1、第5讲万有引力与航天1重力和万有引力的关系(1)不考虑自转时，星球表面附近物体的重力等于物体与星球间的万有引力，即有Gmg，其中g为星球表面的重力加速度(2)考虑自转时，在两极上才有mg，而赤道上则有mgmR.2一个重要公式：黄金代换式GMgR2，应用于题目中没有给出引力常量G或天体质量M，而提供了天体表面重力加速度g的信息的情况3万有引力提供卫星做匀速圆周运动的向心力(1)列出五个连等式：Gmamm2rmr.(2)导出四个表达式：aG，v，T .(3)定性结论：r越大，向心加速度a、线速度v、动能Ek、角速度均越小，而周期T和引力势能Ep均越大4三类天体(1)近地卫星：Gmgm.(2)同步卫
2、星：Gm(Rh)(T24 h)(3)双星：m12r1m22r2，r1r2L.5卫星变轨问题：当卫星速度减小时，F向小于F万，卫星做近心运动而轨道下降，此时F万做正功，使卫星速度增大，变轨成功后可在低轨道上稳定运动；当卫星速度增大时，与此过程相反1(2020全国卷)火星的质量约为地球质量的，半径约为地球半径的，则同一物体在火星表面与在地球表面受到的引力的比值约为()A0.2B0.4C2.0 D2.5解析：设物体质量为m，则在火星表面有F1G，在地球表面有F2G，由题意知有，故联立以上公式可得0.4，故B正确答案：B2(2020江苏卷)(多选)甲、乙两颗人造卫星质量相等，均绕地球做圆周运动，甲的轨
3、道半径是乙的2倍下列应用公式进行的推论正确的有()A由v可知，甲的速度是乙的倍B由a2r可知，甲的向心加速度是乙的2倍C由FG可知，甲的向心力是乙的D由k可知，甲的周期是乙的2倍解析：卫星绕地球做圆周运动，万有引力提供向心力，则F向m2rmrma，因为在不同轨道上g是不一样，故不能根据v得出甲乙速度的关系，卫星的运行速度v，代入数据可得，故A错误；因为在不同轨道上两卫星的角速度不一样，故不能根据a2r得出两卫星加速度的关系，卫星的运行加速度a，代入数据可得，故B错误；根据F向，两颗人造卫星质量相等，可得，故C正确；两卫星均绕地球做圆周运动，根据开普勒第三定律k，可得2，故D正确答案：CD320
4、20新高考卷(山东卷)我国将在今年择机执行“天问1号”火星探测任务质量为m的着陆器在着陆火星前，会在火星表面附近经历一个时长为t0、速度由v0减速到零的过程已知火星的质量约为地球的0.1倍，半径约为地球的0.5倍，地球表面的重力加速度大小为g，忽略火星大气阻力若该减速过程可视为一个竖直向下的匀减速直线运动，此过程中着陆器受到的制动力大小约为()AmBmCm Dm解析：忽略星球的自转，万有引力等于重力Gmg，则0.10.4，解得g火0.4g地0.4g.着陆器做匀减速直线运动，根据运动学公式可知0v0at0，解得a，匀减速过程，根据牛顿第二定律得fmgma，解得着陆器受到的制动力大小为fmgmam
5、.A、C、D错误，B正确答案：B考点一开普勒行星运动定律的应用1开普勒第三定律k中，k值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k值不同2对于匀速圆周运动，根据Gmr，得k，可视为开普勒第三定律的特例(2018全国卷)为了探测引力波，“天琴计划”预计发射地球卫星P，其轨道半径约为地球半径的16倍；另一地球卫星Q的轨道半径约为地球半径的4倍P与Q的周期之比约为()A21B41C81 D161解析：根据题意可得P与Q的轨道半径之比为：rPrQ41.根据开普勒第三定律：，可得周期之比为：TPTQ81，故C项正确，A、B、D三项错误答案：C如图为人造地球卫星的轨道示意图，LEO是近地轨道，MEO是中地球
