1、第二课时直线与椭圆的位置关系我们已经学习了直线与圆的位置关系的判断方法问题能否利用直线与圆的位置关系的判断方法(思想)，判断直线与椭圆的位置关系？知识点一点与椭圆的位置关系点P(x0，y0)与椭圆1(ab0)的位置关系：点P在椭圆上1；点P在椭圆内部1.知识点二直线与椭圆的位置关系直线ykxm与椭圆1(ab0)的位置关系，判断方法：联立消y得一元二次方程当0时，方程有两解，直线与椭圆相交；当0时，方程有一解，直线与椭圆相切；当0，得3m3.于是，当3m3时，方程有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解这时直线l与椭圆C有两个不同的公共点(2)由0，得m3.也就是当m3时，方程有两个相
2、同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解这时直线l与椭圆C有两个互相重合的公共点，即直线l与椭圆C有且只有一个公共点(3)由0，得m3.从而当m3时，方程没有实数根，可知原方程组没有实数解这时直线l与椭圆C没有公共点判断直线与椭圆的位置关系，通过解直线方程与椭圆方程组成的方程组，消去方程组中的一个变量，得到关于另一个变量的一元二次方程，通过即可判断直线与椭圆的位置关系 跟踪训练在平面直角坐标系Oxy中，经过点(0，)且斜率为k的直线l与椭圆y21有两个不同的交点P和Q，求k的取值范围解：由已知条件知直线l的方程为ykx，代入椭圆方程得(kx)21，整理得x22kx10，直线l与椭圆有两个不同
3、的交点P和Q等价于8k244k220，解得k，所以k的取值范围为.弦长及中点弦问题例2(链接教科书第114页练习2题)已知点P(4，2)是直线l被椭圆1所截得的线段的中点，求直线l的方程解法一(根与系数关系法)：由题意可设直线l的方程为y2k(x4)，而椭圆的方程可以化为x24y2360.将直线方程代入椭圆方程有(4k21)x28k(4k2)x4(4k2)2360.所以x1x28，解得k.所以直线l的方程为y2(x4)，即x2y80.法二(点差法)：设直线l与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以两式相减，有(x1x2)(x1x2)4(y1y2)(y1y2)0.又x1x28，y1
4、y24，所以，即k.所以直线l的方程为x2y80.母题探究(变设问)在本例条件下，求直线l被椭圆截得的弦长解：由题意可知直线l的方程为x2y80，与椭圆方程联立得x28x140.法一：解方程得 所以直线l被椭圆截得的弦长为.法二：因为x1x28，x1x214.所以直线l被椭圆截得的弦长为.解决椭圆中点弦问题的两种方法(1)根与系数关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决；(2)点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：已知A(x1，y1)，B(x2，y2
5、)是椭圆1(ab0)上的两个不同的点，M(x0，y0)是线段AB的中点，则由，得(xx)(yy)0，变形得，即kAB. 跟踪训练1过点M(1，1)作斜率为的直线与椭圆C：1(ab0)相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于_解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则0，.，x1x22，y1y22，a22b2.又b2a2c2，a22(a2c2)，a22c2，.答案：2椭圆1(ab0)的离心率为，且椭圆与直线x2y80相交于P，Q，且|PQ|，求椭圆方程解：e，b2a2.椭圆方程为x24y2a2.与x2y80联立消去y，得2x216x64a20，由0得a232，由弦长公式得
6、10642(64a2)a236，b29.椭圆方程为1.椭圆的实际应用问题例3(链接教科书第113页例5)我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道是以地心(地球的中心)F2为一个焦点的椭圆已知它的近地点A(离地面最近的点)距地面439 km，远地点B(离地面最远的点)距地面2 384 km，并且F2，A，B在同一直线上，地球半径约为6 371 km，求卫星运行的轨道方程(精确到1 km)解如图，建立平面直角坐标系，使点A，B，F2在x轴上，F2为椭圆右焦点(记F1为左焦点)，设椭圆的标准方程为1(ab0)，则ac|OA|OF2|F2A|6 3714396 810，ac|OB|OF2|F2B|6 3
7、712 3848 755，a7 782.57 783，b7 721，卫星运行的轨道方程是1.解决椭圆的实际问题的基本步骤(1)认真审题，理顺题中的各种关系，如等量关系；(2)结合所给图形及题意建立适当的平面直角坐标系；(3)利用椭圆知识及其他相关知识求解 跟踪训练神舟五号飞船成功完成了第一次载人航天飞行，实现了中国人民的航天梦想某段时间飞船在太空中运行的轨道是一个椭圆，地心为椭圆的一个焦点，如图所示假设航天员到地球的最近距离为d1，最远距离为d2，地球的半径为R，我们想象存在一个镜像地球，其中心在神舟飞船运行轨道的另外一个焦点上，上面住着一个神秘生物发射某种神秘信号，需要飞行中的航天员中转后地
8、球人才能接收到，则传送神秘信号的最短距离为()Ad1d2RBd2d12RCd2d12R Dd1d2解析：选D设椭圆的方程为1(ab0)，半焦距为c，两焦点分别为F1，F2，飞行中的航天员为点P，由已知可得则2ad1d22R，故传送神秘信号的最短距离为|PF1|PF2|2R2a2Rd1d2.1已知直线l：xy30，椭圆y21，则直线与椭圆的位置关系是()A相离 B相切C相交 D相交或相切解析：选A把xy30代入y21，得(3x)21，即5x224x320.(24)2453264b0)的焦点F(c，0)的弦中最短弦长是()A. B.C. D.解析：选A最短弦是过焦点F(c，0)且与焦点所在坐标轴垂
9、直的弦将点(c，y)的坐标代入椭圆1，得y，故最短弦长是.3(多选)某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心F为一个焦点的椭圆，如图所示，已知它的近地点A(离地面最近的点)距地面m千米，远地点B(离地面最远的点)距地面n千米，并且F，A，B三点在同一直线上，地球半径约为R千米，设该椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为2a，2b，2c，则()AacmR BacnRC2amn Db解析：选ABD地球的中心是椭圆的一个焦点，并且根据图象可得(*)acmR，故A正确；acnR，故B正确；(*)中两式相加mn2a2R，可得2amn2R，故C不正确；由(*)可得两式相乘可得(mR)(nR)a2c2.a2c2b2，b2(mR)(nR)b，故D正确4已知F是椭圆1的一个焦点，AB为过椭圆中心的一条弦，则ABF面积的最大值为_解析：S|OF|y1y2|OF|2b12.答案：125已知椭圆4x2y21及直线yxm，当直线与椭圆有公共点时，则实数m的取值范围是_解析：由得5x22mxm210，当直线与椭圆有公共点时，4m245(m21)0，即4m250，解得m.答案：
