1、第四课时余弦定理、正弦定理应用举例在测量工作中，经常会遇到不方便直接测量的情形例如，如图所示故宫角楼的高度，因为顶端和底部都不便到达，所以不能直接测量问题假设给你米尺和测量角度的工具，你能在故宫角楼对面的岸边得出角楼的高度吗？如果能，写出你的方案，并给出有关的计算方法；如果不能，说明理由知识点实际应用问题中的有关名词、术语1基线的概念与选取原则(1)基线：根据测量的需要而确定的线段叫做基线；(2)选取原则：为使测量具有较高的精确度，应根据实际需要选取合适的基线长度一般来说，基线越长，测量的精确度越高2方向角从指定方向线到目标方向线所成的小于90的水平角如图，北偏东30，南偏东45.3仰角和俯角
2、(1)前提：在视线所在的垂直平面内；(2)仰角：视线在水平线以上时，视线与水平线所成的角；(3)俯角：视线在水平线以下时，视线与水平线所成的角李尧出校向南前进了200米，再向东走了200米，回到自己家中，你认为李尧的家在学校的哪个方向？提示：东南方向1判断正误(正确的画“”，错误的画“”)(1)基线选择不同，同一个量的测量结果可能不同()(2)东偏北45的方向就是东北方向()(3)俯角和仰角都是对于水平线而言的()(4)仰角与俯角所在的平面是铅垂面()(5)从A处望B处的仰角为，从B处望A处的俯角为，则，的关系为180.()答案：(1)(2)(3)(4)(5)2若P在Q的北偏东4450方向上，
3、则Q在P的()A东偏北4510方向上B东偏北4450方向上C南偏西4450方向上 D西偏南4450方向上解析：选C如图所示3两灯塔A，B与海洋观察站C的距离都等于a(km)，灯塔A在C北偏东30，B在C南偏东60，则A，B之间距离为()A.a km B.a kmCa km D2a km解析：选A在ABC中，ACBCa，ACB90，所以ABa.故选A.4.如图，为测塔AB的高度，某人在与塔底A同一水平线上的C点测得ACB45，再沿AC方向前行20(1)米到达D点，测得ADB30，则塔高为()A40 米 B20 米C40米 D20米解析：选DRtABC中，设ABx，则由ACB45可知ACx，在Rt
4、ABD中，ADx20(1)，ADB30，所以tan 30，解得x20.则塔高为20米故选D.测量距离问题例1(链接教科书第49页例9)(1)如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A，B，望对岸的标记物C，测得CAB30，CBA75，AB120 m，则河的宽度是_m；(2)如图，为测量河对岸A，B两点间的距离，沿河岸选取相距40 m的C，D两点，测得ACB60，BCD45，ADB60，ADC30，则A，B两点的距离是_解析(1)tan 30，tan 75，又ADDB120，ADtan 30(120AD)tan 75，AD60，故CD60.故河的宽度为60 m.(2)在BCD中，BDC60309
5、0，BCD45，CBD9045BCD，BDCD40，BC 40.在ACD中，ADC30，ACD6045105，CAD180(30105)45.由正弦定理，得AC20.在ABC中，由余弦定理，得AB2AC2BC22ACBCcos BCA(20)2(40)222040cos 602 400，AB20，故A，B两点之间的距离为20 m.答案(1)60(2)20 m测量距离的基本类型及方案类型A，B两点间不可达或不可视A，B两点间可视，但有一点不可达A，B两点都不可达图形方法先测角C，ACb，BCa，再用余弦定理求AB以点A不可达为例，先测角B，C，BCa，再用正弦定理求AB测得CDa，BCD，BDC
6、，ACD，ADC，ACB，在ACD中用正弦定理求AC；在BCD中用正弦定理求BC；在ABC中用余弦定理求AB 跟踪训练1海上A，B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60的视角，从B岛望C岛和A岛成75的视角，则B，C间的距离是()A10 海里B. 海里C5 海里 D5 海里解析：选D如图所示，根据题意，在ABC中，A60，B75，AB10，C45.由正弦定理可得，即，BC5(海里)故选D.2某海轮以每小时30海里的速度航行，在点A测得海面上油井P在其南偏东60方向上；海轮向北航行40分钟后到达点B，测得油井P在其南偏东30方向上；海轮改为北偏东60的航向再行驶80分钟到达点C，则P，C
7、两点的距离为()A20 海里 B. 海里C20 海里 D. 海里解析：选A如图，过点P作AB的垂线，垂足为点E.由题意得APBABP30，APAB3020(海里)在RtPAE中，PEAPsin 6010(海里)在RtPBE中，PB20(海里)由已知可得PBC90，BC3040(海里)，在RtPBC中，PC20(海里).测量高度问题例2(链接教科书第50页例10)某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度，如图，在C处进行该仪器的弹射，观测点A，B两地相距100 m，BAC60，在A地听到弹射声音的时间比B地晚 sA地测得该仪器在C处时的俯角为15，A地测得该仪器在最