6、轨道，GEO是地球同步轨道，GTO是地球同步转移轨道已知地球的半径R6 400 km，该图中MEO卫星的周期约为(图中数据为卫星近地点、远地点离地面的高度)()A3 hB8 hC15 hD20 h解析：根据题图中MEO卫星距离地面高度为4 200 km，可知轨道半径约为R110 600 km，同步轨道上GEO卫星距离地面高度为36 000 km，可知轨道半径约为R242 400 km，为MEO卫星轨道半径的4倍，即R24R1.地球同步卫星的周期为T224 h，运用开普勒第三定律，解得T13 h，选项A正确答案：A考点二研究天体运动的两个基本关系式1核心关系式万有引力提供向心力Gmm2rmr.注
7、意：M是中心天体质量，m是绕行天体质量，r是两球心间的距离2替换关系式万有引力与重力的关系mgG.即GMgR2.注意：当GM未知时，常用gR2替换3利用天体表面的重力加速度计算天体质量已知天体表面的重力加速度g和天体半径R(1)由Gmg，得天体质量M.(2)天体密度.4利用卫星绕天体做匀速圆周运动计算天体质量已知卫星运动周期T和轨道半径r(1)由Gm，得中心天体的质量M.(2)若已知中心天体的半径R，则天体的密度.(3)当卫星绕天体表面运行时，轨道半径r等于天体半径R，则天体密度.可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度 (2020全国卷)若一均匀球形星体的密度为，
8、引力常量为G，则在该星体表面附近沿圆轨道绕其运动的卫星的周期是()A.B.C. D.解析：卫星在星体表面附近绕其做圆周运动，则mR，VR3，知该星体表面附近沿圆轨道绕其运动的卫星的周期T.答案：A考向“核心关系式”应用1.土星最大的卫星叫“泰坦”(如图)，每16天绕土星一周，其公转轨道半径为1.2106 km.已知引力常量G6.671011 Nm2/kg2，则土星的质量约为()A51017 kg B51026 kgC71033 kg D41036 kg解析：卫星受到的万有引力提供向心力，得：代入数据可得：M51026 kg，故B项正确，A、C、D三项错误答案：B考向“替换关系式”应用2(202
9、0全国卷)“嫦娥四号”探测器于2019年1月在月球背面成功着陆，着陆前曾绕月球飞行，某段时间可认为绕月做匀速圆周运动，圆周半径为月球半径的K倍已知地球半径R是月球半径的P倍，地球质量是月球质量的Q倍，地球表面重力加速度大小为g.则“嫦娥四号”绕月球做圆周运动的速率为()A. B.C. D.解析：假设在地球表面和月球表面上分别放置质量为m和m0的两个物体，则在地球和月球表面处，分别有Gmg，Gm0g，解得gg，设嫦娥四号卫星的质量为m1，根据万有引力提供向心力得Gm1，解得v，故D正确答案：D考点三卫星运行参数的分析1熟记一个模型无论是自然天体(如地球、月亮)还是人造天体(如宇宙飞船、人造卫星)
10、都可以看作质点，围绕中心天体(视为静止)做匀速圆周运动2天体运动中常用的公式(1)运行天体的线速度：v(当rR时，v)(2)运行天体的角速度：(当rR时，)(3)运行天体的周期：T22(当rR时，T2)(4)运行天体所在处的重力加速度：g()2g.(2020天津卷)北斗问天，国之夙愿我国北斗三号系统的收官之星是地球静止轨道卫星，其轨道半径约为地球半径的7倍与近地轨道卫星相比，地球静止轨道卫星()A周期大B线速度大C角速度大 D加速度大解析：卫星有万有引力提供向心力有Gmmr2mrma，可解得v，T2，a，可知半径越大线速度、角速度、加速度都越小，周期越大；故与近地卫星相比，地球静止轨道卫星周期
