1、第三节等比数列及其前n项和1等比数列的有关概念(1)定义：文字语言：从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数符号语言：q(nN*，q为非零常数).(2)等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项即：G是a与b的等比中项a，G，b成等比数列G2ab(a，G，b不为零).2等比数列的有关公式(1)通项公式：ana1qn1(2)前n项和公式：Sn3等比数列的性质(1)通项公式的推广：anamqnm(m，nN*).(2)对任意的正整数m，n，p，q，若mnpq，则amanapaq特别地，若mn2p，则amana(3)若等比数列前n项和为Sn，则Sm，S2mSm，S3mS2
2、m仍成等比数列，即(S2mSm)2Sm(S3mS2m)(mN*，公比q1).(4)数列an是等比数列，则数列pan(p0，p是常数)也是等比数列(5)在等比数列an中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，ank，an2k，an3k，为等比数列，公比为qk1(1)在等比数列求和时，要注意q1和q1的讨论(2)当an是等比数列且q1时，SnqnAAqn.2当项数是偶数时，S偶S奇q；当项数是奇数时，S奇a1S偶q.1(基础知识：等比中项)等比数列an中，a44，则a2a6等于()A4 B8C16 D32答案：C2(基本能力：等比数列的前n项和)设an是公比为正数的等比数列，若a11，a51
3、6，则数列an前7项的和为()A63 B64C127 D128答案：C3(基本能力：求公比)已知an是等比数列，a22，a5，则公比q()A BC D答案：A4(基本能力：求等比数列的项)在3与192中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为_.答案：12，485(基本应用：等比数列的通项)记Sn为数列an的前n项和，若Sn2an1，则an_答案：2n1题型一等比数列的基本量的运算 典例剖析典例(1)(2020高考全国卷)记Sn为等比数列an的前n项和若a5a312，a6a424，则()A2n1 B221nC22n1 D21n1解析：法一：设等比数列an的公比为q，则q2.由a5
4、a3a1q4a1q212a112得a11，所以ana1qn12n1，Sn2n1，所以221n.法二：设等比数列an的公比为q，则得q2.将q2代入，解得a34，所以a11，下同法一答案：B(2)(2020高考全国卷)设等比数列an满足a1a24，a3a18.求an的通项公式；记Sn为数列log3an的前n项和若SmSm1Sm3，求m.解析：设an的公比为q，则ana1qn1.由已知得解得所以an的通项公式为an3n1.由知log3ann1，故Sn.由SmSm1Sm3得m(m1)(m1)m(m3)(m2)，即m25m60，解得m1(舍去)或m6.方法总结解决等比数列有关基本能力问题的常用思想方法
5、(1)方程思想：等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解(2)分类讨论的思想：等比数列的前n项和涉及对公比q的分类讨论：当q1时，其前n项和Snna1；当q1时，其前n项和Sn.对点训练等比数列an中，a11，a54a3.(1)求an的通项公式；(2)记Sn为an的前n项和若Sm63，求m.解析：(1)设an的公比为q，由题设得anqn1.由已知得q44q2，解得q0(舍去)，q2或q2，故an(2)n1或an2n1.(2)若an(2)n1，则Sn.由Sm63得(2)m188，此方程没有正整数解若a
6、n2n1，则Sn2n1.由Sm63得2m64，解得m6.综上，m6.题型二等比数列的判定与证明 典例剖析类型 1定义法证明等比数列例1(2019高考全国卷)已知数列an和bn满足a11，b10，4an13anbn4，4bn13bnan4.(1)证明：anbn是等比数列，anbn是等差数列；(2)求an和bn的通项公式解析：(1)证明：由题设得4(an1bn1)2(anbn)，即an1bn1(anbn).又因为a1b11，所以anbn是首项为1，公比为的等比数列由题设得4(an1bn1)4(anbn)8，即an1bn1anbn2.又因为a1b11，所以anbn是首项为1，公差为2的等差数列(2)
7、由(1)知，anbn，anbn2n1，所以an(anbn)(anbn)n，bn(anbn)(anbn)n.类型 2等比中项法判定等比数列例2(1)对任意等比数列an，下列说法一定正确的是()Aa1，a3，a9成等比数列Ba2，a3，a6成等比数列Ca2，a4，a8成等比数列Da3，a6，a9成等比数列解析：设等比数列的公比为q，则a3a1q2，a6a1q5，a9a1q8，满足(a1q5)2a1q2a1q8，即aa3a9.答案：D(2)(2020湖南郴州模拟)在数列an中，满足a12，aan1an1(n2，nN*)，Sn为an的前n项和，若a664，则S7的值为()A126 B256C255 D
8、254解析：数列an中，满足aan1an1(n2，nN*)，则数列an为等比数列，设其公比为q，又由a12，a664，得q532，则q2，则S7282254.答案：D方法总结 等比数列的判断与证明的常用方法方法解读适合题型定义法在an0(nN*)前提下，若q(q为非零常数)或q(q为非零常数，n2且nN*)，则an是等比数列已知中提供的递推关系式，或者是an与Sn的关系式进行化简，转化为数列an中相邻两项之间的关系等比中项法数列an中，an0，如果根据已知条件能化简得到aanan2(nN*)，或者是证明此式成立，则数列an是等比数列证明三项成等比数列续表通项公式法观察已知信息，或者是计算出数列
