点()若h(2)，因为h(0)1，所以h(x)在(0,2)有一个零点；由(1)知，当x0时，exx2，所以h(4a)11110，故h(x)在(2,4a)有一个零点因此h(x)在(0，)有两个零点综上，当f(x)在(0，)只有一个零点时，a.2(2017全国卷)已知函数f(x)ae2x(a2)exx.(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围解：(1)f(x)的定义域为(，)，f(x)2ae2x(a2)ex1(aex1)(2ex1)若a0，则f(x)0，则由f(x)0得xln a.当x(，ln a)时，f(x)0.所以f(x)在(，ln a)上
3、单调递减，在(ln a，)上单调递增(2)若a0，由(1)知，f(x)至多有一个零点若a0，由(1)知，当xln a时，f(x)取得最小值，最小值为f(ln a)1ln a.()当a1时，由于f(ln a)0，故f(x)只有一个零点；()当a(1，)时，由于1ln a0，即f(ln a)0，故f(x)没有零点；()当a(0,1)时，1ln a0，即f(ln a)2e220，故f(x)在(，ln a)有一个零点设正整数n0满足n0ln，则f(n0)en0(aen0a2)n0en0n02n0n00.由于lnln a，因此f(x)在(ln a，)有一个零点综上，a的取值范围为(0,1). 明 考 情
4、 主要考查利用导数来判断函数的零点或方程根的个数，或者依据函数的零点、方程根的存在情况求参数的值(或取值范围)题型一讨论函数零点个数|析典例|【例】设函数f(x)ln x，mR.(1)当me(e为自然对数的底数)时，求f(x)的极小值；(2)讨论函数g(x)f(x)零点的个数解(1)函数的定义域为(0，)，当me时，f(x)ln x，则f(x)，令f(x)0，得xe，当x(0，e)时，f(x)0，f(x)在(e，)上单调递增当xe时，f(x)取得极小值f(e)ln e2，当me时，f(x)的极小值为2.(2)由题设知，g(x)f(x)(x0)，令g(x)0，得mx3x(x0)设(x)x3x(x
5、0)，则(x)x21(x1)(x1)，令(x)0，得x1或x1(舍)，当x(0,1)时，(x)0，(x)在(0,1)上单调递增；当x(1，)时，(x)时，函数g(x)无零点；当m时，函数g(x)有且只有一个零点；当0m时，函数g(x)无零点；当m或m0时，函数g(x)有且只有一个零点；当0m0时，求函数f(x)在区间(1，e2)上的零点个数解：(1)由f(x)2aln xx2(x0)，得f(x)2x.若a0，则f(x)0，f(x).当x(0，)时，f(x)0，当x(，)时，f(x)0，由(1)知，若1，即0a1，f(x)在(1，e2)上单调递减，且f(1)10，f(x)在(1，e2)上无零点；
6、若1e2，即1ae4，f(x)在(1，)上单调递增，在(，e2)上单调递减，且f(1)10，f()2aln aaln aa.若f()aln aa0，即1a0，即eae4时，f(e2)4ae4.当4ae40，即ae4时，f(x)在(1，e2)上有1个零点；当4ae40，即ea时，f(x)在(1，e2)上有2个零点；若e2，即ae4时，f(x)在(1，e2)上单调递增，又f(1)10，所以f(x)在(1，e2)上有1个零点综上，当0ae时，f(x)在(1，e2)上无零点；当a或ae时，f(x)在(1，e2)上有1个零点；当ea0，g(e)0，g(e)b0，解得b.当b时，x0时，g(x)0，故g(
7、x)在(0，e)上有两个零点实数b的取值范围是.| 规 律 方 法 |解决已知函数零点个数，求参数取值范围问题时，常从以下两个方面去思考(1)根据区间上零点的个数情况估计出函数图象的大致形状，从而推导出导数需要满足的条件，进而求出参数满足的条件(2)也可以先求导，通过求导分析函数的单调性情况，再依据函数在区间内的零点情况，推导出函数本身需要满足的条件，此时，由于函数比较复杂，常常需要构造新函数，通过多次求导，层层推理得解|练题点|1(2019辽宁锦州联考)已知函数f(x)exaxa(aR且a0)(1)若函数f(x)在x0处取得极值，求实数a的值；并求此时f(x)在2,1上的最大值；(2)若函数
8、f(x)不存在零点，求实数a的取值范围解：(1)由f(x)exaxa，得f(x)exa.函数f(x)在x0处取得极值，f(0)e0a0，a1.f(x)ex1.当x(，0)时，f(x)0，f(x)单调递增易知f(x)在2,0)上单调递减，在(0,1上单调递增，且f(2)3，f(1)e，f(2)f(1)，f(x)在2,1上的最大值为3.(2)f(x)exa，由于ex0，当a0时，f(x)0，f(x)是增函数，且当x1时，f(x)exa(x1)0.当x0时，取x，则f1aa0，函数f(x)存在零点，不满足题意；当a0时，令f(x)exa0，得xln(a)当x(，ln(a)时，f(x)0，f(x)单调
9、递增，xln(a)时，f(x)取得最小值函数f(x)不存在零点，等价于f(ln(a)eln(a)aln(a)a2aaln(a)0，解得e2a0.综上所述，所求实数a的取值范围是(e2,0)2(2019全国卷)已知函数f(x)sin xln(1x)，f(x)为f(x)的导数证明：(1)f(x)在区间存在唯一极大值点；(2)f(x)有且仅有2个零点证明：(1)设g(x)f(x)cos x，则g(x)sin x.结合g(x)的图象知，当x时，g(x)单调递减，而g(0)0，g0，可得g(x)在有唯一零点，设为.则当x(1，)时，g(x)0；当x时，g(x)0.所以g(x)在(1，)上单调递增，在上单
10、调递减，故g(x)在存在唯一极大值点，即f(x)在存在唯一极大值点(2)f(x)的定义域为(1，)当x(1,0时，由(1)知，f(x)在(1,0)上单调递增，而f(0)0，所以当x(1,0)时，f(x)0，故f(x)在(1,0)上单调递减又f(0)0，从而x0是f(x)在(1,0的唯一零点当x时，由(1)知，f(x)在(0，)上单调递增，在上单调递减，而f(0)0，f0，所以存在，使得f()0，且当x(0，)时，f(x)0；当x时，f(x)0.故f(x)在(0，)上单调递增，在上单调递减又f(0)0，f1ln0，所以当x时，f(x)0.从而，f(x)在没有零点当x时，f(x)0，所以f(x)在上单调递减而f0，f()0，所以f(x)在有唯一零点当x(，)时，ln(x1)1.所以f(x)0，从而f(x)在(，)没有零点综上，f(x)有且仅有2个零点