11、大，故A正确，B、C、D错误答案：A1.(2020浙江卷)火星探测任务“天问一号”的标识如图所示若火星和地球绕太阳的运动均可视为匀速圆周运动，火星公转轨道半径与地球公转轨道半径之比为32，则火星与地球绕太阳运动的()A轨道周长之比为23B线速度大小之比为C角速度大小之比为23D向心加速度大小之比为94解析：由周长公式可得C地2r地，C火2r火，则火星公转轨道与地球公转轨道周长之比为，A错误；由万有引力提供向心力，可得Gmamm2r，则有a，v，即，B、D错误，C正确答案：C2“天琴计划”是中国为了探测引力波而提出的项目，该计划具体为2035年前后在距离地球约10万千米的轨道上，部署3颗卫星，构
12、成边长约为17万千米的等边三角形编队，在太空中建成一个引力波天文台，探测引力波则这三颗卫星()A向心加速度大小不同B加速度大小不同C线速度大小不同D周期相同解析：根据ma，得a，由于三颗卫星到地球的距离相等，则它们的向心加速度与加速度大小相等，故A、B错误；由公式an可知，由于三颗卫星到地球的距离相等，则三颗卫星线速度大小相同，故C错误；由公式anr可知，由于三颗卫星到地球的距离相等，则三颗卫星周期相同，故D正确答案：D考点四卫星的变轨问题1变轨问题中速度大小的比较(1)分别在圆轨道上和在椭圆轨道上经过同一点(圆轨道和椭圆轨道的切点)时的速度大小，可根据离心运动的条件或近心运动的条件判断(2)
13、在半径不同的圆轨道上运动时的速度大小，可根据“越远越慢”判断(3)在同一椭圆轨道上经过远地点、近地点时的速度大小，可根据开普勒第二定律判断2变轨问题中加速度大小的比较变轨前后，航天器的加速度大小可根据牛顿第二定律判断aG.3变轨问题中周期大小的比较：航天器在不同轨道上的运行周期的大小可根据开普勒第三定律k判断4变轨问题中机械能大小的比较：运动过程中航天器的机械能是否变化，可根据功能关系W其他E判断(多选)如图一颗在椭圆轨道上运行的地球卫星，通过轨道上的近地点P时，短暂点火加速后进入同步转移轨道.当卫星到达同步转移轨道的远地点Q时，再次变轨，进入同步轨道.下列说法正确的是()A卫星在轨道的P点进
14、入轨道机械能增加B卫星在轨道经过Q点时和在轨道经过Q点时速度相同C卫星在轨道经过Q点时和在轨道经过Q点时加速度相同D由于不同卫星的质量不同，因此它们的同步轨道高度不同解析：卫星在轨道上通过点P时，点火加速，使其所需向心力大于万有引力，做离心运动，才能进入轨道，所以卫星在轨道的P点进入轨道机械能增加，故A项正确假设卫星从轨道返回轨道，卫星在轨道经过Q点时，点火减速，使其所需向心力小于万有引力，做向心运动，才能进入轨道，所以卫星在轨道经过Q点时和在轨道经过Q点时速度不同，故B项错误卫星在轨道经过Q点时和在轨道经过Q点时，所受万有引力相同，根据牛顿第二定律，产生的加速度相同，故C项正确对同步卫星Gm
15、r，解得：r.则同步轨道高度与卫星的质量无关，故D项错误答案：AC考向卫星的变轨与对接1.我国嫦娥五号探测器由轨道器、返回器、着陆器、上升器四个部分组成根据计划，嫦娥五号探测器将实现月球软着陆及采样返回，其中采样返回是上升器携带样品从月球表面升空，先在近月圆轨道上运行，从P点经调整轨道在Q点与较高轨道上的轨道器对接，最后由轨道器携带样品返回地球，如图所示已知P、Q分别是轨道与轨道、的切点，下列关于此过程中说法正确的是()A轨道器在轨道上的加速度必定大于上升器在轨道上的加速度B上升器应在轨道上的P点通过减速进入轨道C上升器与轨道器对接后，组合体速度比上升器在P点的速度小D若上升器和轨道器均在轨道
