1、第三节等比数列及其前n项和1等比数列的有关概念(1)定义:文字语言:从第2项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数符号语言:q(nN*,q为非零常数).(2)等比中项:如果a,G,b成等比数列,那么G叫做a与b的等比中项即:G是a与b的等比中项a,G,b成等比数列G2ab(a,G,b不为零).2等比数列的有关公式(1)通项公式:ana1qn1(2)前n项和公式:Sn3等比数列的性质(1)通项公式的推广:anamqnm(m,nN*).(2)对任意的正整数m,n,p,q,若mnpq,则amanapaq特别地,若mn2p,则amana(3)若等比数列前n项和为Sn,则Sm,S2mSm,S3mS2
2、m仍成等比数列,即(S2mSm)2Sm(S3mS2m)(mN*,公比q1).(4)数列an是等比数列,则数列pan(p0,p是常数)也是等比数列(5)在等比数列an中,等距离取出若干项也构成一个等比数列,即an,ank,an2k,an3k,为等比数列,公比为qk1(1)在等比数列求和时,要注意q1和q1的讨论(2)当an是等比数列且q1时,SnqnAAqn.2当项数是偶数时,S偶S奇q;当项数是奇数时,S奇a1S偶q.1(基础知识:等比中项)等比数列an中,a44,则a2a6等于()A4 B8C16 D32答案:C2(基本能力:等比数列的前n项和)设an是公比为正数的等比数列,若a11,a51
3、6,则数列an前7项的和为()A63 B64C127 D128答案:C3(基本能力:求公比)已知an是等比数列,a22,a5,则公比q()A BC D答案:A4(基本能力:求等比数列的项)在3与192中间插入两个数,使它们同这两个数成等比数列,则这两个数为_.答案:12,485(基本应用:等比数列的通项)记Sn为数列an的前n项和,若Sn2an1,则an_答案:2n1题型一等比数列的基本量的运算 典例剖析典例(1)(2020高考全国卷)记Sn为等比数列an的前n项和若a5a312,a6a424,则()A2n1 B221nC22n1 D21n1解析:法一:设等比数列an的公比为q,则q2.由a5
4、a3a1q4a1q212a112得a11,所以ana1qn12n1,Sn2n1,所以221n.法二:设等比数列an的公比为q,则得q2.将q2代入,解得a34,所以a11,下同法一答案:B(2)(2020高考全国卷)设等比数列an满足a1a24,a3a18.求an的通项公式;记Sn为数列log3an的前n项和若SmSm1Sm3,求m.解析:设an的公比为q,则ana1qn1.由已知得解得所以an的通项公式为an3n1.由知log3ann1,故Sn.由SmSm1Sm3得m(m1)(m1)m(m3)(m2),即m25m60,解得m1(舍去)或m6.方法总结解决等比数列有关基本能力问题的常用思想方法
5、(1)方程思想:等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题,数列中有五个量a1,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”,通过列方程(组)可迎刃而解(2)分类讨论的思想:等比数列的前n项和涉及对公比q的分类讨论:当q1时,其前n项和Snna1;当q1时,其前n项和Sn.对点训练等比数列an中,a11,a54a3.(1)求an的通项公式;(2)记Sn为an的前n项和若Sm63,求m.解析:(1)设an的公比为q,由题设得anqn1.由已知得q44q2,解得q0(舍去),q2或q2,故an(2)n1或an2n1.(2)若an(2)n1,则Sn.由Sm63得(2)m188,此方程没有正整数解若a
6、n2n1,则Sn2n1.由Sm63得2m64,解得m6.综上,m6.题型二等比数列的判定与证明 典例剖析类型 1定义法证明等比数列例1(2019高考全国卷)已知数列an和bn满足a11,b10,4an13anbn4,4bn13bnan4.(1)证明:anbn是等比数列,anbn是等差数列;(2)求an和bn的通项公式解析:(1)证明:由题设得4(an1bn1)2(anbn),即an1bn1(anbn).又因为a1b11,所以anbn是首项为1,公比为的等比数列由题设得4(an1bn1)4(anbn)8,即an1bn1anbn2.又因为a1b11,所以anbn是首项为1,公差为2的等差数列(2)
7、由(1)知,anbn,anbn2n1,所以an(anbn)(anbn)n,bn(anbn)(anbn)n.类型 2等比中项法判定等比数列例2(1)对任意等比数列an,下列说法一定正确的是()Aa1,a3,a9成等比数列Ba2,a3,a6成等比数列Ca2,a4,a8成等比数列Da3,a6,a9成等比数列解析:设等比数列的公比为q,则a3a1q2,a6a1q5,a9a1q8,满足(a1q5)2a1q2a1q8,即aa3a9.答案:D(2)(2020湖南郴州模拟)在数列an中,满足a12,aan1an1(n2,nN*),Sn为an的前n项和,若a664,则S7的值为()A126 B256C255 D
8、254解析:数列an中,满足aan1an1(n2,nN*),则数列an为等比数列,设其公比为q,又由a12,a664,得q532,则q2,则S7282254.答案:D方法总结 等比数列的判断与证明的常用方法方法解读适合题型定义法在an0(nN*)前提下,若q(q为非零常数)或q(q为非零常数,n2且nN*),则an是等比数列已知中提供的递推关系式,或者是an与Sn的关系式进行化简,转化为数列an中相邻两项之间的关系等比中项法数列an中,an0,如果根据已知条件能化简得到aanan2(nN*),或者是证明此式成立,则数列an是等比数列证明三项成等比数列续表通项公式法观察已知信息,或者是计算出数列
