1、四川省绵阳南山中学2018-2019学年高一数学6月月考试题（含解析）一、选择题.1.下列命题中正确的是（ ）A. B. C. D. 单位向量都相等【答案】C【解析】【分析】根据向量相等的定义和平行向量的定义推导.【详解】对于选项A,模长相等的向量不一定是相等的向量，所以错误.对于B，由于向量不能比较大小，错误.对于选项C，由于向量相等，则可以知道他们必定共线，成立，对于D，由于单位向量方向不相同，则不相等，错误，故选C.【点睛】本题考查向量相等定义：模相等，方向相同；平行向量的定义：方向相同或相反，属于基础题.2.若，则下列不等式成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析
2、】根据不等式的性质对每一个选项进行证明，或找反例进行排除.【详解】解：选项A：取，此时满足条件，则，显然，所以选项A错误；选项B：取，此时满足条件，则，显然，所以选项B错误；选项C：因为，所以，因为，所以，选项C正确；选项D：取，当，则，所以，所以选项D错误；故本题选C.【点睛】本题考查了不等式的性质，熟知不等式的性质是解题的关键.3.等差数列前项和为，若，则（ ）A. 52B. 54C. 56D. 58【答案】A【解析】分析：由题意，根据等差数列的性质先求出，再根据数列中项的性质求出S13的值详解：因为等差数列，且， ，即 又，所以故选A.点睛：本题考查等差数列的性质，熟练掌握性质，且能做到
3、灵活运用是解答的关键4.若，其中为的内角所对的边，则的形状为（ ）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不确定【答案】B【解析】【分析】根据正弦定理将中的边化为角，再由两角和的正弦公式、诱导公式求得，可得，然后对三角形的形状作出判断【详解】由及正弦定理得，又在中，为直角三角形故选A【点睛】判断三角形的形状可以根据边的关系判断，也可以根据角的关系判断，故常用的方法有两种：一是根据余弦定理，进行角化边；二是根据正弦定理，进行边化角5.平面与平面平行的条件可以是（ ）A. 内有无数多条直线都与平行B. 直线，且C. 直线，且直线不在内，也不在内D. 一个平面内两条不平行的直线都平行于
4、另一个平面【答案】D【解析】【分析】利用可能相交，判断，利用面面平行的判定定理判断选项.【详解】对于,内有无数多条直线都与平行，则可能相交，错；对于,直线，且，则可能相交，错；对于,直线，且直线不在内，也不在内, ，则可能相交，错；对于,一个平面内两条不平行的直线必相交，根据平面与平面平行的判定定理可知正确故选D【点睛】本题主要考查了平面与平面平行的判定定理，意在考查对基本定理的掌握情况，属基础题6.在数列中，则A. B. C. D. 【答案】A【解析】试题分析：在数列中，故选A.考点：熟练掌握累加求和公式及其对数的运算性质7.在如图的正方体中，分别为棱和棱的中点，则异面直线和所成的角为（ ）
5、A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：连接BC1，AD1，因为MN/BC1/AD1,所以就是异面直线AC和MN所成的角，因为为等边三角形，所以.考点：异面直线所成的角.点评：找异面直线所成的角：一是选点，二是平移，三是转化为相交直线所成的角.本小题汲及到中点，联想到中位线，所以连接AD1，就可找出就是异面直线AC和MN所成的角.8.已知向量，若，则的最小值为（ ）A. 12B. C. 15D. 【答案】B【解析】【分析】因为，所以对向量坐标运算，得到，根据=可构造出基本不等式的形式，利用基本不等式求出结果.【详解】共线，即，所以=，当且仅当时等号成立.【点睛】本题考查平面向量平行
6、的坐标运算，均值定理求最小值，考查数学的转化能力，属于基础题.9.某几何体的三视图如图所示，则它的体积为（ ）A. B. C. 15D. 【答案】A【解析】【分析】由三视图还原几何体，得到几何体为正方体中放置一个倒立的圆锥，根据正方体和圆锥的体积公式求几何体的体积即可.【详解】由题意可知该几何体是正方体中放置一个倒立的圆锥，那么可知其底面半径为1，高度为2，那么其体积，选A【点睛】本题考查由三视图还原几何体及几何体的体积公式，属于基础题.10.在中，则的取值范围是（ ）A. B. C. 或D. 或【答案】B【解析】【分析】设（），利用余弦定理建立关于x的函数，从而求出B的范围.【详解】解：设，
7、则，由余弦定理可得，根据余弦函数的性质可知，,故选B.【点睛】本题考查三角形已知两边求角范围，余弦定理的应用，三角形的构成条件，基本不等式，考查学生的转化能力和运算能力，属于中档题.11.设是同一个半径为4的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：作图，D为MO 与球的交点，点M为三角形ABC的重心，判断出当平面时，三棱锥体积最大，然后进行计算可得。详解：如图所示，点M为三角形ABC的重心，E为AC中点，当平面时，三棱锥体积最大此时，,点M为三角形ABC的重心中，有故选B.点睛：本题主要考查三棱锥的外接球，考查了勾股定理，三
