1、第2课时函数的最大(小)值学 习 目 标核 心 素 养1.理解函数的最大值和最小值的概念及其几何意义(重点)2能借助函数的图象和单调性，求一些简单函数的最值(重点、难点)3能利用函数的最值解决有关的实际应用问题(重点)4通过本节内容的学习，使学生体会数形结合思想、分类讨论思想在求解最值中的作用，提高学生逻辑推理、数学运算的能力(重点、难点)1.借助函数最值的求法，培养直观想象和数学运算素养2利用函数的最值解决实际问题，培养数学建模素养函数最大值与最小值最大值最小值条件设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：xI，都有f(x)Mf(x)Mx0I，使得f(x0)M结论M是函数yf(x)的
2、最大值M是函数yf(x)的最小值几何意义f(x)图象上最高点的纵坐标f(x)图象上最低点的纵坐标思考：若函数f(x)M，则M一定是函数的最大值吗？提示：不一定，只有定义域内存在一点x0，使f(x0)M时，M才是函数的最大值，否则不是1函数yf(x)在2,2上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是()A1,0B0,2C1,2 D.，2C由图可知，f(x)的最大值为f(1)2，f(x)的最小值为f(2)1.2设函数f(x)2x1(x0)，则f(x)()A有最大值B有最小值C既有最大值又有最小值 D既无最大值又无最小值Df(x)在(，0)上单调递增，f(x)f(0)1，故选D.3函数f(x)
3、，x1,2，则f(x)的最大值为_，最小值为_1f(x)在区间1,2上为减函数，f(2)f(x)f(1)，即f(x)1.利用函数的图象求函数的最值(值域)【例1】已知函数f(x)(1)在直角坐标系内画出f(x)的图象；(2)根据函数的图象写出函数的单调区间和值域解(1)图象如图所示：(2)由图可知f(x)的单调递增区间为(1,0)，(2,5)，单调递减区间为(0,2)，值域为1,3利用图象求函数最值的方法(1)画出函数yf(x)的图象；(2)观察图象，找出图象的最高点和最低点；(3)写出最值，最高点的纵坐标是函数的最大值，最低点的纵坐标是函数的最小值.1已知函数f(x)求f(x)的最大值、最小
4、值解作出函数f(x)的图象(如图)由图象可知，当x1时，f(x)取最大值为f(1)1.当x0时，f(x)取最小值f(0)0，故f(x)的最大值为1，最小值为0.利用函数的单调性求最值(值域)【例2】已知函数f(x).(1)判断函数在区间(1，)上的单调性，并用定义证明你的结论；(2)求该函数在区间2,4上的最大值和最小值解(1)f(x)在(1，)上为增函数，证明如下：任取1x1x2，则f(x1)f(x2)，因为1x10，x210，x1x20，所以f(x1)f(x2)0f(x1)f(x2)，所以f(x)在(1，)上为增函数(2)由(1)知f(x)在2,4上单调递增，所以f(x)的最小值为f(2)
5、，最大值f(4).1利用单调性求函数的最大(小)值的一般步骤(1)判断函数的单调性(2)利用单调性求出最大(小)值2函数的最大(小)值与单调性的关系(1)若函数f(x)在区间a，b上是增(减)函数，则f(x)在区间a，b上的最小(大)值是f(a)，最大(小)值是f(b)(2)若函数f(x)在区间a，b上是增(减)函数，在区间b，c上是减(增)函数，则f(x)在区间a，c上的最大(小)值是f(b)，最小(大)值是f(a)与f(c)中较小(大)的一个提醒：(1)求最值勿忘求定义域(2)闭区间上的最值，不判断单调性而直接将两端点值代入是最容易出现的错误，求解时一定注意2求函数f(x)x在1,4上的最
6、值解设1x1x22，则f(x1)f(x2)x1x2x1x2(x1x2)(x1x2).1x1x22，x1x20，x1x240，f(x1)f(x2)，f(x)在1,2)上是减函数同理f(x)在2,4上是增函数当x2时，f(x)取得最小值4；当x1或x4时，f(x)取得最大值5.函数最值的实际应用【例3】一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元，年产量为x(xN*)件当x20时，年销售总收入为(33xx2)万元；当x20时，年销售总收入为260万元记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y万元(年利润年销售总收入年总投资)(1)求y(万元)与x(件)的