16、运行，上升器在后，只要上升器向前加速，就可追上轨道器解析：在轨道上运行的飞行器，所受万有引力产生向心加速度，即ma，解得a，则轨道半径越大，加速度越小，故A错误；上升器在轨道上的P点加速，万有引力不能提供足够的向心力而进入轨道，可知上升器在轨道上P点的速度小于在轨道上P点的速度，故B错误；由轨道运行速度与轨道半径关系v可知，上升器与轨道器对接后，组合体速度比上升器在P点的速度小，故C正确；若上升器在轨道加速，则会做离心运动，不可能追上轨道器实现对接，故D错误答案：C考向卫星变轨的参数分析2.近期，马斯克的SpaceX“猎鹰”重型火箭将一辆特斯拉跑车发射到太空，其轨道示意图如图中椭圆所示，其中A
17、、C分别是近日点和远日点，图中、轨道分别为地球和火星绕太阳运动的圆轨道，B点为轨道、的交点，若运动中只考虑太阳的万有引力，则以下说法正确的是()A跑车经过A点时的速率大于火星绕日的速率B跑车经过B点时的加速度大于火星经过B点时的加速度C跑车在C点的速率大于火星绕日的速率D跑车由A到C的过程中动能减小，机械能也减小解析：由题知、轨道分别是地球、火星围绕太阳做匀速圆周运动的轨道，则有Gm，解得v，因地球轨道半径小于火星的轨道半径，故地球的线速度大于火星的线速度；而跑车从A点由轨道至轨道时要加速，即跑车经过A点时的速率大于跑车在轨道的线速度，故跑车经过A点时的速率大于火星绕日的速率，故A正确；根据牛
18、顿第二定律得Gma，解得a，两轨道对应同一点，距离太阳的距离相同，故加速度相同，故B错误；跑车由A到C的过程中万有引力做负功，动能减少，势能增加，机械能守恒，故跑车在C点的速率小于其在A点的速率，但无法比较跑车在C点的速率与火星绕日的速率的大小关系，故C、D错误答案：A考点五双星与多星问题1多星系统的条件(1)各星彼此相距较近(2)各星绕同一圆心做匀速圆周运动2多星系统的结构类型双星模型三星模型结构图向心力由两星之间的万有引力提供，故两星的向心力大小相等运行所需向心力都由其余行星对其万有引力的合力提供运动参量两星转动方向相同，周期、角速度相等(2018全国卷)(多选)2017年，人类第一次直接
19、探测到来自双中子星合并的引力波根据科学家们复原的过程，在两颗中子星合并前约100 s时，它们相距约400 km，绕二者连线上的某点每秒转动12圈，将两颗中子星都看作是质量均匀分布的球体，由这些数据、万有引力常量并利用牛顿力学知识，可以估算出这一时刻两颗中子星()A质量之积B质量之和C速率之和 D各自的自转角速度解析：设两颗中子星相距为L，质量分别为m1、m2，轨道半径分别为r1、r2，根据万有引力提供向心力，有m12r1m22r2，因为r1r2L，所以质量之和为m1m2(r1r2)，其中24，L400 km，可求得B正确根据vr，得v1v2(r1r2)L，可求得C正确；可以求出两颗中子星互相绕
20、着运动的角速度，不可以求出各自的自转角速度，D错误答案：BC考向双星系统1在天体运动中，将两颗彼此相距较近的恒星称为双星它们在相互的万有引力作用下间距保持不变，并沿半径不同的同心圆轨道做匀速圆周运动如果双星间距为L，质量分别为M1和M2，试计算：(1)各星的轨道半径；(2)各星的线速度解析：(1)如图，对质量为M1的星球，由向心力公式可得F1GM12R1，同理对质量为M2的星球有F2GM22R2，两式联立得：(即轨道半径与质量成反比)又因为LR1R2，所以R1L，R2L， .(2)因为vr，所以v1 LM2.v2 LM1.答案：(1)LL(2)M2M1考向三角形三星系统2.宇宙间存在一些离其他