9、的通项公式，若可以写成ancqn1(c，q均是不为0的常数，nN*)，则an是等比数列能明确通项公式，用于选择或填空题中前n项和公式法若数列an的前n项和Snkqnk(k为常数且k0，q0，1)，则数列an是等比数列能明确前n项和公式，只用于选择或填空题中题组突破1(教材精选)已知an是各项均为正数的等比数列，是等比数列吗？为什么？解析：是等比数列an为等比数列，且an0，ana1qn1(a10，q0)，从而的通项公式() n1，表示首项为，公比为的等比数列从定义角度：，是等比数列从等比中项角度：，即()2成等比数列2设数列an的前n项和为Sn，已知a11，Sn14an2.(1)设bnan12
10、an，证明：数列bn是等比数列；(2)求数列an的通项公式解析：(1)证明：由a11及Sn14an2，得a1a2S24a12.a25，b1a22a13.又由，得an14an4an1(n2)，an12an2(an2an1)(n2).bnan12an，bn2bn1(n2)，故bn是首项b13，公比为2的等比数列(2)由(1)知bnan12an32n1，故是首项为，公差为的等差数列，(n1)，故an(3n1)2n2.题型三等比数列的性质 典例剖析类型 1等比数列项的性质例1(2021黑龙江哈尔滨模拟)等比数列an的各项均为正数，且a5a6a4a718，则log3a1log3a2log3a10()A1
11、2 B10C8 D2log3a5解析：因为a5a6a4a718，所以a5a69，log3a1log3a2log3a10log3(a1a2a10)log3(a5a6)55log3910.答案：B类型 2等比数列前n项和的性质例2已知等比数列an共有2n项，其和为240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q_解析：由题意，得解得所以q2.答案：2类型 3等比数列综合问题例3(2020高考山东卷)已知公比大于1的等比数列an满足a2a420，a38.(1)求an的通项公式；(2)记bm为an在区间(0，m(mN*)中的项的个数，求数列bm的前100项和S100.解析：(1)设an的公比为q.由题
12、设得a1qa1q320，a1q28.解得q(舍去)或q2.由题设得a12，所以an的通项公式为an2n.(2)由题设及(1)知b10，且当2nm2n1时，bmn，所以S100b1(b2b3)(b4b5b6b7)(b32b33b63)(b64b65b100)0122223234245256(10063)480.方法总结1在等比数列an中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，ank，an2k，an3k，为等比数列，公比为qk.2在一个无穷等比数列中，其中任何一项都是和这项项数距离相等的两项的等比中项，即aamkamk(m，k为正整数，且mk).3等比数列an的前n项和为Sn，则Sn，S2n
13、Sn，S3nS2n仍成等比数列，这个性质成立的前提条件是公比不为1.题组突破1(2021山东菏泽模拟)在等比数列an中，a2，a16是方程x26x20的根，则的值为()A2 BC D或解析：设等比数列an的公比为q，由a2，a16是方程x26x20的根，可得a2a162，即有aq162，则有a2，则a9.答案：D2各项均为正数的等比数列an的前n项和为Sn，若Sn2，S3n14，则S4n_解析：第一步利用等比数列前n项和的性质Sn，S2nSn，S3nS2n，S4nS3n成等比数列第二步应用等比中项列出方程求解(S2nSn)2Sn(S3nS2n)，即(S2n2)22(14S2n)，解得S2n6或
14、S2n4(舍去)，同理可得S4n30.答案：301(2020高考全国卷)设an是等比数列，且a1a2a31，a2a3a42，则a6a7a8()A12 B24C30 D32解析：设等比数列an的公比为q，则q2，所以a6a7a8(a1a2a3)q512532.答案：D2(2019高考全国卷)已知各项均为正数的等比数列an的前4项和为15，且a53a34a1，则a3()A16 B8C4 D2解析：由题意知解得a3a1q24.答案：C3(2019高考全国卷)记Sn为等比数列an的前n项和若a1，aa6，则S5_.解析：由aa6得(a1q3)2a1q5，整理得q3，S5.答案：设数列an的前n项和为S
15、n，a11，_给出下列三个条件：条件：数列an为等比数列，数列Sna1也为等比数列；条件：点(Sn，an1)在直线yx1上；条件：2na12n1a22annan1.试在上面的三个条件中任选一个，补充在上面的横线上，完成下列两问的解答：(1)求数列an的通项公式；(2)设bn，求数列bn的前n项和Tn.注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分解析：方案一：选条件.(1)因为数列Sna1为等比数列，所以(S2a1)2(S1a1)(S3a1)，即(2a1a2)22a1(2a1a2a3).设等比数列an的公比为q，因为a11，所以(2q)22(2qq2)，解得q2或q0(舍去)，所以ana1q
16、n12n1(nN*).(2)由(1)得an2n1(nN*)，所以bn，所以Tn.方案二：选条件.(1)因为点(Sn，an1)在直线yx1上，所以an1Sn1(nN*)，所以anSn11(n2)，两式相减得an1anan，2(n2).因为a11，a2S11a112，所以2适合上式，所以数列an是首项为1，公比为2的等比数列，所以ana1qn12n1(nN*).(2)同方案一的(2).方案三：选条件.(1)当n2时，因为2na12n1a22annan1(nN*)()，所以2n1a12n2a22an1(n1)an，所以2na12n1a222an12(n1)an()，()()得2annan12(n1)an，即2(n2)，当n1时，2a1a2，2适合上式，所以数列an是首项为1，公比为2的等比数列，所以ana1qn12n1(nN*).(2)同方案一的(2).