9、的通项公式,若可以写成ancqn1(c,q均是不为0的常数,nN*),则an是等比数列能明确通项公式,用于选择或填空题中前n项和公式法若数列an的前n项和Snkqnk(k为常数且k0,q0,1),则数列an是等比数列能明确前n项和公式,只用于选择或填空题中题组突破1(教材精选)已知an是各项均为正数的等比数列,是等比数列吗?为什么?解析:是等比数列an为等比数列,且an0,ana1qn1(a10,q0),从而的通项公式() n1,表示首项为,公比为的等比数列从定义角度:,是等比数列从等比中项角度:,即()2成等比数列2设数列an的前n项和为Sn,已知a11,Sn14an2.(1)设bnan12
10、an,证明:数列bn是等比数列;(2)求数列an的通项公式解析:(1)证明:由a11及Sn14an2,得a1a2S24a12.a25,b1a22a13.又由,得an14an4an1(n2),an12an2(an2an1)(n2).bnan12an,bn2bn1(n2),故bn是首项b13,公比为2的等比数列(2)由(1)知bnan12an32n1,故是首项为,公差为的等差数列,(n1),故an(3n1)2n2.题型三等比数列的性质 典例剖析类型 1等比数列项的性质例1(2021黑龙江哈尔滨模拟)等比数列an的各项均为正数,且a5a6a4a718,则log3a1log3a2log3a10()A1
11、2 B10C8 D2log3a5解析:因为a5a6a4a718,所以a5a69,log3a1log3a2log3a10log3(a1a2a10)log3(a5a6)55log3910.答案:B类型 2等比数列前n项和的性质例2已知等比数列an共有2n项,其和为240,且奇数项的和比偶数项的和大80,则公比q_解析:由题意,得解得所以q2.答案:2类型 3等比数列综合问题例3(2020高考山东卷)已知公比大于1的等比数列an满足a2a420,a38.(1)求an的通项公式;(2)记bm为an在区间(0,m(mN*)中的项的个数,求数列bm的前100项和S100.解析:(1)设an的公比为q.由题
12、设得a1qa1q320,a1q28.解得q(舍去)或q2.由题设得a12,所以an的通项公式为an2n.(2)由题设及(1)知b10,且当2nm2n1时,bmn,所以S100b1(b2b3)(b4b5b6b7)(b32b33b63)(b64b65b100)0122223234245256(10063)480.方法总结1在等比数列an中,等距离取出若干项也构成一个等比数列,即an,ank,an2k,an3k,为等比数列,公比为qk.2在一个无穷等比数列中,其中任何一项都是和这项项数距离相等的两项的等比中项,即aamkamk(m,k为正整数,且mk).3等比数列an的前n项和为Sn,则Sn,S2n
13、Sn,S3nS2n仍成等比数列,这个性质成立的前提条件是公比不为1.题组突破1(2021山东菏泽模拟)在等比数列an中,a2,a16是方程x26x20的根,则的值为()A2 BC D或解析:设等比数列an的公比为q,由a2,a16是方程x26x20的根,可得a2a162,即有aq162,则有a2,则a9.答案:D2各项均为正数的等比数列an的前n项和为Sn,若Sn2,S3n14,则S4n_解析:第一步利用等比数列前n项和的性质Sn,S2nSn,S3nS2n,S4nS3n成等比数列第二步应用等比中项列出方程求解(S2nSn)2Sn(S3nS2n),即(S2n2)22(14S2n),解得S2n6或
14、S2n4(舍去),同理可得S4n30.答案:301(2020高考全国卷)设an是等比数列,且a1a2a31,a2a3a42,则a6a7a8()A12 B24C30 D32解析:设等比数列an的公比为q,则q2,所以a6a7a8(a1a2a3)q512532.答案:D2(2019高考全国卷)已知各项均为正数的等比数列an的前4项和为15,且a53a34a1,则a3()A16 B8C4 D2解析:由题意知解得a3a1q24.答案:C3(2019高考全国卷)记Sn为等比数列an的前n项和若a1,aa6,则S5_.解析:由aa6得(a1q3)2a1q5,整理得q3,S5.答案:设数列an的前n项和为S
15、n,a11,_给出下列三个条件:条件:数列an为等比数列,数列Sna1也为等比数列;条件:点(Sn,an1)在直线yx1上;条件:2na12n1a22annan1.试在上面的三个条件中任选一个,补充在上面的横线上,完成下列两问的解答:(1)求数列an的通项公式;(2)设bn,求数列bn的前n项和Tn.注:如果选择多个条件分别解答,则按第一个解答计分解析:方案一:选条件.(1)因为数列Sna1为等比数列,所以(S2a1)2(S1a1)(S3a1),即(2a1a2)22a1(2a1a2a3).设等比数列an的公比为q,因为a11,所以(2q)22(2qq2),解得q2或q0(舍去),所以ana1q
16、n12n1(nN*).(2)由(1)得an2n1(nN*),所以bn,所以Tn.方案二:选条件.(1)因为点(Sn,an1)在直线yx1上,所以an1Sn1(nN*),所以anSn11(n2),两式相减得an1anan,2(n2).因为a11,a2S11a112,所以2适合上式,所以数列an是首项为1,公比为2的等比数列,所以ana1qn12n1(nN*).(2)同方案一的(2).方案三:选条件.(1)当n2时,因为2na12n1a22annan1(nN*)(),所以2n1a12n2a22an1(n1)an,所以2na12n1a222an12(n1)an(),()()得2annan12(n1)an,即2(n2),当n1时,2a1a2,2适合上式,所以数列an是首项为1,公比为2的等比数列,所以ana1qn12n1(nN*).(2)同方案一的(2).