21、恒星较远的三星系统，其中有一种三星系统如图所示，三颗质量均为m的星位于等边三角形的三个顶点，三角形边长为L，忽略其他星体对它们的引力作用，三星在同一平面内绕三角形中心O做匀速圆周运动，引力常量为G，下列说法正确的是()A每颗星做圆周运动的角速度为 B每颗星做圆周运动的加速度与三星的质量无关C若距离L和每颗星的质量m都变为原来的2倍，则周期变为原来的2倍D若距离L和每颗星的质量m都变为原来的2倍，则线速度变为原来的4倍解析：任意两星间的万有引力FG，对任一星受力分析，如图所示由图中几何关系和牛顿第二定律可得：Fmam2，联立可得： ，a2，选项A、B错误；由周期公式可得：T 2 ，当L和m都变为
22、原来的2倍，则周期T2T，选项C正确；由速度公式可得：v ，当L和m都变为原来的2倍，则线速度vv，选项D错误答案：C考向直线三星系统3宇宙空间中两颗质量相等的星球绕其连线中心转动时，理论计算的周期与实际观测周期不符，且k(k1)；因此，科学家认为，在两星球之间存在暗物质假设以两星球球心连线为直径的球体空间中均匀分布着暗物质，两星球的质量均为m；那么，暗物质质量为()A.m B.mC(k21)m D(2k21)m解析：设两星球间距为L，则根据万有引力定律：m；若有暗物质，因均匀分布，故可认为集中在两星球连线中点，根据万有引力定律：m；其中k，联立解得：Mm，故选A.答案：A考点六天体与力学结合
23、问题1常见类型天体表面上物体运动的常见类型有：竖直下落、竖直上抛、加速上升、平抛等2解题关键天体表面的物体运动规律和在地球上相同，只是重力加速度不同，因此，求天体表面的重力加速度是解题的关键(2019全国卷)(多选)在星球M上将一轻弹簧竖直固定在水平桌面上，把物体P轻放在弹簧上端，P由静止向下运动，物体的加速度a与弹簧的压缩量x间的关系如图中实线所示在另一星球N上用完全相同的弹簧，改用物体Q完成同样的过程，其ax关系如图中虚线所示假设两星球均为质量均匀分布的球体已知星球M的半径是星球N的3倍，则()AM与N的密度相等BQ的质量是P的3倍CQ下落过程中的最大动能是P的4倍DQ下落过程中弹簧的最大
24、压缩量是P的4倍解析：在星球表面，根据万有引力等于重力可得mg，则GMR2g，所以有GR3R2g，解得：，根据图象可知，在M星球表面的重力加速度为gM3a0，在N表面的重力加速度为gNa0，星球M的半径是星球N的3倍，则M与N的密度相等，故A项正确；加速度为0时受力平衡，根据平衡条件可得：mPgMkx0，mQgN2kx0，解得：，故B项错误；根据动能定理可得maxEk，根据图象的面积可得：EkPmP3a0x0，EkQmQa02x0，4，故C项正确；弹簧压缩量最大时，物体的速度为0，整个过程合力做功为0，根据图象的面积的对称性可知，P的最大压缩量为2x0，Q的最大压缩量为4x0，故D项错误答案：AC已知地球质量为月球质量的81倍，地球半径约为月球半径的4倍若在月球和地球表面同样高度处，以相同的初速度水平抛出物体，抛出点与落地点间的水平距离分别为s月和s地，则s月s地约为()A94B61C32D11解析：设月球质量为M，半径为R，地球质量为M，半径为R.已知81，4，根据万有引力等于重力，得mg，则有：g，同理g，因此，由题意知从同样高度抛出，hgt2gt2，联立，解得tt，在地球上的水平位移s地v0t，在月球上的s月v0t，因此s月s地约为94，故A项正确，B、C、D三项错误答案：A
