1、高考资源网（） 您身边的高考专家2.4圆的方程2.4.1圆的标准方程学 习 目 标核 心 素 养1.会用定义推导圆的标准方程；掌握圆的标准方程的特点(重点)2.会根据已知条件求圆的标准方程(重点、难点)3.能准确判断点与圆的位置关系(易错点)通过对圆的标准方程的学习，提升直观想象、逻辑推理、数学运算的数学素养.“南昌之星”摩天轮2006年建成时是世界上最高的摩天轮，它位于江西省南昌市红谷滩新区红角洲赣江边上的赣江市民公园，是南昌市标志性建筑该摩天轮总高度为160米，转盘直径为153米 请问游客在摩天轮转动过程中离摩天轮中心的距离一样吗？若以摩天轮中心所在位置为原点，建立平面直角坐标系，游客在任
2、一点(x，y)的坐标满足什么关系？1圆的标准方程(1)圆的定义：平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径(2)确定圆的基本要素是圆心和半径，如图所示(3)圆的标准方程：圆心为A(a，b)，半径长为r的圆的标准方程是(xa)2(yb)2r2.当ab0时，方程为x2y2r2，表示以原点O为圆心、半径为r的圆思考：平面内确定圆的要素是什么？提示圆心坐标和半径2点与圆的位置关系(xa)2(yb)2r2(r0)，其圆心为C(a，b)，半径为r，点P(x0，y0)，设d|PC|.位置关系d与r的大小图示点P的坐标的特点点在圆外dr(x0a)2(y0b)2r2点在圆上dr(
3、x0a)2(y0b)2r2点在圆内dr(x0a)2(y0b)2r21思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)方程(xa)2(yb)2m2表示圆()(2)若圆的标准方程是(xa)2(yb)2m2(m0)，则圆心为(a，b)，半径为m.()(3)圆心是原点的圆的标准方程是x2y2r2(r0)()提示(1)(2)(3)2圆(x2)2(y3)22的圆心和半径分别是()A(2,3)，1B(2，3)，3C(2,3)，D(2，3)，D由圆的标准方程可得圆心为(2，3)，半径为.3以原点为圆心，2为半径的圆的标准方程是()Ax2y22Bx2y24C(x2)2(y2)28Dx2y2B以原点为圆心，2为半径的
4、圆，其标准方程为x2y24.4已知点P(1，1)在圆(x2)2y2m的内部，则实数m的取值范围是_m10由条件知(12)2(1)2m，解得m10.点与圆的位置关系【例1】已知圆的圆心M是直线2xy10与直线x2y20的交点，且圆过点P(5,6)，求圆的标准方程，并判断点A(2,2)，B(1,8)，C(6,5)是在圆上，在圆内，还是在圆外？思路探究先求出两直线的交点坐标即圆心坐标，再求出半径并写出方程；求出A，B，C各点与圆心的距离，分别与半径比较，判断出点与圆的位置关系解解方程组得圆心M的坐标为(0,1)，半径r|MP|5.圆的标准方程为x2(y1)250.|AM|r，点A在圆内|BM|r，点
5、B在圆上|CM|r，点C在圆外圆的标准方程为x2(y1)250，且点A在圆内，点B在圆上，点C在圆外1.判断点与圆的位置关系的方法(1)只需计算该点与圆的圆心距离，与半径作比较即可；(2)把点的坐标代入圆的标准方程，判断式子两边的符号，并作出判断2灵活运用若已知点与圆的位置关系，也可利用以上两种方法列出不等式或方程，求解参数范围跟进训练1已知圆心为点C(3，4)，且经过原点，求该圆的标准方程，并判断点P1(1,0)，P2(1，1)，P3(3，4)和圆的位置关系解因为圆心是C(3，4)，且经过原点，所以圆的半径r5，所以圆的标准方程是(x3)2(y4)225.因为|P1C|25，所以P3(3，4
6、)在圆外.求圆的标准方程【例2】求过点A(1，1)，B(1,1)，且圆心在直线xy20上的圆的标准方程思路探究法一：利用待定系数法，设出圆的方程，根据条件建立关于参数方程组求解；法二：利用圆心在直线上，设出圆心坐标，根据条件建立方程组求圆心坐标和半径，从而求圆的方程；法三：借助圆的几何性质，确定圆心坐标和半径，从而求方程解法一：设所求圆的标准方程为(xa)2(yb)2r2，由已知条件知解此方程组，得故所求圆的标准方程为(x1)2(y1)24.法二：设点C为圆心，点C在直线xy20上，可设点C的坐标为(a,2a)又该圆经过A，B两点，|CA|CB|.，解得a1.圆心坐标为C(1,1)，半径长r|