7、函数关系式；(2)当该工厂的年产量为多少件时，所得年利润最大？最大年利润是多少？解(1)当020时，y260100x160x.故y(xN*)(2)当020时，160x0)的对称轴与区间m，n可能存在几种位置关系，试画草图给予说明？提示：2求二次函数f(x)ax2bxc在m，n上的最值，应考虑哪些因素？提示：若求二次函数f(x)在m，n上的最值，应考虑其开口方向及对称轴x与区间m，n的关系【例4】已知函数f(x)x2ax1，求f(x)在0,1上的最大值思路点拨解因为函数f(x)x2ax1的图象开口向上，其对称轴为x，当，即a1时，f(x)的最大值为f(1)2a；当，即a1时，f(x)的最大值为f
8、(0)1.1在题设条件不变的情况下，求f(x)在0,1上的最小值解(1)当0，即a0时，f(x)在0,1上单调递增，f(x)minf(0)1.(2)当1，即a2时，f(x)在0,1上单调递减，f(x)minf(1)2a.(3)当01，即0a2时，f(x)在上单调递减，在上单调递增，故f(x)minf1.2在本例条件不变的情况下，若a1，求f(x)在t，t1(tR)上的最小值解当a1时，f(x)x2x1，其图象的对称轴为x，当t时，f(x)在其上是增函数，f(x)minf(t)t2t1；当t1，即t时，f(x)在其上是减函数，f(x)minf(t1)2t2t1；当tt1，即t时，函数f(x)在上
9、单调递减，在上单调递增，所以f(x)minf.二次函数在闭区间上的最值设f(x)ax2bxc(a0)，则二次函数f(x)在闭区间m，n上的最大值、最小值有如下的分布情况：对称轴与区间的关系mn，即(，m)mn，即(m，n)mn，即(n，)图象最值f(x)maxf(n)，f(x)minf(m)f(x)maxmaxf(n)，f(m)，f(x)minff(x)maxf(m)，f(x)minf(n)1函数的最大(小)值，包含两层意义：一是存在，二是在给定区间上所有函数值中最大(小)的，反映在函数图象上，函数的图象有最高点或最低点2求函数的最值与求函数的值域类似，常用的方法是：(1)图象法，即画出函数的
10、图象，根据图象的最高点或最低点写出最值；(2)单调性法，一般需要先确定函数的单调性，然后根据单调性的意义求出最值；(3)对于二次函数还可以用配方法研究，同时灵活利用数形结合思想和分类讨论思想解题3通过函数最值的学习，渗透数形结合思想，树立以形识数的解题意识1思考辨析(1)任何函数都有最大(小)值()(2)函数f(x)在a，b上的最值一定是f(a)(或f(b)()(3)函数的最大值一定比最小值大()答案(1)(2)(3)2函数yx22x，x0,3的值域为()A0,3B1,0C1，) D1,3D函数yx22x(x1)21，x0,3，当x1时，函数y取得最小值为1，当x3时，函数取得最大值为3，故函
11、数的值域为1,3，故选D.3函数yax1在区间1,3上的最大值为4，则a_.1若a0，则函数yax1在区间1,3上是减函数，并且在区间的左端点处取得最大值，即a14，解得a3，不满足a0，则函数yax1在区间1,3上是增函数，并且在区间的右端点处取得最大值，即3a14，解得a1.综上，a1.4已知函数f(x)(x2,6)(1)判断函数f(x)的单调性，并证明；(2)求函数的最大值和最小值解(1)函数f(x)在x2,6上是减函数证明：设x1，x2是区间2,6上的任意两个实数，且x1x2，则f(x1)f(x2).由2x10，(x11)(x21)0，于是f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，所以函数f(x)是区间2,6上的减函数(2)由(1)可知，函数f(x)在区间2,6的两个端点处分别取得最大值与最小值，即在x2时取得最大值，最大值是2，在x6时取得最小值，最小值是.