8、角形的面积公式和三棱锥的体积公式，判断出当平面时，三棱锥体积最大很关键，由M为三角形ABC的重心，计算得到，再由勾股定理得到OM，进而得到结果，属于较难题型。12.如图，在中，设，的中点为，的中点为，的中点为，若，则（ ）A. B. C. D. 1【答案】C【解析】【分析】根据平面向量基本定理及其几何意义，结合条件可得及，解方程可求得，即可得到m，n的值，所以得到结果.【详解】解：由题意可得，由解方程求得.再由可得.【点睛】本题考查向量的基底表示，向量共线，考查学生的运算能力，观察能力，属于中档题.二、填空题。13.已知关于的不等式的解集是，则不等式的解集是_【答案】【解析】【分析】通过的解集
9、可以确定与的关系以及，代入所求不等式，化简为，求解不等式得到结果.【详解】由的解集是可知：和是方程的两根且 又 【点睛】本题考查一元二次不等式与一元二次方程之间的关系，关键在于通过解集确定方程的根，属于基础题.14.设满足约束条件，则的最小值为_ 【答案】【解析】【分析】先画出约束条件所代表的平面区域，再画出目标函数并平移目标函数确定最优解的位置，求出最优解代入目标函数求出最值即可.【详解】解：先画出约束条件所代表的平面区域，如图中阴影然后画出目标函数如图中过原点虚线所示平移目标函数，在点处取得最小值由，解得所以目标函数最小值为故答案为：.【点睛】本题考查了简单线性规划问题，平移目标函数时由目
10、标函数中前系数小于0，故向上移越移越小.15.我国古代数学家刘微在九章算术注释中指出：“凡望极高、测绝深而兼知极远者，必用重差.”也就是说目标“极高”“绝深”等不能靠近进行测量时，必须用两次（或两次以上）测量的方法加以实现，为测量某山的高度，在测得的数据如图所示（单位:）,则到山顶的距离_【答案】【解析】【分析】根据图形，可得中各个角的度数，又知AB的长度，由正弦定理可求出AM的长.【详解】如图： 所以，.所以，在中，由正弦定理可知：，即，即.【点睛】本题考查三角形正弦定理的应用，属于基础题.16.设函数是公差为的等差数列，则_【答案】【解析】由已知，是公差为的等差数列，则，由和差化积公式得，
11、则，比较两边等式得，且，解得，所以.三、解答题.17.已知，且向量与不共线.（1）若与的夹角为，求；（2）若向量与的夹角的钝角，求实数的取值范围.【答案】(1) (2) 且【解析】【分析】（1）因为与的夹角为，所以可求得.展开代入即可求得结果. （2）由向量与的夹角的钝角，可得且不反向共线，展开解k即可.【详解】解：（1）与的夹角为，.（2）向量与的夹角为钝角，且不能反向共线，解得实数的取值范围是且 .【点睛】本题考查平面向量数量积的运算，考查已知向量夹角求参，考查向量夹角为钝角的求解运算，考查了学生转化的能力，属于基础题.18.已知的内角的对边分别为，且.（1）求的值；（2）若，求的面积的最
12、大值.【答案】(1)；(2).【解析】【分析】（1）由，可得，化为，可得，可得；（2），再利用基本不等式的性质可得，利用即可得出【详解】（1），化为：，可得（2），可得，当且仅当取等号，当且仅当时，的面积的最大值为【点睛】本题考查了正弦定理余弦定理、三角形面积计算公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题19.如图所示，正三棱锥高为2，点是的中点，点是的中点. （1）证明：平面；（2）若三棱锥体积为，求该正三棱柱的底面边长.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）连接，推导出，由此能证明平面1（2）由，作交于点，由正三棱柱的性质，得平面1，设底面正三角形边长为
13、，则三棱锥的高，由此能求出该正三棱柱的底面边长【详解】（1）如图，连接，因为是的中点，是的中点， 所以在中，, 平面， 平面， 所以平面. （2）解：由等体积法，得，因为是的中点，所以点到平面的距离是点，到平面的距离的一半.如图，作交于点，由正三棱柱的性质可知，平面.设底面正三角形的边长，则三棱锥的高， ,所以，解得，所以该正三棱柱的底面边长为.【点睛】本题考查线面平行的证明，考查正三棱锥底面边长的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，是中档题20.已知正项数列的前项和为，满足.（
14、）（i）求数列的通项公式；（ii）已知对于，不等式恒成立，求实数的最小值；（） 数列的前项和为，满足，是否存在非零实数，使得数列为等比数列？ 并说明理由.【答案】(1) （）（） (2)见解析【解析】【分析】（1）（）由知，作差求得，得到数列为等差数列，求得.（）由等差数列前n项和公式得到，对取倒，得到，裂项相消求得，从而得到M的最小值. （）由（）可知，所以得到，求解数列得到，检验，所以不存在.【详解】解：（1）（）时，又，当时，.作差整理得：，数列的等差数列，.（）由（）知，不等式恒成立，实数的最小值是.（2）由，知，当时，当时，数列是等比数列，与矛盾，不存在非零实数，使得数列为等比数列.【点睛】本题考查数列求通项公式知求，考查数列裂项相消求和，考查等比数列的证明，考查了学生的计算能力，属于中档题.