7、CA|2.故所求圆的标准方程为(x1)2(y1)24.法三：由已知可得线段AB的中点坐标为(0,0)，kAB1，所以弦AB的垂直平分线的斜率为k1，所以AB的垂直平分线的方程为y01(x0)，即yx.则圆心是直线yx与xy20的交点，由得即圆心为(1,1)，圆的半径为r2，故所求圆的标准方程为(x1)2(y1)24.确定圆的标准方程的方法(1)几何法它是利用图形的几何性质，如圆的性质等，直接求出圆的圆心和半径，代入圆的标准方程，从而得到圆的标准方程(2)待定系数法由三个独立条件得到三个方程，解方程组以得到圆的标准方程中三个参数，从而确定圆的标准方程它是求圆的方程最常用的方法，一般步骤是：设设所
8、求圆的方程为(xa)2(yb)2r2；列由已知条件，建立关于a，b，r的方程组；解解方程组，求出a，b，r；代将a，b，r代入所设方程，得所求圆的方程跟进训练2已知圆C经过A(5,1)，B(1,3)两点，圆心在x轴上，则C的标准方程为_(x2)2y210由圆的几何性质得，圆心在AB的垂直平分线上，结合题意知，AB的垂直平分线为y2x4，令y0，得x2，故圆心坐标为(2,0)，所以圆的半径r，故圆的方程为(x2)2y210.与圆有关的最值问题探究问题1怎样求圆外一点到圆的最大距离和最小距离？提示可采用几何法，先求出该点到圆心的距离，再加上或减去圆的半径，即可得距离的最大值和最小值2若点M是C内一
9、点，那么过点M的弦中，弦长最长和最短的弦分别是哪一条？提示弦长最长的弦是MC所在的直径，弦长最短的弦是过M且与MC垂直的弦【例3】已知x和y满足(x1)2y2，试求x2y2的最值思路探究首先观察x、y满足的条件，其次观察所求式子的几何意义，求出其最值解由题意知x2y2表示圆上的点到坐标原点距离的平方，显然当圆上的点与坐标原点的距离取最大值和最小值时，其平方也相应取得最大值和最小值原点O(0,0)到圆心C(1,0)的距离d1，故圆上的点到坐标原点的最大距离为1，最小距离为1.因此x2y2的最大值和最小值分别为和.1变条件把本例中圆的方程变为(x1)2y24，则过(0,0)的弦中，最长弦长为_，最
10、短弦长为_42点(0,0)在圆内，最长的弦为过O的直径，所以最大弦长为2r4.最短弦是过O且与过O的直径垂直的弦，因为O(0,0)与圆的距离为1，所以最短弦长为22.2变结论本例条件不变，试求的取值范围解设k，变形为k，此式表示圆上一点(x, y)与点(0, 0)连线的斜率，由k，可得ykx，此直线与圆有公共点，圆心到直线的距离dr，即，解得k.即的取值范围是.与圆有关的最值问题的常见类型及解法(1)形如u形式的最值问题，可转化为过点(x, y)和(a, b)的动直线斜率的最值问题(2)形如laxby形式的最值问题，可转化为动直线y x截距的最值问题(3)形如(xa)2(yb)2形式的最值问题
11、，可转化为动点(x, y)到定点(a, b)的距离的平方的最值问题1确定圆的方程主要方法是待定系数法，即列出关于a，b，r的方程组求a，b，r或直接求出圆心(a，b)和半径r.另依据题意适时运用圆的几何性质解题可以化繁为简，提高解题效率2讨论点与圆的位置关系可以从代数特征(点的坐标是否满足圆的方程)或几何特征(点到圆心的距离与半径的关系)去考虑，其中利用几何特征较为直观、简捷3与圆有关的最值问题，常借助于所求式的几何意义，利用数形结合的思想解题，渗透着直观形象的数学素养4几种特殊的对称(1)圆C关于点M对称点M就是圆心(2)圆C关于直线l对称直线l经过圆心(3)圆C1、C2关于点M对称(4)圆
12、C1、C2关于直线l对称1圆心为(1,1)，且过原点的圆的标准方程是()A(x1)2(y1)21B(x1)2(y1)21C(x1)2(y1)22D(x1)2(y1)22D由圆过原点知r，故所求圆的方程为(x1)2(y1)22，选D.2两个点M(2，4)，N(2,1)与圆C：x2y22x4y40的位置关系是()A点M在圆C外，点N在圆C外B点M在圆C内，点N在圆C内C点M在圆C外，点N在圆C内D点M在圆C内，点N在圆C外D将点的坐标代入方程左边得22(4)2224(4)440，M点在圆内，(2)2122(2)41490，N点在圆外故选D.3圆心为直线xy20与直线2xy80的交点，且过原点的圆的标准方程是_(x2)2(y4)220由可得，即圆心为(2,4)，从而r2，故圆的标准方程为(x2)2(y4)220.4点(51，)在圆(x1)2y226的内部，则a的取值范围是_0,1)由于点在圆的内部，所以(511)2()226，即26a26，又a0，解得0a1.5已知某圆圆心在x轴上，半径为5，且截y轴所得线段长为8，求该圆的标准方程解如图，由题设|AC|r5，|AB|8，|AO|4.在RtAOC中，|OC|3.设点C坐标为(a,0)，则|OC|a|3，a3.所求圆的标准方程为(x3)2y225或(x3)2y225.- 9 - 版权所有高考资源网
