1、2017年广州市普通高中毕业班综合测试（二）理科数学第卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合，则（ ）A BC D2若复数满足，则复数所对应的点位于（ ）A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限3执行如图所示的程序框图，则输出的值为（ ）A4 B3 C D4从1，2，3，4，5这5个数字中任取3个数字组成没有重复数字的三位数，则这个三位数是偶数的概率为（ ）A B C D5函数的大致图象是（ ） A B C D6已知，则（ ）A B C D7已知点在抛物线（）上，该抛物线的焦点为，过点作该抛物线准线的垂
2、线，垂足为，则的平分线所在的直线方程为（ ）A BC D8在棱长为2的正方体中，是棱的中点，过，作正方体的截面，则这个截面的面积为（ ）A B C D9已知，点是直线与圆的公共点，则的最大值为（ ）A15 B9 C1 D10已知函数（）的图象在区间上恰有3个最高点，则的取值范围为（ ）A B C D11如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为（ ）A B C D1612定义在上的奇函数为减函数，若，满足，则当时，的取值范围为（ ）A B C D第卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13已知点，若点在轴上，则实数 14孙子
3、算经是我国古代重要的数学著作，约成书于四、五世纪，传本的孙子算经共三卷，其中下卷“物不知数”中有如下问题：“今有物，不知其数.三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二.问：物几何？”其意思为：“现有一堆物品，不知它的数目.3个3个数，剩2个；5个5个数，剩3个；7个7个数，剩2个.问这堆物品共有多少个？”试计算这堆物品至少有 个15设，则 16在平面四边形中，连接对角线，已知，则对角线的最大值为 三、解答题 （本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17设等比数列的前项和，已知，（）.（）求数列的通项公式；（）设，求数列的前项和.18如图，是边长为的菱形，平面，
4、平面，.（）求证：；（）求直线与平面所成角的正弦值.19某商场拟对某商品进行促销，现有两种方案供选择，每种促销方案都需分两个月实施，且每种方案中第一个月与第二个月的销售相互独立.根据以往促销的统计数据，若实施方案1，预计第一个月的销量是促销前的1.2倍和1.5倍的概率分别是0.6和0.4，第二个月的销量是第一个月的1.4倍和1.6倍的概率都是0.5；若实施方案2，预计第一个月的销量是促销前的1.4倍和1.5倍的概率分别是0.7和0.3，第二个月的销量是第一个月的1.2倍和1.6倍的概率分别是0.6和0.4.令表示实施方案的第二个月的销量是促销前销量的倍数.（）求，的分布列；（）不管实施哪种方案
5、，与第二个月的利润之间的关系如下表，试比较哪种方案第二个月的利润更大.20已知双曲线的焦点是椭圆：（）的顶点，且椭圆与双曲线的离心率互为倒数.（）求椭圆的方程；（）设动点，在椭圆上，且，记直线在轴上的截距为，求的最大值.21已知函数在点处的切线方程为.（）求实数的值；（）若存在，满足，求实数的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分22选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，已知直线的普通方程为，曲线的参数方程为（为参数），设直线与曲线交于，两点.（）求线段的长；（）已知点在曲线上运动，当的面积最大时，求点的坐标及的最大面积.23选修4-5：不等式
6、选讲（）已知，证明：；（）若对任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围.2017年广州市普通高中毕业班综合测试（二）理科数学试题答案及评分参考一、选择题1-5:ABABA 6-10:CDCBC 11、12：BD二、填空题13 1423 15 1627三、解答题17解：（）因为数列是等比数列，所以.因为，所以，解得.因为，所以，即.因为，所以.因为等比数列的公比为，所以数列的通项公式为.（）因为等比数列的首项为，公比，所以.因为，所以.所以.设.则.所以.因为，所以.所以数列的前项和.18解：（）证明：连接，因为是菱形，所以.因为平面，平面，所以.因为，所以平面.因为平面，平面，所以.所以，四点
7、共面.因为平面，所以.（）如图，以为坐标原点，分别以，的方向为轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系.可以求得，.所以，.设平面的法向量为，则即不妨取，则平面的一个法向量为.因为，所以.所以直线与平面所成角的正弦值为.19解：（）依题意，的所有取值为1.68，1.92，2.1，2.4，因为，.所以的分布列为依题意，的所有取值为1.68，1.8，2.24，2.4，因为，.所以的分布列为（）令表示方案所带来的利润，则所以，.因为，所以实施方案1，第二个月的利润更大.20解：（）双曲线的焦点坐标为，离心率为.因为双曲线的焦点是椭圆：（）的顶点，且椭圆与双曲线的离心率互为倒数，所以，且，解得.故椭圆的方程
8、为.（）因为，所以直线的斜率存在.因为直线在轴上的截距为，所以可设直线的方程为.代入椭圆方程得.因为，所以.设，根据根与系数的关系得，.则.因为，即.整理得.令，则.所以.等号成立的条件是，此时，满足，符合题意.故的最大值为.21解：（）函数的定义域为.因为，所以.所以函数在点处的切线方程为，即.已知函数在点处的切线方程为，比较求得.所以实数的值为.（）由，即.所以问题转化为在上有解.令，则.令，所以当时，有.所以函数在区间上单调递减.所以.所以，即在区间上单调递减.所以.所以实数的取值范围为.22解：（）曲线的普通方程为.将直线代入中消去得，.解得或.所以点，所以.（）在曲线上求一点，使的面积最大，则点到直线的距离最大.设过点且与直线平行的直线方程.将代入整理得，.令，解得.将代入方程，解得.易知当点的坐标为时，的面积最大.且点到直线的距离为.的最大面积为.23解：（）证明：因为，所以.所以要证明，即证明.因为，所以.因为，所以.所以.（）设，则“对任意实数，不等式恒成立”等价于“”.当时，此时，要使恒成立，必须，解得.当时，不可能恒成立.当时，此时，要使恒成立，必须，解得.综上可知，实数的取范为.