8、高点H时的仰角为30，求该仪器的垂直弹射高度CH.(声音在空气中的传播速度为340 m/s)解设ACx m，则BCx340(x40)m.在ABC中，根据余弦定理得(x40)210 000x2100x，解得x420.在ACH中，AC420 m，CAH301545，CHA903060.由，得CHAC140(m)故该仪器的垂直弹射高度CH为140 m.测量高度的基本类型及方案类型简图计算方法底部可达测得BCa，BCAC，ABatan C底部不可达点B与C，D共线测得CDa及C与ADB的度数先由正弦定理求出AC或AD，再解直角三角形得AB的值点B与C，D不共线测得CDa及BCD，D，ACB的度数. 在
9、BCD中，由正弦定理求得BC，再解直角三角形得AB的值 跟踪训练如图所示，为测一建筑物的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点测得建筑物顶端的仰角分别为30，45，且A，B两点间的距离为60 m，则该建筑物的高度为()A(3030)m B(3015)mC(1530)m D(1515)m解析：选A在PAB中，PAB30，APB15，AB60 m，sin 15sin(4530)sin 45cos 30cos 45sin 30，由正弦定理，得PB30()(m)，所以建筑物的高度为PBsin 4530()(3030)(m)故选A.测量角度问题例3(链接教科书第50页例11)某海上养殖基地A，接到气
10、象部门预报，位于基地南偏东60相距20(1)海里的海面上有一台风中心，影响半径为20海里，正以每小时10 海里的速度沿某一方向匀速直线前进，预计台风中心将从基地东北方向刮过且1小时后开始持续影响基地2小时求台风移动的方向解如图所示，设预报时台风中心为B，开始影响基地时台风中心为C，基地刚好不受影响时台风中心为D，则B，C，D在一直线上，且AD20，AC20.由题意AB20(1)，DC20，BC(1)10.在ADC中，因为DC2AD2AC2，所以DAC90，ADC45.在ABC中，由余弦定理得cosBAC.所以BAC30，又因为B位于A南偏东60，603090180，又D位于A的正北方向，又因为
11、ADC45，所以台风移动的方向为北偏西45.测量角度问题画示意图的基本步骤 跟踪训练如图，在海岸A处发现北偏东45方向距A点(1)n mile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75方向，与A距离2 n mile的我方缉私船奉命以10 n mile/h的速度追截走私船，此时走私船正以10 n mile/h的速度，从B处向北偏东30方向逃窜，问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？解：设缉私船应沿CD方向行驶t h，才能最快截获(在D点)走私船，则CD10t n mile，BD10t n mile.BC2AB2AC22ABACcos CAB(1)2222(1)2cos 1206，BC，sin A
12、BC，ABC45，B点在C点的正东方向上，CBD9030120.，sinBCD，BCD30.故缉私船沿北偏东60的方向行驶，才能最快截获走私船1如图，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的南偏西40，灯塔B在观察站C的南偏东60，则灯塔A在灯塔B的()A北偏东10 B北偏西10C南偏东80 D南偏西80解析：选D由条件及题图可知，AB40，又BCD60，所以CBD30，故DBA10，因此灯塔A在灯塔B南偏西80.2两灯塔A，B与海洋观察站C的距离都等于2 km，灯塔A在C北偏东45，B在C南偏东15，则A，B之间的距离为()A2 km B3 kmC4 km D5 km解析：选A作出满足题意的几何图形如图所示，根据图形可知ACB120，在ABC中，ACBC2 km.由余弦定理得AB22222222cos 12012，即AB2 km.所以A，B之间的距离为2 km.故选A.3.如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m，50 m，BD为水平面，求从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角解：依题意可得AD20，AC30，又CD50，所以在ACD中，由余弦定理得cosCAD，又0CAD180，所以CAD45，所以从顶端A看建筑物CD的张角为45.
